差分方程及其應用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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周義倉，曹慧，肖燕妮 著

圖書標籤:

• 差分方程
• 數值分析
• 數學模型
• 應用數學
• 離散數學
• 工程數學
• 控製理論
• 信號處理
• 優化算法
• 科學計算

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030407290

版次：1

商品编码：11488805

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-06-01

用纸：胶版纸

页数：312

字数：390000

正文语种：中文

內容簡介

　　《差分方程及其應用》在大學數學課程的基礎上較係統地介紹差分方程的基本概念、求解方法、綫性差分方程組的基本理論、差分方程的定性、穩定性分析方法和分支理論等知識，特彆是Liapunov函數、差分不等式和比較定理、鞍結點分支、Flip分支和不變解麯綫的分支等知識，以便為讀者進行差分方程的應用和理論研究提供基礎。《差分方程及其應用》中給齣瞭大量的應用例子來展示差分方程或差分方程組在物理學、經濟學、生態學和傳染病動力學等方麵的廣泛應用，包括我們近年來在研究人口增長、艾滋病和結核傳播、甲型流感防控等問題中建立的差分方程模型的分析和應用。這是一本差分方程基礎知識介紹和應用研究相結閤的專著，我們希望《差分方程及其應用》能引導讀者在差分方程的應用方麵盡快地從學習基本理論和方法走到研究的前沿，能建立和應用差分方程研究和解決一些應用問題，並探索一些差分方程復雜的動力學性態。

內頁插圖

目錄

第1章 緒論1.1 一些應用差分方程的例子1.1.1 兔子對數的遞推關係1.1.2 從兩個簡單問題導齣的差分方程1.1.3 近似計算與差分方程1.1.4 經濟學中兩個問題1.1.5 隨機現象中概率的遞推1.1.6 一個種群數量變化的描述 1.2 差分方程的概念和求解1.2.1 差分算子及其性質1.2.2 初等函數的差分1.2.3 不定和1.2.4 差分方程1.3 簡單差分方程的復雜性態1.3.1 差分方程的平衡解及其穩定性1.3.2 蟲口方程的倍周期分叉1.3.3 一個非綫性模型的混沌性態1.3.4 帳篷映射習題1

第2章 綫性差分方程2.1 綫性差分方程解的一般理論2.1.1 n階綫性差分方程及其解的存在唯一性2.1.2 函數組的綫性相關2.1.3 齊次綫性差分方程解的一般理論2.1.4 非齊次綫性差分方程解的疊加原理2.2 n階常係數綫性差分方程2.2.1 常係數綫性齊次差分方程的解2.2.2 常係數綫性非齊次差分方程2.2.3 算子法2.2.4 可以轉換為綫性方程的情形2.2.5 綫性差分方程的應用舉例2.3 綫性差分方程組2.3.1 綫性常係數齊次差分方程組2.3.2 綫性差分方程組的一般理論2.3.3 常係數綫性齊次差分方程組的解2.3.4 綫性非齊次差分方程組的解2.3.5 綫性周期差分方程組2.4 綫性差分方程組的應用舉例2.4.1 Markov鏈2.4.2 兩個國傢的國民收入和貿易2.4.3 熱傳導方程習題2

第3章 差分方程的穩定性3.1 解對初始值和參數的連續性3.1.1 嚮量的模3.1.2 差分不等式3.1.3 解對初始值的依賴性3.1.4 解對參數的依賴性3.2 穩定性的一些概念3.2.1 平衡解穩定性的定義3.2.2 穩定性的幾個例子3.2.3 差分方程的比較原理3.2.4 動力係統3.3 綫性差分方程平衡解的穩定性3.3.1 穩定性討論的幾個具體例子3.3.2 綫性差分方程組零解的穩定性3.3.3 常係數綫性差分方程組零解的穩定性3.4 穩定性研究中的綫性化近似方法3.4.1 綫性非自治方程組零解穩定性的比較方法3.4.2 非綫性差分方程組與綫性差分方程組的比較3.4.3 判斷非綫性差分方程組平衡解穩定性的綫性化方法3.4.4 平衡解穩定性研究中的比較原理3.5 Liapunov直接方法3.5.1 Liapunov函數的定義3.5.2 Liapunov穩定性定理3.5.3 LaSalle不變性原理3.5.4 Liapunov不穩定性定理3.5.5 Liapunov函數的存在性3.6 差分方程模型的穩定性分析舉例3.6.1 兩階段的種群模型3.6.2 一個具有時滯的種群模型平衡解的穩定性3.6.3 兩種群相互競爭的模型習題3

第4章 差分方程的分支4.1 平衡解的分支4.1.1 分支點的定義4.1.2 逐次消元法4.1.3 零因子消去法4.2 一維差分方程平衡解的分支4.2.1 鞍結點分支4.2.2 跨臨界分支4.2.3 音叉分支（pitchfork bifurcation）4.2.4 反轉分支（flip bifurcation）4.3 二維差分方程組平衡解和穩定性的分支4.3.1 常係數綫性齊次方程組平衡解的穩定性和相圖4.3.2 一個非綫性差分方程組平衡解的穩定性和分支4.4 不變閉麯綫的分支4.4.1 Hopf分支4.4.2 不變閉麯綫族的分支4.5 生態模型中的分支4.5.1 Beverton-Holt模型的分支4.5.2 兩階段種群模型平衡解的分支4.5.3 p=□時模型（4.5.2）的Flip分支4.5.4 p=□時模型（4.5.2）的Hopf分支？4.6 一個傳染病模型的分支4.6.1 模型及其平衡解4.6.2 平衡解的穩定性4.6.3 模型（4.6.5）的Flip分支4.6.4 模型（4.6.5）的鞍結點分支4.6.5 模型（4.6.5）的Hopf分支習題4

第5章 差分方程在生態和傳染病問題中的應用5.1 人口和種群增長的Leslie矩陣模型5.1.1 模型建立5.1.2 模型的分析5.1.3 一個非綫性Leslie模型5.1.4 具有一般結構的Liesle模型5.2 離散傳染病模型5.2.1 傳染病問題的重要性5.2.2 幾個基本的離散傳染病模型5.2.3 具有感染階段的艾滋病模型5.2.4 具有感染階段的艾滋病模型的應用5.3 結核病傳播的差分方程模型5.3.1 結核的傳播過程5.3.2 結核的流行現狀5.3.3 結核的建模與研究情況5.3.4 具有季節性的結核病模型5.3.5 具有年齡結構的結核模型5.4 Beverton-Holt模型5.4.1 自治Beverton-Holt模型的穩定性5.4.2 非自治Beverton-Holt模型的周期解5.4.3 具有脈衝收獲策略的非自治Beverton-Holt離散模型習題5

附錄A 映射的中心流形定理A.1 問題的提齣A.2 差分方程組中心流形定理的幾個結論A.3 中心流形定理在判定平衡解穩定性時的應用舉例A.4 中心流形定理在研究分支問題時的應用舉例附錄B 2006年中國人口的一些統計數據附錄C 2003年北京市sARs流行期間的數據參考文獻索引

前言/序言

動態係統建模與分析：綫性代數與微積分視角 作者： 王誌明、李慧敏 齣版社： 科學齣版社 頁數： 680頁 定價： 128.00元 --- 叢書定位與目標讀者 本書是“現代工程數學與計算科學前沿係列”中的核心教材之一，旨在為理工科高年級本科生、研究生以及從事工程與科學計算的專業技術人員，提供一套全麵、深入且極具應用導嚮的動態係統建模與分析的理論框架。不同於側重特定微分方程類型的專著，本書的視角更為宏觀和基礎，它將動態係統的分析根植於綫性代數和多元微積分的堅實基礎之上，著重於係統解的結構、穩定性判定以及數值求解方法，而非僅僅停留在特定方程的解析求法。 本書特彆強調從物理實際到數學模型的轉化過程，並利用現代計算工具（如MATLAB/Python）來可視化和驗證理論結果。 內容結構與核心特色 全書共分為六大部分，約三十章，結構嚴謹，層層遞進。 第一部分：基礎迴顧與係統概念引入（約100頁） 本部分首先對讀者進行必要的數學基礎鞏固，但重點在於重新審視這些基礎在描述動態過程中的意義。 1. 綫性代數：從嚮量空間到算子。 重點復習特徵值、特徵嚮量、矩陣分解（Jordan標準形、SVD）的幾何意義，並引入狀態空間描述的數學基礎。強調矩陣的冪次如何對應於離散時間係統的演化。 2. 多元微積分與嚮量場。 迴顧泰勒展開的更高階形式，重點討論流形上的切綫空間和梯度，為非綫性係統的局部綫性化奠定基礎。 3. 動態係統的基本範式。 區分連續時間與離散時間係統，引入輸入-狀態-輸齣（Input-State-Output, ISO）框架。初步探討守恒定律在係統建模中的體現。 第二部分：綫性常係數係統的狀態空間分析（約150頁） 這是全書的理論核心之一，完全采用矩陣和綫性代數的語言來描述和分析係統行為。 1. 係統的解的結構。 詳細推導齊次係統的解的矩陣指數形式 $mathbf{x}(t) = e^{mathbf{A}t} mathbf{x}(0)$。著重講解矩陣指數的計算方法（基於對角化、若爾當形式、拉普拉斯反變換法），並討論其數值穩定性和計算復雜性。 2. 係統的穩定性理論。 從李雅普諾夫（Lyapunov）角度引入能量函數和李雅普諾夫方程。對於綫性係統，重點分析矩陣 $mathbf{A}$ 的特徵值位置與係統穩定性的直接關係（漸近穩定、指數穩定、邊界穩定）。引入可控性與可觀測量。 3. 傳遞函數與框圖代數（作為補充視角）。 雖然本書主要聚焦狀態空間，但為與經典控製理論銜接，本章簡要介紹傳遞函數在單輸入單輸齣（SISO）綫性時不變（LTI）係統分析中的作用，重點在於理解其極點和零點與狀態空間矩陣特徵值的對應關係。 第三部分：非綫性係統的局部分析與穩定性（約180頁） 本部分將分析的復雜性提升到非綫性領域，核心工具是局部綫性化和李雅普諾夫穩定性理論。 1. 相平麵分析（二維係統）。 針對二階或可降維係統，利用相平麵圖直觀展示平衡點、極限環和軌綫結構。這部分強調幾何直覺的培養。 2. 平衡點的綫性化與Jacobian矩陣。 詳細講解如何通過泰勒展開在平衡點附近將非綫性係統轉化為綫性係統，並利用Jacobian矩陣的特徵值來判定平衡點的局部穩定性。 3. 李雅普諾夫穩定性理論的擴展。 深入講解李雅普諾夫直接法（能量函數構造）。介紹間接法（利用綫性化）的局限性。引入勞薩-赫爾維茨判據作為特徵值判據在時域分析中的替代形式。 4. 極限環的存在性與判定。 介紹龐加萊-本迪剋森定理的基本思想，以及如何利用極限環的性質（如周期性）進行係統設計。 第四部分：脈衝與激勵下的係統響應（約100頁） 本部分聚焦於係統如何響應外部作用，特彆是突變和持續的輸入信號。 1. 衝激響應與捲積積分。 詳細推導連續時間係統的捲積積分公式 $mathbf{x}(t) = int_0^t e^{mathbf{A}(t- au)} mathbf{B} mathbf{u}( au) d au$。強調矩陣指數在計算瞬態響應中的核心作用。 2. 係統對階躍、斜坡信號的穩態響應。 分析係統在不同輸入下的最終狀態，引入Type I、II、0係統的概念，並將其與狀態空間中的零輸入/零狀態響應解耦。 3. 輸入可達性與輸齣可控性分析。 利用可控性矩陣（Controllability Matrix）和可觀測量矩陣（Observability Matrix）來嚴格定義係統在有限時間內是否能被驅動到任意狀態，或能否從輸齣中完全推斷齣內部狀態。 第五部分：離散時間係統的分析（約80頁） 本部分將狀態空間分析框架移植到離散領域，重點在於Z變換和迭代性質。 1. 離散係統的狀態演化與Z變換。 講解離散係統的演化方程 $mathbf{x}_{k+1} = mathbf{F} mathbf{x}_k + mathbf{G} mathbf{u}_k$。引入矩陣 $mathbf{F}$ 的冪次計算，並闡述Z變換在求解離散係統方程中的作用。 2. 離散係統的穩定性判據。 闡明離散係統穩定性與特徵值在單位圓上的位置關係（內側、圓上、外側）。 3. 脈衝響應與零階保持器（ZOH）的聯係。 討論如何從連續時間模型齣發，通過零階保持器采樣得到等效的離散時間模型，理解采樣周期對係統穩定性的影響。 第六部分：數值計算與現代工程應用（約70頁） 本部分是理論與實踐的橋梁，側重於計算機輔助分析。 1. 數值積分方法綜述。 對歐拉法、龍格-庫塔法（RK4）等基礎數值積分方法進行對比，重點分析其誤差來源、收斂性和穩定性邊界，特彆是在處理剛性（Stiff）係統時的挑戰。 2. 控製與優化初步。 簡要介紹如何利用係統的狀態空間描述進行反饋控製器的設計（如極點配置），以及如何使用優化方法（如梯度下降法）來尋找最優控製輸入。 3. 應用案例：電路、機械振動與人口動力學。 通過具體的物理模型實例，展示如何從物理定律（基爾霍夫定律、牛頓第二定律）直接導齣狀態空間方程，並利用本書所學方法進行分析。 教材特色總結 本書的獨特之處在於其強大的數學統一性。它避免瞭將常微分方程、偏微分方程、差分方程等主題割裂開來，而是將所有動態係統的分析視為迭代或連續的綫性算子作用於狀態嚮量的結果。通過深入剖析矩陣指數和李雅普諾夫函數，讀者可以構建一個統一的“動態係統思維”，無論係統是連續的還是離散的，是綫性的還是局部的非綫性，其內在的演化結構都可以通過本教程中闡述的代數和微積分工具進行精確描述和分析。本書是工程和科學計算領域對“動態係統行為”進行量化和預測的堅實基石。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔大方，書名“差分方程及其應用”幾個字顯得穩重而富有學術氣息。我是一名對數學模型和工程應用充滿好奇的學習者，一直在尋找一本能夠係統介紹差分方程並且能展示其廣泛應用的書籍。這本書的內容，雖然我還沒有深入研讀，但僅從目錄和扉頁的介紹中，我便能感受到其厚重和全麵的體係。 我尤其期待書中能夠詳盡地闡述差分方程的基本概念，比如差分的定義、不同階的差分方程的構造，以及如何通過迭代、特徵方程等方法求解這些方程。希望作者能夠循序漸進地引導讀者，從最簡單的綫性常係數差分方程開始，逐步過渡到更為復雜的非綫性、偏微分方程等，確保即使是初學者也能逐步建立起紮實的理論基礎。 更吸引我的是“及其應用”這部分。我希望能看到差分方程在不同領域的實際應用案例。例如，在金融學中，差分方程如何用於建模股票價格的波動、期權定價；在經濟學中，如何分析經濟增長模型、宏觀經濟調控；在物理學中，如何描述離散係統的動力學行為，如振動、擴散等；在計算機科學中，如何用於算法分析、圖像處理等。期待書中能提供豐富的實例，並對這些應用場景下的模型構建、求解過程及其結果進行深入的解讀，讓我能夠直觀地理解理論知識的價值。 此外，我還會關注書中是否有關於數值方法的介紹。雖然理論解是理想的，但在許多實際問題中，差分方程可能無法得到解析解，此時就需要藉助數值方法來逼近求解。希望書中能涵蓋一些常用的數值算法，例如歐拉法、龍格-庫塔法等，並解釋它們在差分方程求解中的具體應用和局限性。同時，如果能有關於算法的僞代碼或者與實際編程相結閤的示例，那就更完美瞭，能夠幫助我將理論知識轉化為實際操作能力。 總而言之，我對這本書抱有極高的期望。我希望它不僅僅是一本理論教材，更是一本能夠激發學習興趣、拓展應用視野的工具書。我期待通過閱讀這本書，能夠深入理解差分方程的精妙之處，並掌握將其應用於解決實際問題的能力，為我在未來的學習和研究中打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

翻開這本書，撲麵而來的便是那種嚴謹的學術氛圍。我對差分方程的瞭解還停留在非常基礎的層麵，所以這本書的名字對我來說，簡直是打開瞭一扇通往更廣闊數學世界的大門。我非常期待書中能夠從最基本的定義和性質講起，讓我對“差分”這個概念有清晰的認識，並理解它與微分的聯係和區彆。 我特彆想瞭解的是，書中會如何係統地介紹不同類型的差分方程。比如，綫性常係數差分方程是如何被分類和求解的？非綫性差分方程又有什麼特點，是否存在一些通用的求解策略，或者更多依賴於數值方法？希望作者能夠提供詳盡的推導過程和清晰的邏輯脈絡，讓我能夠理解這些方法的由來和原理，而不是簡單地記憶公式。 “應用”這個詞對我來說有著巨大的吸引力。我希望這本書能夠把我腦海中那些抽象的數學公式，轉化為現實世界中可觸碰的現象。比如，在生物學中，差分方程如何用來模擬種群的繁衍和衰退？在工程領域，如何用於分析電路的瞬態響應或者機械結構的穩定性？如果書中能提供一些貼近生活或前沿研究的案例，並詳細解析其建模過程，那將是極大的收獲。 我還會關注書中對於差分方程的穩定性分析。在很多應用場景中，一個模型的穩定性至關重要，它決定瞭係統的長期行為是否可預測。希望書中能解釋清楚如何通過特徵根、李雅普諾夫函數等方法來分析差分方程的穩定性，以及穩定性與係統參數之間的關係。這對於理解和設計可靠的係統至關重要。 總的來說，我希望這本書能成為我係統學習差分方程的起點，並為我打開一扇通往多學科應用的大門。我期待它能夠兼具理論的深度和應用的廣度，讓我不僅能掌握差分方程的數學工具，更能理解它在解決實際問題中的強大力量。

评分☆☆☆☆☆

這本書的書名“差分方程及其應用”就如同一個清晰的指引，告訴我它將帶領我深入探索數學中一個至關重要的分支。我對差分方程的接觸不多，但隱約感覺到它在描述離散係統和動態過程方麵有著不可替代的作用。我非常期待這本書能夠提供一個循序漸進的學習路徑。 我希望書中能夠詳細介紹差分方程的構建過程。很多實際問題，當我們將其離散化時，便會産生差分方程。希望作者能展示如何從實際問題齣發，一步步地建立起相應的差分模型。這包括如何定義自變量和因變量，如何建立它們之間的遞推關係。 在求解方法方麵，我期待書中能涵蓋從解析解到數值解的各種手段。比如，對於綫性差分方程，希望能夠詳細講解特徵方程法、生成函數法等，並提供足夠的例題來鞏固理解。對於更復雜的方程，希望書中能介紹常用的數值算法，並說明它們的適用範圍和精度。 “應用”的部分更是我關注的焦點。我希望看到差分方程在信號處理、圖像識彆、控製係統等現代科技領域中的實際應用。如果書中能提供一些具體的算法實現思路，或者與計算機編程相結閤的示例，將能極大地提升我學習的積極性。 我也好奇書中是否會討論差分方程與差分代數方程（Differential-Algebraic Equations, DAEs）之間的聯係。在某些復雜的工程問題中，常常會遇到混閤瞭微分和代數方程的係統，瞭解差分方程在其中扮演的角色，或許能為我打開新的思路。 最終，我希望通過閱讀這本書，能夠對差分方程形成一個全麵而深入的理解，並具備運用它來分析和解決實際問題的能力。

评分☆☆☆☆☆

這本書的書名，簡單明瞭，卻包含瞭我一直以來想要深入瞭解的數學工具——差分方程，以及它那廣闊的應用領域。我目前對差分方程的理解非常有限，更多地停留在一些零散的概念和簡單的例子上。因此，我期望這本書能夠提供一個係統而全麵的視角。 我特彆想瞭解的是，書中會如何從數學的根源上解釋差分方程的生成機製，以及它與微積分的內在聯係。例如，當我們對一個連續係統進行離散化處理時，是如何一步步地推導齣差分方程的。希望作者能在這方麵給予詳細的闡述，讓我理解差分方程的數學基礎。 在求解方法上，我希望書中能夠詳細講解各種解析和數值方法。對於綫性常係數差分方程，我期待能看到特徵方程法、母函數法等經典方法的詳細推導和應用。對於非綫性差分方程，我希望書中能介紹一些迭代法、擾動法等近似求解的技巧，並分析它們的收斂性和精度。 “應用”部分是我最為期待的。我希望書中能夠展示差分方程在金融建模、經濟預測、通信係統、甚至生物信息學等領域的實際應用案例。如果能有具體的案例分析，詳細說明如何建立數學模型，如何求解，以及如何解釋結果，那將是非常有價值的學習資料。 此外，我還會關注書中是否會討論差分方程的穩定性分析。在許多動力學係統中，瞭解係統的長期行為是否穩定至關重要。希望書中能介紹如何通過判斷特徵根的性質來分析係統的穩定性，以及如何通過參數調整來改善係統的穩定性。 總之，我希望這本書能夠成為我學習差分方程的“寶典”，它不僅能幫助我掌握數學理論，更能讓我看到差分方程在解決現實世界問題中的強大威力。

评分☆☆☆☆☆

當我看到“差分方程及其應用”這個書名時，我的腦海裏立刻勾勒齣一幅畫麵：數學的嚴謹與現實的活潑交織在一起。我是一名對數據分析和建模有濃厚興趣的在校學生，深知在處理離散化數據和序列時，差分方程是不可或缺的工具。 我期望書中能夠從最基礎的概念入手，清晰地定義差分、差分算子，以及如何從實際問題中提取齣差分方程。希望作者能夠用生動易懂的語言，解釋不同階差分方程的性質，以及它們在描述不同類型動態係統時的優勢。 在求解方麵，我非常期待書中能夠係統地介紹各種方法，從簡單的代數技巧到更復雜的生成函數法。對於綫性常係數差分方程，希望能夠提供詳盡的例題，幫助我掌握解法的步驟和技巧。對於那些解析解不易獲得的情況，希望書中能詳細介紹數值求解方法，並討論它們的優缺點和適用範圍。 “應用”這個詞對我而言，是這本書最大的亮點。我熱切地希望看到差分方程在經濟學中的宏觀和微觀模型，在工程學中的控製理論和信號處理，甚至在社會科學中對人類行為模式的分析。如果書中能提供一些實際數據的建模案例，並展示如何利用差分方程進行預測和決策，那將是一場視覺和思想的盛宴。 我還想瞭解書中是否會涉及到一些前沿的應用，比如在機器學習中，差分方程是否可以用於設計新的算法或者分析現有算法的收斂性。 總而言之，我希望這本書能夠成為我探索差分方程世界的絕佳嚮導，讓我不僅能理解其數學之美，更能感受到它在解決實際問題中的強大力量。

评分☆☆☆☆☆

国内不可多得的较为全面的差分方程教材，内容比较丰富，既讲了差分方程的理论、常见差分方程如线性差分方程的解法，也讲了应用

评分☆☆☆☆☆

8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。

评分☆☆☆☆☆

9，线性赋范空间、Banach空间、Euclid空间、Hilbert空间、线性算子、算子的范数、连续算子空间、赋范空间上的可微映射、映射的微分与导数、映射的微分的Jacobi矩阵、函数的连续性与可微性、微分的算术运算、复合映射的微分、逆映射的微分、映射的偏导数与微分、方向导数与梯度。

评分☆☆☆☆☆

9，Fermat定理、Rolle定理、有限增量定理、l‘Hospital法则、带Peano余项的Taylor公式、Roth定理、带Schlomilch-Routh余项的Taylor公式、Lagrange余项与Cauchy余项。

评分☆☆☆☆☆

偏微分方程：在微分方程中，自变量的个数为两个或者两个以上。

评分☆☆☆☆☆

数学分析(A)-3

评分☆☆☆☆☆

微分方程：凡表示未知函数，未知函数的导数及自变量之间关系的方程

评分☆☆☆☆☆

1，逻辑符号、集合与集合的初等运算、函数与映射、集合的势、公理集合论。

评分☆☆☆☆☆

7，连续映射、连续映射与同胚、Peano曲线、Tietze扩张定理、拓扑空间的紧致性、Heine-Borel定理、紧致空间的性质、Bolzano-Weierstrass性质、Lebesgue引理、局部紧空间、Lindelof定理。