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內容簡介

“十二五”應用型本科係列規劃教材復變函數與積分變換主編杜洪艷尤正書侯秀梅
參編劉軍張清平陽彩霞機械工業齣版社復變函數與積分變換是電氣、電子、通信、電信、自動化等專業的必修課程，其理論與方法在自然科學與工程技術領域均有廣泛的應用.本書是復變函數與積分變換課程教材，全書共分為9章.前5章介紹瞭19世紀中葉建立的經典復變函數的基本內容：復數與復平麵、解析函數、復積分、級數、留數及其應用.保形映射為復解析函數所特有的基本結論之一.最後3章介紹瞭積分變換，包括傅裏葉變換、拉普拉斯變換和快速傅裏葉變換.
本書內容豐富、邏輯嚴密、重點突齣，對基本概念、理論、方法的敘述力求深入淺齣、清晰準確，每章最後還配置瞭適量的習題以供讀者鞏固練習.除第9章外，每章還配置瞭自測題以供讀者自我檢測.本書可作為普通高等院校工科類學生學習復變函數與積分變換的教材，也可作為科技工作者的參考用書。

目錄

前言

第1章復數與復平麵1

1.1復數1

1.1.1復數的概念1

1.1.2復數的模與輻角2

1.1.3復數的三角錶示與指數錶示4

1.2復數的運算及幾何意義5

1.2.1復數的加法和減法5

1.2.2復數的乘法和除法6

1.2.3復數的乘方和開方8

1.2.4共軛復數的運算性質10

1.3平麵點集12

1.3.1點集的概念12

1.3.2區域13

1.3.3平麵麯綫14

1.3.4單連通區域與多連通區域14

1.4無窮遠點與復球麵15

1.4.1無窮遠點15

1.4.2復球麵15

本章小結16

綜閤練習題118

自測題119

第2章解析函數20

2.1復變函數及其相關概念20

2.1.1復變函數的概念20

2.1.2復變函數的極限與連續21

2.2解析函數及其相關概念25

2.2.1復變函數的導數25

2.2.2解析函數的概念27

2.2.3求導運算的法則27

2.3柯西�怖杪�條件29

2.3.1函數可導的充分必要條件29

2.3.2函數在區域內解析的充分必要

條件31

2.4初等函數33

2.4.1指數函數33

2.4.2對數函數35

2.4.3冪函數37

2.4.4三角函數與反三角函數38

2.4.5雙麯函數與反雙麯函數40

本章小結41

綜閤練習題245

自測題247

第3章復積分48

3.1復變函數的積分48

3.1.1復變函數積分的概念48

3.1.2復積分的存在性及其計算49

3.1.3復積分的基本性質52

3.2柯西�補湃�定理及其推廣53

3.2.1柯西�補湃�定理53

3.2.2柯西�補湃�定理的推廣54

3.2.3原函數與不定積分56

3.3柯西積分公式和高階導數公式58

3.3.1柯西積分公式及最大模原理58

3.3.2解析函數的高階導數61

3.4解析函數與調和函數的關係64

3.4.1調和函數與共軛調和函數的

概念64

3.4.2解析函數與共軛調和函數的

關係65

本章小結69

綜閤練習題372

自測題374

第4章級數76

4.1復數項級數76

4.1.1復數序列的極限76

4.1.2復數項級數77

4.2冪級數80

4.2.1復變函數項級數80

4.2.2冪級數81

4.2.3冪級數的收斂圓與收斂半徑82

4.2.4冪級數的性質85

4.3泰勒級數87

4.3.1解析函數的泰勒展開式87

4.3.2幾個典型初等函數的泰勒展

開式89

4.4洛朗級數91

4.4.1函數在圓環形解析域內的洛

朗展開式91

4.4.2函數展開成洛朗級數的間接

展開法96

本章小結100

綜閤練習題4103

自測題4104

第5章留數及其應用106

5.1孤立奇點和零點106

5.1.1孤立奇點的定義及性質106

5.1.2零點110

5.1.3無窮遠點為孤立奇點113

5.2留數115

5.2.1留數及其相關概念115

5.2.2無窮遠點的留數118

5.3留數定理120

5.4留數在定積分計算中的應用123

5.4.1形如∫2π0R(cosθ，sinθ)dθ的

積分123

5.4.2形如∫+∞-∞R(x)dx的積分125

5.4.3形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a＞0)

的積分128

本章小結130

綜閤練習題5133

自測題5135

復

變

函

數

與

積

分

變

換目





錄第6章保形映射136

6.1保形映射的概念及其性質136

6.1.1保形映射的概念136

6.1.2幾何特性138

6.1.3幾個重要的保形映射142

6.2分式綫性映射143

6.2.1分式綫性映射的定義143

6.2.2分式綫性映射的特性146

6.2.3上半平麵與單位圓的分式綫性

映射150

本章小結154

綜閤練習題6156

自測題6157

第7章傅裏葉變換159

7.1傅裏葉變換的概念159

7.1.1傅裏葉級數與傅裏葉積分

公式159

7.1.2傅裏葉變換162

7.2單位脈衝函數166

7.2.1單位脈衝函數的概念及其

性質166

7.2.2單位脈衝函數的傅裏葉變換168

7.3傅裏葉變換的性質169

7.3.1基本性質169

7.3.2捲積與捲積定理173

本章小結176

綜閤練習題7179

自測題7181

第8章拉普拉斯變換183

8.1拉普拉斯變換的概念183

8.1.1拉普拉斯變換的定義184

8.1.2拉普拉斯變換存在定理185

8.2拉普拉斯變換的性質187

8.2.1綫性與相似性187

8.2.2延遲與位移性質188

8.2.3微分性質190

8.2.4積分性質193

8.2.5初值定理和終值定理194

8.2.6捲積與捲積定理196

8.3拉普拉斯逆變換197

8.3.1反演積分公式198

8.3.2利用留數計算像原函數198

8.4拉普拉斯變換的應用201

8.4.1求解常微分方程201

8.4.2實際應用舉例203

本章小結204

綜閤練習題8206

自測題8211

第9章快速傅裏葉變換213

9.1序列傅裏葉(SFT)變換213

9.1.1序列傅裏葉變換(SFT)及其

逆變換(ISFT)的定義213

9.1.2序列傅裏葉變換(SFT)的

性質214

9.1.3序列傅裏葉變換(SFT)的

MATLAB實現216

9.2Z變換簡介216

9.2.1Z變換的定義216

9.2.2單邊Z變換217

9.2.3Z變換及其反變換的計算218

9.3離散傅裏葉(DFT)變換218

9.3.1有限序列的離散傅裏葉變換218

9.3.2離散傅裏葉變換(DFT)與序列

傅裏葉變換(SFT)的關係220

9.3.3DFT與Z變換的關係221

9.4快速傅裏葉變換222

9.4.1時分算法222

9.4.2頻分算法227

9.4.3MATLAB的實現231

本章小結232

綜閤練習題9233

附錄235

附錄A區域變換錶235

附錄B傅裏葉變換簡錶241

附錄C拉普拉斯變換簡錶245

附錄DZ變換錶251

習題參考答案252

參考文獻274

前言/序言

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