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編輯推薦

適讀人群 ：廣大讀者
　　數是獨特的，是無與倫比的，數的世界是奇妙的。在這個奇妙的數世界裏，你會發現數完全不是我們平常所看到的那麼嚴肅，數並非隻有在無盡的計算中纔能體現齣它的價值。《數的故事——從計數到密碼學》中所述的數世界，不僅幽默風趣，而且精彩紛呈。從最初的數、發現數到一些數字玩意、一些好玩的數、一些有用的數，從搜尋新數、無窮大點滴，到虛數的復雜曆史、顯微鏡下的實數直綫、代碼與公開鑰密碼學，內容可謂是包羅萬象。
　　書中不僅描述瞭不少好玩的數，如完滿數、過剩數、親和數對，還介紹瞭一些隱藏的關於數的小技巧。除此以外，書中提到的趣事常常發人深省，例如書中提到科幻小說傢艾薩剋?阿西莫夫曾撰寫的一篇短篇故事中的神奇世界。
　　本書都是一本親切、典雅的數學科普圖書，仿佛一位數學大傢嚮讀者娓娓道來數的從前、現在及未來。

內容簡介

　　《數的故事——從計數到密碼學》對數的由來和發展進行瞭深入剖析，娓娓道來有關數的一樁樁往事，不僅包括最初的數、一些好玩的數、一些有用的數等篇章，而且包括搜尋新數、虛數的復雜曆史、顯微鏡下的實數直綫等內容。書中所述的數世界，不僅幽默風趣，而且精彩紛呈。
　　書中不僅描述瞭不少好玩的數，如完滿數、過剩數、親和數對，還介紹瞭一些隱藏的關於數的小技巧。除此以外，書中提到的趣事常常發人深省，例如書中提到科幻小說傢艾薩剋?阿西莫夫曾撰寫的一篇短篇故事中的神奇世界。
　　本書都是一本親切、典雅的數學科普圖書，仿佛一位數學大傢嚮讀者娓娓道來數的從前、現在及未來。

作者簡介

　　彼得·M.希金斯（Peter M. Higgins），他撰寫過相當數量的關於數的圖書，對數有深入的研究。譯者是我國著名翻譯傢陳以鴻先生。陳老先生長期從事科技翻譯，精通英、法、德、日、俄五國語言，齣版英、俄文著作中譯本三十餘種，他同時緻力於中國傳統文學研究和創作。

內頁插圖

目錄

第1章 最初的數
我們應該如何思考數？
數的結構

第2章 發現數
計數及其推論

第3章 一些數字玩意
多米諾是什麼
去九
整除性檢驗
魔幻陣列
其他幻數陣列

第4章 一些好玩的數
卡塔蘭數
斐波那契數
斯特林數和貝爾數
冰雹數
素數
幸運數

第5章 一些有用的數
百分數、比率和投注賠率
科學記法
均值的意義

第6章 搜尋新數
加和減
分數和有理數

第7章 無窮大點滴
希爾伯特旅館
康托爾的比較
實數直綫的結構
無窮大加一

第8章 數的應用：機會
幾個例子
幾個可收集的機會問題

第9章 虛數的復雜曆史
代數及其曆史
三次方程的解

第10章 從虛數到復數
進入虛數世界
極坐標係
高斯整數
若乾進一步的推論

第11章 顯微鏡下的實數直綫
迴到埃及
硬幣問題，和與差
斐波那契與分數
康托爾中間三分之一集

第12章 數的應用：代碼與公開鑰密碼學
曆史上的例子
不能破譯的密碼
新編碼世界用的新代碼
同時造鑰
打開陷門：公開鑰密碼
艾麗斯和鮑勃用模算術擊敗伊芙

第13章 內傢備覽
第1章
第3章
第4章
第5章
第6章
第7章
第8章
第9章
第10章
第11章
第12章
進益須知
索引
譯者後記

精彩書摘

　　整除性檢驗
　　對於某一個正整數n來說,所謂整除性檢驗,指的是用來確定n是不是給定整數m的因數的一種方法,或者說,是用來辨明當m除以n時所剩下的餘數是否為0的一種方法.如果迴答為是,我們就說m能被n整除,或者說n是m的因數,還有第三種說法,即m是n的倍數.例如,m=36能被n=6整除,而m=56則不能,因為它除以6時剩下餘數2.我們通過把除法完全作齣,總能迴答整除性問題,所以要使這檢驗有價值,必須一般地使所需工作比全部做完除法運算簡單得多.
　　1和10,2和5
　　我們的數係的基是10.作齣這個選擇可能是個錯誤,不過現在要走迴頭路實在太晚瞭.無論你用什麼數作基,都可以為那些是這基的因數的數提供很簡單的整除性檢驗.10的因數是相互因數對(1,10)和(2,5).如果我們用基12,我們就有一個以1,2,3,4,6和12為因數的基.古代巴比倫人有30時用基60,這是一個很圓滿的數,它的因數比12更多.然而以此為基的尋常算術要求學會乘法錶直到60*60,我們中的大多數人不會願意去學它.
　　如果我們用基b,而n這個數是b的因數,即b=kn,那麼n的倍數的最後一位數就將遵循如下的模式:n,2n,3n,…,(k-1)n,0,因為kn=b用基b將寫成10.於是當我們用基b經過n的所有倍數時,最後一位數字的模式就不定地重復自己.所以用基b時,當且僅當一個數的最後一位數是n,2n,…,0中之一,這數能被n整除.這就是說,隻要檢查最後一位數被n的整除性就夠瞭,其他可以不管.
　　把這應用於我們的基10世界,我們知道,當且僅當一個數的最後一位數是2,4,6,8和0中之一,這數能被2整除.這就是說,當且僅當一個數的個位數是偶數,這數是偶數.同樣地,當且僅當一個數的末位數是5或0,這數能被5整除.把這想法用於因數對(1,10),我們知道當且僅當一個數末位是0,這數能被10整除.我也許不該提到被1整除的整除性,因為當然每個數都有1這個因數,可是為瞭指齣這個一般論述在這情形中也適用,我們注意到當且僅當一個數的末位數是1,2,3,…,9,0中之一,這數能被1整除;當然每個數都通過這一整除性檢驗!
　　這裏十二進製或基12製的優點是顯然的.以此為基,我們隻要檢查末位數就可以確定一個給定數能否被潛在因數1,2,3,4,6,12中任一個整除.例如,用基12,198這個數是14612=1*122+4*12+6,因為末位數能被3整除,所以這數顯然能被3整除.用基10時,就不是這樣明顯(但是請注意後麵對3的整除性檢驗).然而,究竟一個數是不是5或10的倍數,當它以十二進製錶示時,就較不容易看齣:例如用基12,我們將把十五寫成1312(=1*12+3),這時因數5雖然依舊存在,卻隱匿不見瞭.
　　4,8和16
　　從這裏開始,檢驗略欠明顯.當且僅當一個數的最後兩位數字代錶一個能被4整除的數,此數能被4整除.例如,根據4是16的因數這一事實,可知80776216是4的倍數,而121366則不是4的倍數,因為66除以4得餘數2.唯一重要的是最後兩位數字所代錶的數,因為如果我們把它從原數中拿掉,我們就得到一個100的倍數,它當然是4的倍數.所以我們隻需確定這最後兩位數字是否也代錶一個4的倍數.
　　注意這一過程滿足我們為整除性檢驗所定的準則,因為它把包含一個具有任意位數字的給定數的問題變成瞭包含一個具有固定位數字的數的除法問題,在這個檢驗中,固定位數就是兩位數字.
　　要確定被8整除的整除性,檢驗大緻相同,隻是我們必須檢驗的是末尾三位數字.就是說,當一個數的末尾三位數字所代錶的數是8的倍數時,這數一定能被8整除.例如,你可以證明a=1894207376能被8整除,而b=3968844588則不能.這檢驗的基本原理與就4所作檢驗一樣:我們隻需檢查從最後三位數字所得那部分數的行為,因為其餘部分作為1000的倍數,肯定是8的倍數.
　　注意在8的情形中,我們不是隻檢驗最後兩位數字就行.事實上這樣的假檢驗對上述a和b兩個數都將給齣假結果:8雖然不是76的因數,但它是a的因數,同時8是b的末尾兩位數88的因數,但它不是b的因數.
　　你大概已經注意到對2,4和8所作的整除性檢驗之間的一般相似性.對於2=21,我們檢查最後一位數字,對於4=22,我們檢查最後兩位數字,對於23=8,有關係的是最後三位數字組成的數.把這論述擴展下去,這模式就繼續下去並能得到證實:當一個數的最後四位數字所形成的數能被24=16整除時,這個數能被16整除.更一般地,如果截取一個數的最後n位數字所得數能被2的冪2n整除,那麼這個數能被2n整除.同樣的觀察也適用於5的冪:當一個數的最後n位數字所代錶的數能被5的給定冪5n整除時,這個數能被5n整除.例如,52=25的倍數是易於確定的,因為它們正好是以25,50,75或00為末尾的數.
　　32對因數16作檢驗的一個例子是a=5210224.這確實是一個特彆容易的檢驗,因為最後四位數字是0224.因為224/4=56,而56也能被4整除,所以我們斷定224,從而斷定我們原來的數a,是4*4=16的倍數.
　　3,6,9,12和15
　　對3所作整除性檢驗實在是一個巧妙的小玩意.你可能猜不到,但這是真實的:當且僅當一個數的各位數字的和能被3整除時,這個數能被3整除.例如,792能被3整除,因為它的各位數字的和是18,而721不是3的倍數,因為它的各位數字的和是10.
　　這是一個甚至對於很大的數也真正容易應用的檢驗,因為雖然各位數字的和s也可能是一個很大的數,我們可以把這檢驗用於s本身.換句話說,就像在去九的應用中一樣,我們可以繼續不斷地應用這一步驟,直至以代錶答數的一個一位正數結束:如果這個數字是3,6或9,我們檢驗的數就是3的倍數,否則不是.例如我們檢驗a=3406499617758.這時各位數字的和是69,而6+9=15,1+5=6,所以a能被3整除.與去九技術一樣,我們可以用心算法解決這問題,即當我們頭腦中的數大於9時,我們就進行這樣的計算過程;這樣一來,我們腦中的數永遠不會大於18.對上述數a進行這心算時,我們是一麵從左至右讀齣這數,或許用我們的手指來跟蹤我們在這數中的位置,一麵采取下列心算步驟.在下列明晰的工作過程中,我們停下來整理手頭的數並把它替換成一個一位數的地方寫在括弧內.一旦這樣做瞭,我們就繼續把給定數的各位數字從左至右讀齣:
　　3+4=7;7+0=7;7+6=13,(1+3=4);4+4=8;8+9=17,(1+7=8);8+9=17,(1+7=8);8+6=14,(1+4=5);5+1=6;6+7=13,(1+3=4);4+7=11,(1+1=2);2+5=7;7+8=15,(1+5=6);
　　因此a是3的倍數.
　　因為6=2*3,所以當且僅當這數同時滿足對2和3的整除性檢驗時,它能被6整除.就是說,隻有當一個數的個位數是偶數,而且它的各位數字的和能被3整除時,這個數是6的倍數.例如我們上麵的數a,因為是偶數,所以不僅能被3整除,而且6也是它的因數.同樣地,因為12=4*3,所以當且僅當一個數的最後兩位數字所代錶的數能被4整除,而且它的各位數字的和是3的倍數時,這個數是12的倍數.關於477168和861774這兩個數是否能被12整除的問題,你可以自行判斷.是否能被15整除的問題也容易解決,因為當且僅當一個數的末尾是5或0並且這數通過能被3整除的檢驗時,它有15=5*3這個因數.
　　如此容易地獲得的這些結果,顯示齣簡單地觀察到許多算術運算能通過因數分解的運用而分成簡易階段這一事實所産生的力量.特彆地,如果你不喜歡做“長”乘法,它們往往可以通過因數的乘法來避免.如果你知道乘數的因數的心算乘法錶,你就不必去用長乘法:例如當你將一個給定數a乘以84時,長乘法的內容就是求齣
　　a*84=a*(80+4)=a*80+a*4=10a*8+a*4,
　　所以隻要你知道8倍錶和4倍錶,運算就可進行.另外一種計算方法是求齣a*12*7———如果你知道你的12(和7)倍錶的話.如果你不相信自己關於12的記憶,你可以用三個小乘法來代替:a*3*4*7.無論如何,我們發現長乘法總是可以避免的,直到乘數有一個你不知道乘法錶的素因數時為止.對大多數人來說,第一個這種素數是13.
　　最後,在我們的3的倍數錶中有9,你可能會希望,當且僅當一個數的各位數字的和能被9整除時,此數能被9整除.關於這事的證明與去九判斷的證明密切相關,這裏作一簡短解釋.你仍可以通過例子來使自己相信,例如,a=59252085能被9整除(所以a能被5*9=45整除),而107664雖然是3的倍數,但是能被9整除的檢驗失敗.關於是否能被18和36整除的檢驗,我現在留給讀者去描述.
　　對3和對9所作的檢驗之所以能獲得成功,是由於這一事實:任何數與34它的各位數字之和,是模3和模9相等的.特彆地,一個數恰恰當它的各位數字之和除以3或9所得餘數為0時,這個數除以3或9所得餘數為0.這又是下述事實的結果:10的任何冪除以3或9時所得餘數為1,因為由一連串9形成的數是3和9的倍數.*
　　這是供參加數學奧林匹剋的童星們作熱身練習用的一組麯摺的小問題的基礎.你有一個數a,你把它的各位數字任意置換,得另一個數b.證明d=a-b不可能是素數.
　　這看上去是可怕的:這個差d似乎可以是任何數,我們怎麼能說齣多少有關它的素因數的話來呢?我們中的很多人肯定不知道該從哪裏起步,隻能凝視著這問題,不存在解齣的希望.然而一個成功的數學傢在挑戰麵前必須保持愛玩的精神,讓問題隨意前行,哪怕所走的路看上去達不到所搜尋的目標.關於a和b這兩個數,我們可以說一件事:它們的各位數字的和是恒等的,所以a和b除以9時所得餘數相同.當我們將兩數相減時,這餘數便消失,所得數d是9的倍數.現在我們能看到迴傢的路瞭:因為d是9的倍數,它當然不是素數.
　　我們終於看到,關於素數的那一小段是轉移注意力的話.如果需要我們解釋為何d有因數9,這問題應該很容易,即使那是比所需結論更強的結論.從某種意義上講,這問題所考驗的是被考驗者是否具有數學勇氣暫時把這特殊的結論擱在一邊,去追尋問題中的數學路標.得齣的教訓是:學生必須相信他們的訓練而不要膽怯———說比做容易.
　　7,11和13
　　還有三個難對付的傢夥:7,11和13.它們是不能整除10的素數,所以它們的倍數在用基10寫齣時不太容易辨認.十一離十很近,是最容易對付的.11的整除性規則雖然是迄今為止最復雜的,但用起來卻很容易.
　　如果一個數n的各位數字依次加上交錯的正負號後相加所得和能被11整除,那麼n能被11整除,否則不能.
　　例如,用我們的規則檢驗
　　a=56518:8-1+5-6+5=11,
　　這是11的倍數,所以11是我們的數a的因數.這裏我們是按照各位數字的值的上升次序求和,如果按相反次序,結果相同,但正負號相反.一個數的正負號不影響它的整除性,因此在這裏並不重要.(注)
　　另一種等效的檢驗方法進行如下:設s是a的偶數位數字的和,t是其餘數字的和.於是當且僅當11是s-t的因數時,11是a的因數.檢驗數s-t或者與第一種檢驗中的檢驗數相同,或者是它的負數,視問題中的數a具有偶數或奇數長度而定.在兩種情形中,都得到相同的結論.當然,用任何一種檢驗方法,檢驗數都可以是負的.例如,如果我們取a=814396,兩種方法中的檢驗數都是(1+3+6)-(8+4+9)=10-21=-11,又是11的倍數(你在任何時候都可以把負號略去).*
　　如同其他取各位數字之和的檢驗一樣,我們可以重新把檢查被11整除性的步驟用於所得各位數字之和,直至手頭的數小到足以通過檢驗來對付.如果我們盡可能長久地繼續下去,將發生兩種情況之一.或者我們將終結於一個非零一位整數,這時這數不能被11整除,或者如果這數是11的倍數,我們將終結於0.例如,如果交錯和等於154,將這檢驗用於154,得4-5+1=0.
　　這裏有一個你可以做得非常容易的例子,它遠遠勝過用計算器的直接除法:
　　a=16193818284590452;
　　s=(6+9+8+8+8+5+0+5)-(1+1+3+1+2+4+9+4+2)=49-27=22;2-2=0,
　　所以a能被11整除.
　　所謂迴文數,就是倒轉仍相同的數,例如121,181,2002.我們容易檢查齣181不是11的倍數,但121和2002都是.事實上每一個具有偶數位數字的迴文數都有11這個因數,它的原因我肯定你很快能使自己相信,就是偶數位置上數字和奇數位置上數字的和s和t必然相同,所以它們的差是0,證明這個數能被11整除.
　　最後,有一個用於7和13的以數的各位數字為基礎的檢驗.事實上這檢驗也可用於11,但比上述用於這數的檢驗復雜得多.
　　設a是給定數.從右開始,取每三位數為一段,按被11整除性檢驗所用同樣方式,求齣交錯和s.恰恰當s能被7或13整除時,a能被7或13整除.例如,a=24889375能被7整除,但不能被13整除.為明白這道理,我們計算檢驗和s:
　　s=375-889+024=-490=-70*7;
　　但490不能被13整除,這很快就被檢查齣來.當然,我們既已有瞭7和13的整除性檢驗,設計齣這些數字的小倍數即14,21,28,…和26,39,52,…等的檢驗就是一件簡單的事情,隻要把這些檢驗和所含其他因數的檢驗結閤起來就可以瞭.
　　我們用一個大數例子來作結束.a=98858760能否被8008整除?從除數的因數分解開始:8008是偶數長度迴文數,所以有11這個因數,同時也顯然有8這個因數:作除法得8008=11*8*91=11*8*7*13,所以我們隻需檢驗a能否被這四個數整除.因為760/2=380,而380能被4整除(因為80能被4整除),所以a是8的倍數.利用交錯和,我們可同時對7,11和13作檢驗:
　　s=760-858+098=0,
　　因為0當然是這三個數的倍數,我們斷定8008確實是a的因數.
　　……

前言/序言

　　數是獨特的，是無與倫比的，本書所揭示的就是它們的一些神秘性。數是每一個人都熟悉的，而且是我們在覺得需要把雜亂的東西弄整齊時的主要依靠。在我們自己的頭腦中，它們對被測度的有理性進行概括，而且它們是錶達這種有理性的主要工具。可是它們真的存在嗎？它們肯定不像貓和足球隊那樣存在，甚至不像顔色和感覺那樣存在，而更像詞語那樣存在。詞語都有意義，而數的意義，這數“是”什麼，是與那種使我們可以把原本沒有什麼共同之處的事物進行測度和比較的全麵對比有關的，例如油的價值、齣租車的價值和駕駛員服務的價值就是這樣的事物。
　　總的來說，數代錶世界上可以任意取用而且取之不盡用之不竭的一種事物。因此，我們盡可能去研究和瞭解數，是很自然的事情。
　　本書開頭幾章將使讀者重新熟悉數，不管是一一分開，還是放在一起。前麵四章一般限於討論尋常的計數整數。第5章考察一些圍繞著數字應用的實際問題，這些問題由於含有算術運算，把我們引齣於每樣東西都呈現為固體離散狀的環境之外。
　　第6章解釋我們通過對數字進行標準運算，如何發現數的新類型，包括無理數。在第7章中，我們遇到無限集閤，看到它們如何可以互相比較，看到我們所說的實數集如何組成實數直綫，對此我們將在書中後麵部分用數學放大鏡進行考察。
　　數字史的曆史發展，和整個曆史一樣，是一件復雜的事情，但是它看來已經解決到瞭相當的程度，以至於數係已經在數學傢們中間得到瞭一緻同意的地位，而且肯定形成瞭我們認識世界的中心支柱。我們在書中告訴讀者各種曆史片斷，以及學科的演化，也講一些數字先驅們的情況。尤其是在第9章和第10章，我們總結瞭從16世紀到19世紀末的形成期內發生在歐洲的發展過程。
　　我們很注意數的直接應用，特彆是在第8章，這完全是講機會的，然後在第12章，這是講代碼和密碼的秘密世界的，現已證明，代碼和密碼是純數概念的主要的新應用領域。
　　本書是供任何感興趣的讀者通讀的，當然隨便翻翻也同樣會得益。不過我們還提供瞭最後一章《內傢備覽》，這裏把前麵正文中的某些特殊的論斷和例證用數學語言進行詳述，以滿足那些喜歡看到完全解釋的讀者們的要求。正文中的星號錶示更多的論述見末章中 數的故事：從計數到密碼學 [Number Story from Counting to Cryptography] 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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