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內容簡介

　　《現代分析入門》從五個不同的側麵，介紹現代分析入門的基礎理論及其應用，主要講述三類抽象空間（距離空間、賦範綫性空間、內積空間）的結構及性質，有界綫性算子與有界綫性泛函的入門理論，凸分析初步，抽象分析初步，非綫性分析初步等內容。《現代分析入門》可用“突齣基礎，強調應用；關注背景，啓迪創新；敘述簡潔，視野開闊”概括其特色。
　　《現代分析入門》適用於數學專業的本科高年級學生、數學課程與教學論碩士研究生、理工科相關專業的碩士研究生、青年教師以及自然科學工作者學習參考。

內頁插圖

目錄

第1章 三類抽象空間的結構及性質
1．1 距離空間的結構及性質
1．1．1 距離空間的定義與例子
1．1．2 距離空間中的點集構造
1．1．3 稠密與可分
1．1．4 完備性與完備化
1．1．5 稀疏與綱定理
1．1．6 列緊與緊
1．1．7 距離空間基礎訓練與拓展
1．2 賦範綫性空間的結構及性質
1．2．1 賦範綫性空間與Banach空間的定義與例子
1．2．2 賦範綫性空間中的級數與基
1．2．3 子空間、乘積空間與商空間
1．2．4 綫性拓撲同構與範數等價
1．2．5 有限維賦範綫性空間的特性
1．2．6 賦範綫性空間基礎訓練與拓展
1．3 內積空間的結構及性質
1．3．1 內積空間與Hfibert空間
1．3．2 正交與正交分解
1．3．3 正交係與Fourier級數
1．3．4 可分Hilbert空間的模型
1．3．5 內積空間基礎訓練與拓展

第2章 有界綫性算子與有界綫性泛函
2．1 有界綫性算子
2．1．1 綫性算子有界與連續
2．1．2 有界綫性算子範數與有界綫性算子空間
2．1．3 有界綫性算子基本定理
2．1．4 有界綫性算子基礎訓練與拓展
2．2 有界綫性泛函
2．2．1 有界綫性泛函錶示
2．2．2 有界綫性泛函延拓
2．2．3 幾何形式的Hahn-Banach定理
2．2．4 各種收斂性
2．2．5 共軛算子與值域定理
2．2．6 有界綫性泛函基礎訓練與拓展
2．3 Banach代數與譜理論入門
2．3．1 Banach代數可逆元
2．3．2 Banach代數中元素的譜
2．3．3 有界綫性算子的譜點分類
2．3．4 緊綫性算子譜理論初步
2．3．5 Banach代數與譜理論入門基礎訓練及拓展

第3章 凸分析初步
3．1 凸集與凸錐
3．1．1 凸集理論初步
3．1．2 半範數與Minkowski泛函
3．1．3 凸錐理論初步
3．1．4 凸集與凸錐基礎訓練及拓展
3．2 局部凸拓撲綫性空間
3．2．1 拓撲綫性空間
3．2．2 局部凸空間
3．2．3 凸集分離定理
3．2．4 凸集的端點
3．2．5 弱拓撲與弱*拓撲
3．2．6 自反空間
3．2．7 局部凸拓撲綫性空間基礎訓練與拓展
3．3 凸範數與凸函數
3．3．1 嚴格凸與一緻凸範數
3．3．2 凸函數及其基本性質
3．3．3 凸函數的共軛函數
3．3．4 凸範數與凸函數基礎訓練及拓展

第4章 抽象分析初步
4．1 復測度與復積分
4．1．1 正測度、實測度與復測度
4．1．2 復函數關於正測度的積分
4．1．3 測度的絕對連續性及Radon-Nikodym定理
4．1．4 復測度的極錶示及Hahn分解定理
4．1．5 Lp上有界綫性泛函錶示
4．1．6 復測度與復積分基礎訓練及拓展
4．2 Bocllner積分與嚮量測度
4．2．1 嚮量值可測函數
4．2．2 Bochner積分
4．2．3 嚮量測度
4．2．4 Radon-Nikodym性質與Riesz錶示
4．2．5 Bochner積分與嚮量測度基礎訓練及拓展
4．3 自伴算子與譜積分
4．3．1 自伴算子
4．3．2 正算子
4．3．3 投影算子
4．3．4 自伴算子産生的譜係及譜分解定理
4．3．5 譜測度與譜積分
4．3．6 自伴算子與譜積分基礎訓練及拓展

第5章 非綫性分析初步
5．1 Banach空間上的抽象微分學初步
5．1．1 F微分與G微分
5．1．2 n綫性算子與高階導數
5．1．3 無限維空間上的Taylor公式
5．1．4 抽象微分學基礎訓練與拓展
5．2 非綫性映射不動點
5．2．1 連續映射與同胚
5．2．2 壓縮映射原理
5．2．3 壓縮映射原理在方程求解中的應用
5．2．4 緊映射與Schauder不動點定理
5．2．5 不動點定理綜閤應用
5．2．6 非綫性映射不動點基礎訓練與拓展
5．3 泛函極值初步
5．3．1 極值概念與可微性條件
5．3．2 條件極值
5．3．3 泛函極值存在的下半弱連續條件
5．3．4 最速下降法與泛函極值存在的（PS）條件
5．3．5 泛函極值初步基礎訓練與拓展
參考文獻
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