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編輯推薦

　　“為什麼世界這麼美麗，因為我眼睛看到的都是分形”有學者這麼說。從漫長蜿蜒的海岸綫，到人體大腦的結構，分形無處不在！在美得像天使一樣的分形中人類有什麼樣的驚人發現？
　　一棵馬蹄釘跌倒一個王子，一個王子輸掉瞭一場戰爭，一場戰爭失掉瞭一個王國，同時也改變瞭整個世界，差之毫厘，失之韆裏。看似“風馬牛不相及”的事物之間到底蘊涵著什麼樣的規律？
　　《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》從美妙動人的分形到神秘莫測的混沌，探究科學規律的內在之美，發現無序中之有序。
　　國際知名華人生物學傢、北大生科院院長饒毅與中科院教授程代展推薦閱讀！
　　《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》由原點閱讀齣品。
　　原點閱讀（The Origin），清華大學齣版社旗下的圖書品牌，秉承“科學，讓個人更智慧，讓社會更理性”的理念，緻力於科學普及和科技文化類圖書的齣版，傳播科學知識、科學精神、科學方法，展現科學的真實、獨立、智慧、多變、寬容、動人及迷人。
　　海報：
　　

內容簡介

　　有人將分形和混沌理論譽為繼相對論和量子力學之後的20世紀物理學的第三次革命。《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》首先描述瞭各種分形的基礎知識和特性，包括綫性迭代産生的分形如分形龍、科和麯綫等，以及非綫性迭代産生的曼德勃羅集、硃利亞集等。通過這些例子，介紹瞭自相似性及分數維的概念。然後，遵循混沌現象發展的曆史，通過講述龐加萊的三體問題、洛倫茨的蝴蝶效應等等故事和趣聞，將讀者帶進神奇混沌理論的天地中。再進一步通過對一個簡單混沌係統--邏輯斯蒂映射的探討，詳細介紹分岔理論、穩定性、及費根鮑姆普適常數等概念。
　　《蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌》後半部分，介紹瞭分形和混沌在各個領域的應用及前景、分形和混沌的關係、以及與分形混沌密切相關而發展起來的非綫性科學。
　　俗話說：“授人以魚不如授人以漁”，作為科普書，介紹知識固然重要，傳授科學研究之方法更為重要，本書極力體現這個宗旨。作者不僅介紹科學，還煞費苦心地重點介紹科學傢作齣重大發現時的思路曆程，帶領讀者一起思考，從前人的經驗教訓中得到深刻啓示，從而激發讀者的好奇心和創造力。
　　一本老少皆宜、文理兼容的科普讀物。圖文並茂，用輕鬆有趣的語言，加之通俗生動的圖解，來講述深奧難懂的科學理論。為廣大讀者剝開理論的堅果，使不同領域的人士，都能領悟到數學及物理學的無窮魅力。

作者簡介

　　張天蓉，女，四川成都人。美國得剋薩斯州奧斯汀大學理論物理博士，現住美國芝加哥。研究過黑洞輻射、費曼路徑積分、毫微微秒激光、高頻及微波通訊的EDA集成電路軟件等。發錶專業論文三十餘篇。2008年齣版科普小說《新東方夜譚》；2010年11月齣版懸疑小說《美國房客》。2012年開始，在科學網發錶一係列科普博文，其文風深入淺齣，趣味盎然，且保持科學的嚴謹性，深得讀者喜愛。

精彩書評

　　由真正懂科學的人以中文介紹科學，有長期的必要。而能將科學栩栩如生地介紹給公眾的作者，在中文世界還是鳳毛麟角，本書的作者張天蓉就是其中之一。如果您時間不夠不能全麵閱讀，也不妨將這本書放在自己的書架上，也許不經意可以影響親朋好友，也在中文世界推廣瞭科學和理性。
　　——北京大學教授 饒毅

　　這本書是從物理的角度開始，用通俗易懂的語言和嫻熟的數學技巧剖析混沌的本質，然後推而廣之，述及混沌在其它各學科的應用。張天蓉博士既有很深的學術造詣, 又有入木三分的文筆，使得這本書既保持瞭科學的嚴謹性，令讀者開捲有益，收獲真知；又能深入淺齣、趣味盎然、引人入勝。
　　——中國科學院數學與係統科學研究院教授 程代展

　　愛好科學的年輕人最需要知道的不是科學發現的結果，而是新思想的靈感來自何處？本書不僅僅是介紹那些耀眼的新思想，更是讓讀者瞭解發現新思想的源動力。
　　——科學網網友 Kevin

目錄

序一 科學可以很有趣
序二 玄機妙語話混沌
前言
第一篇 ：美哉分形
1.1：從分形龍談起
1.2：簡單分形
1.3：分數維是怎麼迴事？
1.4：再迴到分形龍
1.5：大自然中的分形
1.6：分形之父的啓示
1.7：美妙的曼德勃羅集
1.8：美妙的硃利亞集

第二篇：奇哉混沌
2.1：拉普拉斯妖
2.2：洛倫茨的迷惑
2.3：奇異吸引子
2.4：蝴蝶效應
2.5：超越時代的龐加萊
2.6：三體問題及趣聞
2.7：生命繁衍和混沌
2.8：有序到無序
2.9：混沌魔鬼不穩定

第三篇：分形天使處處逞能
3.1：分形音樂
3.2：分形藝術
3.3：分形用於圖像處理
3.4：人體中的分形和混沌

第四篇：天使魔鬼一傢人
4.1：萬變之不變
4.2：再迴魔鬼聚閤物
4.3：混沌遊戲産生分形
4.4：混沌和山西拉麵

第五篇：混沌魔鬼大有作為
5.1：單擺也混沌
5.2：混沌電路
5.3：大海撈針
5.4：混沌在通信中的應用

第六篇：一生二，二生三，三生萬物
6.1：三生混沌
6.2：自組織現象
6.3：孤立子的故事
6.4：生命遊戲
6.5：木匠眼中的月亮

精彩書摘

　　2.2﹕洛倫茨的迷惑
　　李四洋洋灑灑地高談闊論瞭一番，張三笑起來瞭，說李四犯瞭和他的物理界老祖宗們一樣的毛病，把物理當成哲學瞭。物理畢竟不是哲學，你還是給我們講一些具體點的東西吧，講與你的那個X教授做的課題有點關係的。
　　李四扶正瞭帶著的深度近視眼鏡，仍然不緊不慢的，一邊打開一本書，一邊說，這不馬上就要進到正題瞭嗎：經典力學為何導齣瞭決定論? 混沌理論又是怎樣證明一個決定論的係統也可以齣現隨機的行為的呢? 你們看，當我們翻開任何一本關於混沌數學的書, 差不多都能看到與圖（2.2.1）類似的圖案。那是混沌理論的著名標簽：洛倫茨吸引子 【C】。
　　圖（2.2.1）：洛倫茨吸引子【C】
　　“什麼是‘吸引子’啊？”王二問。
　　李四摸瞭摸大腦袋說：“你的問題提得好啊，不過，‘吸引子’這個題目超前瞭一點兒，以後再講。今天，我先講講這個圖的來由，講講洛倫茨的工作吧……”
　　愛德華?洛倫茨（1917-2008）是一位在美國麻省理工學院做氣象研究的科學傢。上世紀的60年代初, 他試圖用計算機來模擬影響氣象的大氣流。當時，他用的還是由真空管組成的計算機，那是一個充滿整間實驗室的龐然大物啊。我想，那機器雖然大，計算速度還遠不及我們現在用的這些電腦吧。所以，可想而知，洛倫茨沒日沒夜的，工作得很辛苦。嚴謹的科學傢不放心隻算瞭一次的結果, 決定再作一次計算。為瞭節約一些時間, 他對計算過程稍微作瞭些改變，決定利用一部分上次得到的結果, 省略掉前一部分計算。
　　因此，那天晚上，他辛辛苦苦地工作到深夜，直接將上一次計算後的部分數據一個一個打到輸入卡片上，再送到計算機中。好，一切就緒瞭，開始計算！洛倫茨纔放心的迴傢睡大覺去瞭。
　　第二天早上，洛倫茨興緻勃勃地來到MIT計算機房，期待他的新結果能驗證上一次的計算。可是，這第二次計算的結果令洛倫茨大吃一驚：他得到瞭一大堆和第一次結果完全不相同的數據！換句話說，結果1和結果2韆差萬彆！
　　這是怎麼迴事呢？洛倫茨隻好再計算一次，結果仍然如此。又再迴到第一種方法，計算後得到原來的結果1。洛倫茨翻來覆去地檢查兩種計算步驟，又算瞭好幾次，方法1總是給齣結果1，方法2總是給齣結果2。兩種結果如此大大不同，必定是來自於兩種方法的不同。但是，兩種方法中，最後的計算程序是完全一樣的，唯一的差彆是初始數據：第一種方法用的是計算機中存儲的數據，而第二種方法用的是洛倫茨直接輸入的數據。
　　這兩組數據應該一模一樣啊！洛倫茨經過若乾次的檢查和驗證，盯著一個一個的數字反反復復看。啊，終於看到瞭。兩組數據的確稍微有所不同，若乾個數據中，有那麼幾個數字，被四捨五入後，有瞭一個微小的差彆。
　　難道這麼微小的差彆（比如，.000127）就能導緻最後結果如此大的不同嗎？洛倫茨百思而不解。
　　圖（2.2.2）：實綫和虛綫分彆是洛侖茲的兩次計算過程：
　　初始值的微小差彆，導緻最後的結果完全不同【48】。
　　上麵的示意圖中，顯示的是與洛倫茨氣象預報研究有關的結果。其中橫坐標錶示時間，縱坐標錶示洛倫茨所模擬，也就是想要預報的氣候中的某個參數值，比如說，大氣氣流在空間某點的速度、方嚮，或者是溫度、濕度、壓力之類的變量等等。根據初始值以及描述物理規律的微分方程，洛倫茨對這些物理量的時間演化過程進行數字模擬，以達到預報的目的。但是，洛倫茨發現，初始值的微小變化，會隨著時間增加而被指數放大，如果初始值稍稍變化，就使得結果大相徑庭的話，這樣的預報還有實際意義嗎？
　　王二似乎恍然大悟：“啊，難怪氣象颱播的氣象預報經常都不準，招來罵聲一片，看來他們也有他們的苦衷啊！”
　　張三說，圖（2.2.2）這個麯綫的意思比較容易理解，但是那個圖（2.2.1）是怎麼得來的啊？我看它沒完沒瞭的繞圈圈，這與洛倫茨的氣象預報計算有什麼關係呢？
　　李四說，慢慢聽，當然有關係！當時的洛倫茨雖然甚感迷惑，卻未必見得認識到瞭這個偶然發現的重要性, 也不一定能想到與此相關的‘混沌型’解將在非綫性動力學中掀起一場軒然大波。盡管如此，洛倫茨畢竟是一位數學訓練有素的科學傢。實際上，洛倫茨年輕時在哈佛大學主修數學，隻是因為後來爆發瞭第二次世界大戰，他纔服務於美國陸軍航空隊，當瞭一名天氣預報員。沒想到經過戰爭中這幾年與氣象打交道的生涯，洛倫茨喜歡上瞭這個專業。戰後，他便改變方嚮，到MIT專攻氣象預報理論，之後又成為瞭MIT的教授。他要利用他的數學頭腦，還有當時剛剛初露鋒芒的計算機和數字計算技術，來更準確地預測天氣，這是洛倫茨當時夢寐以求的理想。
　　可是，這兩次計算結果韆差萬彆，這種結果對初始值的分外敏感性給瞭洛倫茨的美好理想當頭一棒！使洛倫茨覺得自己在氣象預報工作中似乎顯得山窮水盡、無能為力。為瞭走齣睏境，他繼續深究下去。然而，越是深究下去，越是使洛倫茨不得不承認他的“準確預測天氣”的理想是實現不瞭的！因為當他研究他的微分方程組的解的穩定性時，發現一些非常奇怪和復雜的行為。
　　洛倫茨以他非凡的抽象能力, 將氣象預報模型裏的上百個參數和方程, 簡化到如下一個僅有三個變量及時間的、係數完全決定瞭的微分方程組。
　　dx/dt = 10(y - x) （2.2.1）
　　dy/dt = R*x – y – xz （2.2.2）
　　dz/dt = (8/3)z + xy （2.2.3）
　　這兒方程組中的x,y,z，並非任何運動粒子在三維空間的坐標，而是三個變量。這三個變量由氣象預報中的諸多物理量，如流速、溫度、壓力等等簡化而來。方程（2.2.2）中的R在流體力學中叫做瑞利數，與流體的浮力及粘滯度等性質有關。瑞利數的大小對洛侖茲係統中混沌現象的産生至關重要，以後還要談到。
　　這是一個不能用解析方法求解的非綫性方程組。洛侖茲將瑞利數R=28，然後，利用計算機進行反復迭代, 即首先從初始時刻x、y、z的一組數值x0、y0、z0，計算齣下一個時刻它們的數值x1、y1、z1，再算齣下一個時刻的x2、y2、z2……如此不斷地進行下去。將逐次得到的x、y、z瞬時值, 畫在三維坐標空間中，這便描繪齣瞭圖（2.2.1）的奇妙而復雜的‘洛倫茨吸引子’圖。
　　2.3﹕奇異吸引子
　　現在迴到王二的問題：什麼叫吸引子？或者說，什麼叫‘動力係統’的吸引子？還有張三的問題，那個圖中繞圈圈的軌道是怎麼迴事？
　　我們首先得弄清楚‘係統’這個概念。
　　什麼是‘係統’呢? 簡單地說, 係統是一種數學模型。是一種用以描述自然界及社會中各類事件的, 由一些變量及數個方程構成的一種數學模型。世界上的事物盡管韆變萬化, 繁雜紛紜, 但在數學傢們的眼中, 在一定的條件下, 都不外乎是由幾個變量和這些變量之間的關係組成的‘係統’。在這些‘係統’模型中, 變量的數目或多或少, 服從的規律可簡可繁, 變量的性質也許是確定的, 也許是隨機的, 每個係統又可能包含另外的‘子係統’。
　　由‘係統’性質之不同，又有瞭諸如‘決定性的係統’ 、‘隨機係統’、‘封閉係統’、‘開放係統’ 、‘綫性係統’、‘非綫性係統’、‘穩定係統’、‘簡單係統’、‘復雜係統’等等一類的名詞。
　　例如: 地球環繞太陽的運動, 可近似為一個簡單的二體係統；密閉罐中的化學反應, 可當成趨於穩定狀態的封閉係統；每一個生物體，都是一個自適應的開放係統；人類社會，股票市場，則可作為復雜的、隨機性係統的例子。
　　無論是何種係統，大多數的情形下，我們感興趣的是係統對時間的變化，稱其為‘動力係統’研究。這是理所當然的，誰會去管那種固定不變的係統呢？研究係統對時間變化的一個有效而直觀的方法就是利用係統的‘相空間’，一個係統中的所有獨立變量構成的空間叫做係統的‘相空間’。相空間中的一個點，確定瞭係統的一個‘狀態’，對應於一組給定的獨立變量值。研究狀態點隨著時間在相空間中的‘運動’情形，則可看齣係統對時間的變化趨勢，以觀察混沌理論中最感興趣的‘動力係統的長期行為’。
　　狀態點在相空間中運動，最後趨嚮的極限圖形，就叫做該係統的‘吸引子’。
　　換句通俗的話說，吸引子就是一個係統的‘最後歸屬’。
　　舉幾個簡單例子，更易於說明問題。一個被踢齣去的足球，在空中飛瞭一段距離之後，掉到地上，又在草地上滾瞭一會兒，然後靜止停在地上，如果沒有其它情況發生，靜止不動就是它的最後歸屬。因此，這段足球運動的吸引子，是它的相空間中的一個固定點。
　　人造衛星離開地麵被發射齣去之後，最後進入預定的軌道，繞著地球作二維周期運動，它和地球近似構成的二體係統的吸引子，便是一個橢圓。
　　兩種顔色的墨水被混閤在一起，它們經過一段時間的擴散，互相滲透，最後趨於一種均勻混閤的動態平衡狀態，如果不考慮分子的布朗運動，這個係統的最後歸屬-吸引子，也應該是相空間的一個固定點。
　　在發現‘混沌現象’之前，也可以粗略地說，在洛倫茨研究他的係統的最後歸屬之前，吸引子的形狀可歸納為如下左圖所示的幾種‘經典吸引子’，也稱‘正常吸引子’：
　　圖（2.3.1）經典吸引子和奇異吸引子
　　第一種是穩定點吸引子，這種係統最後收斂於一個固定不變的狀態；第二種叫極限環吸引子，這種係統的狀態趨於穩定振動，比如天體的軌道運動；第三種是極限環麵吸引子，這是一種似穩狀態。如圖（2.3.1）左圖所示，一般地說，對應於係統的方程的解的經典吸引子是相空間中一個整數維的子空間。例如：固定點是一個零維空間；極限環是一個一維空間；而麵包圈形狀的極限環麵吸引子則是一個二維空間。
　　鍾擺是個簡單直觀的例子。任何一個擺，如果不給它不斷地補充能量的話，最終都會由於摩擦和阻尼，而停止下來。也就是說，係統的最後狀態是相空間中的一個點。因此，這種情況下的吸引子是第一種：固定點。如果擺有能量來源，像掛鍾，有發條，或電源，不停下來的話，係統的最後狀態是一種周期性運動。這種情況下的吸引子就是第二種：極限環。剛纔我說的擺，都隻是在一個方嚮擺動，設想有一個擺，如果除瞭左右擺動之外，上麵加瞭一個彈簧，於是就又多瞭一個上下的振動，這就形成瞭擺的耦閤振蕩行為，具有兩個振動頻率。
　　王二反應快：“哦，明白瞭！第三種，極限‘麵包圈吸引子’就是對應於好幾個頻率的情形。”王二喜歡自作聰明，得意地說。可是，張三卻反駁：
　　“好像不完全是這樣。在大學一年級“普通物理”中學過的，如果這兩個頻率的數值成簡單比率的關係，也就是說，兩個頻率的比值是一個有理數，那在實質上仍然是周期性運動，吸引子仍是第二種：歸於極限環那種。如果這兩個頻率之間不成簡單比率關係，也就是說，比值是一個無理數，就是那種小數錶達式包含無窮多位，並且沒有重現的模式的數。當組閤係統具有無理頻率比值時，代錶組閤係統的相空間中的點環繞環麵鏇轉，自身卻永遠不會接閤起來。這樣的係統看起來幾乎是周期的，卻永遠不會精確地重復自身，被稱作‘準周期的’，但是，運動軌道總是被限製在一個麵包圈上，這就應該對應於圖中的第三種情形。”
　　總而言之，用上述三種吸引子描述的自然現象還是相當規則的。這些是屬於經典理論的吸引子，根據經典理論，初始值偏離一點點，結果也隻會偏離一點點。因此，科學傢甚至可以提前相當長的時間預測極復雜的係統的行為。這一點，是‘拉普拉斯妖’決定論的理論基礎，也是洛侖茲夢想進行長期天氣預報的根據。
　　但是，從兩次計算的巨大偏差，洛侖茲感到情況不妙，於是，纔想到瞭把他的計算結果畫齣來。也就是將上一章中給齣的三個方程（2.2.1-3）中x、y、z對時間的變化麯綫，畫到瞭三維空間中，看看它到底是三種吸引子中的哪一種？
　　這一畫就畫齣瞭一片新天地！因為洛侖茲怎麼也不能把他畫齣的圖形歸類到任何一種經典吸引子。看看自己畫齣的圖形，即圖（2.3.1）的右圖，洛侖茲覺得這個係統的長期行為十分有趣：似穩非穩，似亂非亂，亂中有序，穩中有亂。
　　這是一個三維空間裏的雙重繞圖，軌綫看起來是在繞著兩個中心點轉圈，但又不是真正在轉圈，像張三所說的，方程解的軌道，繞來繞去繞不齣個名堂！因為它們雖然被限製在兩翼的邊界之內，但又決不與自身相交。這意味著係統的狀態永不重復，是非周期性的。也就是說, 這個具有確定係數, 確定方程, 確定初始值的係統的解, 是一個外錶和整體上呈貌似規則而有序的兩翼蝴蝶形態, 而內在卻包含瞭無序而隨機的混沌過程的復雜結構。當時，眼光不凡的洛倫茨準確地將此現象錶述為‘確定性非周期流’。他的文章發錶在1963年的《大氣科學》雜誌上。
　　2.4﹕蝴蝶效應
　　“圖（2.3.1）中，右邊的洛侖茲吸引子，看起來就顯然不同於那幾個經典的。不屬於經典理論的吸引子，就叫做奇異吸引子，對吧？”張三問。
　　對，但是我們還是得從數學上弄明白，奇異吸引子到底有哪些特彆之處。我們在前一章中提到過：幾個經典吸引子分彆是0、1、2維的圖形。那你們看看，下麵圖中這個畫在3維空間的洛侖茲吸引子像是多少維呢？
　　“多少維？”王二眼睛一亮：“這個維數一定是個分數？”
　　圖（2.4.1）：洛倫茨吸引子是個2.06維的分形【C】
　　張三想瞭想說：“等等，這個圖形的確像一個分形。但是分形的維數不一定就是分數。圖形雖然復雜，但是看起來，每個分支基本上都還是在各自的平麵上轉圈圈。總共是兩個平麵，這個圖形可能還是2維。有點類似分形龍的圖形那樣，麯綫繞來繞去，繞來繞去，最後充滿一部分麵積……所以我猜是2維。”
　　從前幾章對分形的介紹中, 我們已經知道: 不僅有整數維的幾何圖形，也有分數維的幾何形狀存在。錶現齣‘混沌現象’的係統的吸引子-奇異吸引子，就是一種分形。整數維數的吸引子（正常吸引子）是光滑的周期運動解，分數維數的吸引子（奇異吸引子）則是相關於‘非綫性係統’的非光滑的混沌解。圖（2.4.1）所示的洛倫茨吸引子的麯綫, 隻是象徵性地顯示瞭麯綫的一部分。吸引子實際上是一個具有無窮結構的分形。如讀者用本書最後給齣的鏈接，到‘洛倫茨吸引子’程序, 進一步觀察, 則會發現, 狀態點, 也就是洛倫茨係統的解, 將隨著時間的流逝不重復地, 無限次數地奔波於兩個分支圖形之間。有數學傢仔細研究瞭洛倫茨吸引子的分形維數，得齣的結果是2.06（+、-）0.01。
　　從奇異吸引子的形狀及幾何性質，我們看到瞭混沌和分形關聯的一個方麵：分形是混沌的幾何錶述。
　　奇異吸引子不同於正常吸引子的另一個很重要特徵是它對初始值的敏感性：前麵一章中所說的三種經典吸引子對初始值都是穩定的，也就是說，初始狀態接近的軌跡始終接近，偏離不遠。而奇異吸引子中，初始狀態接近的軌跡之間的距離卻隨著時間的增大而指數增加。
　　這就是為什麼使得在數學上造詣頗深的洛倫茨迷惑的原因。因為他發現，用他的數學模型進行計算的結果大大地違背瞭經典吸引子應有的結論。因為給定初始值的一點點微小差彆，將使得結果完全不同。這個敏感性體現在氣象學中，就是說：計算結果隨著被計算的天氣預報的時間, 成指數地放大, 在洛倫茨所計算的兩個月的預報之中, 每隔四天的預報計算, 差彆就被放大一倍。因此，最後得到瞭顯然不同的結果。
　　由此, 洛倫茨意 蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌 下載 mobi epub pdf txt 電子書

評分☆☆☆☆☆

“為什麼世界這麼美麗，因為我眼睛看到的都是分形”有學者這麼說。從漫長蜿蜒的海岸綫，到人體大腦的結構，分形無處不在！在美得像天使一樣的分形中人類有什麼樣的驚人發現？

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沒事兒多看些書，精神食糧很重要。

評分☆☆☆☆☆

蝴蝶效應之謎：走近分形與混沌這本書不錯。

評分☆☆☆☆☆

質量很好。一直在這買。推薦購買。送貨很快。贊???

評分☆☆☆☆☆

書內容很有趣，看瞭一下，今日繼續

評分☆☆☆☆☆

物美價廉，快遞速度快，滿意

評分☆☆☆☆☆

看起來還不錯，一本小書。

評分☆☆☆☆☆

蝴蝶，混沌，這還能聯係一起

評分☆☆☆☆☆

“為什麼世界這麼美麗，因為我眼睛看到的都是分形”有學者這麼說。從漫長蜿蜒的海岸綫，到人體大腦的結構，分形無處不在！在美得像天使一樣的分形中人類有什麼樣的驚人發現？

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