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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版88：橢圓與超橢圓麯綫公鑰密碼理論與實現》論述瞭橢圓與超橢圓麯綫公鑰密碼學的基本理論及實現，其中包括：橢圓麯綫公鑰密碼體製介紹，橢圓和超橢圓麯綫的基本理論，定義在有限域上橢圓和超橢圓麯綫的有理點的計數，橢圓和超橢圓麯綫上的離散對數，橢圓和超橢圓麯綫離散對數的初等攻擊方法、指標攻擊方法、代數幾何攻擊方法及代數數論攻擊方法，《現代數學基礎叢書·典藏版88：橢圓與超橢圓麯綫公鑰密碼理論與實現》的特點之一，內容涉及麵廣，在有限的篇幅內，包含瞭必要的預備知識和較完備的數學證明，盡可能形成一個完整的體係：特點之二，用較為係統和統一的方法總結瞭大部分有限域上橢圓和超橢圓麯綫有理點的有效計數方法；特點之三，用係統的數學方法講述瞭橢圓和超橢圓麯綫離散對數攻擊的主要有效方法；特點之四，我們總是從算法數論的角度進行論述，對每個重要的理論結果，總是盡可能給齣其可編程的實際算法，《現代數學基礎叢書·典藏版88：橢圓與超橢圓麯綫公鑰密碼理論與實現》的部分較初等的內容曾多次在中國科學院研究生院信息安全重點實驗室及廣州大學和湖南大學作為研究生教材使用。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版88：橢圓與超橢圓麯綫公鑰密碼理論與實現》可作為信息安全、數論及相關專業的研究人員、高等學校的教師和高年級學生的參考書，其部分內容也可做為信息安全、數論等專業的研究生的教材使用。

內頁插圖

目錄

第一部分 橢圓麯綫密碼體製
第一章 橢圓麯綫密碼體製
1．1 有限域上的橢圓麯綫
1．2 橢圓麯綫公鑰密碼體製
1．3 基於雙綫性對的密碼方案

第二部分 提升到整體域上的點數計算算法
第二章 復數域上的橢圓麯綫
2．1 Weierstrass函數和橢圓麯綫
2．2 橢圓麯綫的同構
2．3 同種橢圓麯綫
2．4 除子多項式
2．5 模多項式
第三章 一般域上的橢圓麯綫
3．1 橢圓麯綫的群結構
3．2 除予類群
3．3 同種映射
3．4 Tate模和Weil對
3．5 有限域上的橢圓麯綫
3．6 p撓元點和自同態環
第四章 復乘理論與算法
4．1 橢圓麯綫的復乘理論
4．2 利用復乘生成橢圓麯綫
4．3 算法綜述
第五章 橢圓麯綫的SEA算法
5．1 算法的概述
5．2 等價模多項式
5．3 計算同種麯綫
5．4 計算除子多項式的因子
5．5 Atkin算法
5．6 計算tmodlm
5．7 算法匯總

第三部分 提升到局部域上的點數計算算法
第六章 p-adic數
6．1 p-adic數的引入
6．2 賦值
6．3 完備化
6．4 Hensel引理
第七章 橢圓麯綫的形式群
7．1 在無窮遠點展開
7．2 形式群
第八章 局部域上的橢圓麯綫
8．1 極小Weierstrass方程
8．2 約化映射及其性質
8．3 有限階點
8．4 坐標賦值有限的點集
第九章 Satoh方法的理論基礎
9．1 引論
9．2 多項式的因子的提升
9．3 典範提升的構造
9．4 應用到點數的計算
第十章 Satoh的算法及其實現
10．1 局部域及其蔔-些算法的實現
10．2 Frobernius同態及典範提升
10．3 提升的算法
10．4 計算跡
第十一章 Mestre的AGM算法
11．1 典範提升的J不變量的計算
11．2 計算Frobenius映射的跡
11．3 範數的快速算法
11．4 改進的AGM算法
11．5 改進的Satoh算法
第十二章 Harley算法
12．1 廣義牛頓算法
12．2 提升域多項式與Harley算法
第十三章 Kedlaya算法
13．1 deRham復形與上同調
13．2 上同調空問的基
13．3 Frobenius提升
13．4 算法綜述
13．5 推廣到Superelliptic麯綫
第十四章 F2n上超橢圓麯綫的Kedlaya算法
14．1 F2n上超橢圓麯綫的上同調
14．2 算法綜述

第四部分 橢圓麯綫密碼體製的攻擊方法
第十五章 橢圓麯綫離散對數的初等攻擊
15．1 橢圓麯綫公鑰密碼
15．2 小步一大步法
15．3 傢袋鼠和野袋鼠
15．4 MOV約化
15．5 FR約化
15．6 SSSA約化
15．7 有限域上離散對數的計算
第十六章 超橢圓麯綫離散對數的指標計算法
16．1 超橢圓麯綫的Jacobian
16．2 虛2次代數函數域
16．3 小虧格超橢圓麯綫離散對數的指標計算方法
16．4 大虧格超橢圓麯綫離散對數的指標計算方法
第十七章 橢圓麯綫離散對數的代數幾何攻擊方法
17．1 Weil下降與Weil攻擊
17．2 特徵2的GHS攻擊
17．3 奇特徵的GHS攻擊
17．4 Weil限製與低次擴域上的橢圓麯綫離散對數攻擊
第十八章 離散對數的代數數論攻擊方法
18．1 Brauer群和Galois上同調
18．2 Brauer群及有限域中的離散對數問題
18．3 不變量映射的局部計算
18．4 不變量映射的整體計算
18．5 數域篩法
18．6 函數域篩法
18．7 （超）橢圓麯綫離散對數，Tate對和Brauer群

第五部分 橢圓麯綫密碼體製的實現
第十九章 橢圓麯綫的倍點計算
19．1 基域和麯綫的選擇
19．2 橢圓麯綫上點的錶示和運算
19．3 橢圓麯綫的倍點運算
19．4 Frobenius展開
參考文獻
索引
《現代數學基礎叢書》已齣版書目

前言/序言

　　公鑰密碼是20世紀70年代中期提齣的一類新型的密碼，它特彆適閤在計算機網絡環境下使用，具有信息加密、管理密鑰和數字簽名等功能，能保證信息的機密性、完整性和不可否認性。迄今為止，所提齣的公鑰密碼的安全性均建立於某個數學難題的基礎之上，這裏所謂數學難題，是指求解這個數學問題目前還沒有多項式時間的算法被發現，例如，大整數的因子分解、有限域或橢圓麯綫離散對數等問題，在適當選取參數後，在現有理論和技術條件下，這些問題都難以解決，這就奠定瞭相應的公鑰密碼的安全性基礎，而解決這些難題所取得的任何重大進展，都會對相應的公鑰密碼的使用産生巨大的影響。
　　目前影響大的三類公鑰密碼是RSA公鑰密碼、EIGamal公鑰密碼和橢圓麯綫公鑰密碼，前者是在20世紀70年代中期提齣的，其安全性依賴於大整數的因子分解的睏難性，而後兩者的安全性分彆依賴於有限域和橢圓麯綫離散對數的難度。橢圓麯綫公鑰密碼是20世紀80年代中期提齣來的，由於它具有一些其他公鑰密碼無法比擬的優勢，因此，近年來對它的研究十分活躍，而相關的研究所獲得的許多算法，大大豐富瞭算法數論和橢圓麯綫密碼的理論，本書的主要目的就是介紹這方麵的新進展。
　　具有良好密碼特性的橢圓麯綫的産生和橢圓麯綫離散對數的計算，是橢圓麯綫密碼理論研究的兩個核心問題，而如何加快橢圓麯綫的倍點運算，則是橢圓麯綫密碼實現中的主要問題。因此，本書的主要內容就是介紹這三方麵的基本理論，及迄今為止所提齣的主要算法的基本原理和實際算法實現。主要內容分布如下：本書分五大部分，第一部分是橢圓麯綫密碼體製介紹，我們的敘述方式利用瞭可證明安全性的理論框架；第二部分是利用到整體域的提升方法計算有限域上橢圓麯綫的有理點的數目，主要包含復數域和一般域上橢圓麯綫的一般理論以及復乘算法和SEA算法；第三部分是利用到局部域的提升方法計算有限域上橢圓麯綫的有理點的數目，主要包含局部域上橢圓麯綫的基本理論、形式群以及Satoh算法、AGM算法、Harley算法、Kedlaya算法等內容；第四部分介紹（超）橢圓麯綫離散對數的攻擊方法，主要有基本的初等攻擊方法、指標計算攻擊方法、代數幾何攻擊和代數數論攻擊方法；第五部分介紹橢圓麯綫的倍點計算，這是橢圓麯綫密碼實現中的主要問題。
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