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內容簡介

　　《特殊函數論及其應用》介紹和總結瞭在數論和數學物理等學科中有重要應用的幾類特殊函數，如Zeta函數、Gamma函數、超幾何函數、橢圓函數等，主要分析和闡述在研究特殊函數時新的思想、方法和技巧，論證特殊函數的解析性質、特殊函數之間的內在聯係、特殊函數的完全單調、模恒等式、漸近逼近、對數凸性等性質及其應用，獲得瞭一些有趣的結果和應用。
　　《特殊函數論及其應用》可以作為特殊函數論的入門讀物，也可供數學係、物理係的師生及工程技術研究人員參考。

內頁插圖

目錄

前言
第1章 緒論
1．1 理論背景
1．2 國內外研究綜述
1．3 結構導引
1．4 相關概念

第2章 預備知識
2．1 概要
2．2 復變函數基礎知識
2．2．1 復數基本概念
2．2．2 Cauchy-Riemann方程
2．2．3 復積分基本概念
2．2．4 冪級數
2．2．5 Laurent展開式及留數
2．3 Jensen公式
2．4 部分分式分解
2．4．1 有理函數部分分式分解
2．4．2 餘切函數的分解及應用

第3章 數論中的特殊函數
3．1 Plana求和公式及應用
3．2 Kubert函數及乘積公式
3．2．1 導引
3．2．2 相關結果
3．2．3 均值定理

第4章 超幾何函數與橢圓Theta恒等式
4．1 R，amanujan三次橢圓函數論
4．1．1 -些經典橢圓函數論的基本性質
4．1．2 主要結論及證明
4．2 JacobiTheta恒等式及其應用
4．2．1 Ramanujan的模恒等式
4．2．2 Theta恒等式的推廣和應用
4．2．3 平方和定理的新證明

第5章 Polygamma函數及q．模擬
5．1 Polygamma函數完全單調及應用
5．1．1 導引
5．1．2 改進及證明
5．2 Trigamma函數的完全單調性
5．2．1 導引
5．2．2 主要結論及證明
5．2．3 包含Polygamma函數的完全單調性推廣
5．3 Polygamma的q一模擬及完全單調
5．3．1 Gamma的q一模擬及基本性質
5．3．2 導引
5．3．3 主要引理及證明
5．3．4 q-Polygamma的完全單調性

第6章 特殊函數的漸近逼近及不等式
6．1 Ramanujan Gamma雙嚮逼近
6．1．1 導引
6．1．2 Ramanujan Gamma雙嚮逼近的推廣
6．1．3 已有結論的比較
6．2 Ramanujan問題與基本超越函數
6．2．1 引言
6．2．2 基本超越函數餘項估計
6．2．3 與Becker-Stark的比較
6．3 Carlson不等式
6．3．1 導引
6．3．2 Carlson不等式改進與加強
6．3．3 兩個推廣
6．3．4 比較分析

第7章 多參量Gini均值
7．1 引言
7．2 概念和性質
7．3 主要結論及證明
7．3．1 Gini均值對數凸性的新證明
7．3．2 推廣及性質
參考文獻
附錄 Polygamma完全單調的補充證明

前言/序言

　　特殊函數是指在數學和工程領域中非常重要的函數，一般地，作為數學研究的一個分支，特殊函數論（或稱為超越函數論）是指實與復分析、數學物理、數論等學科中具有基礎理論和重要應用價值的函數。特殊函數主要包括Gamma函數、Zeta函數、超幾何與閤流超幾何函數、Weierstrass函數與Jacobi橢圓函數、Lame函數、正交多項式等。
　　本書主要介紹Gamma函數、超幾何函數、橢圓函數和Zeta函數等幾類經典特殊函數及它們之間的內在聯係，特殊函數的完全單調、模恒等式、漸近逼近、對數凸性等性質及其應用。主要利用解析函數論、微分方程、凸函數理論等思想、方法和技巧，具體分析和研究瞭Plana求和公式、Kubert函數、Gauss超幾何函數2F（a，b；c；z）、Polygamma函數及其q一模擬，Ramanujan Gamma函數、Gini均值及Jacobi橢圓函數等特殊函數的性質。作為應用，揭示瞭不同特殊函數之間的相互關係，給齣瞭Hurwitz-LerchZeta函數的積分錶達，改進瞭部分特殊函數漸近逼近的界，建立瞭一些新的有趣的性質和不等式，並且推廣瞭已有的結果。這些結果有利於在理論上更深入地理解特殊函數的性質，並且便於在實踐中更廣泛地應用這些性質，豐富瞭特殊函數論的研究。
　　本書核心部分主要是Gamma函數和Zeta函數的相關結論，由於Gamma函數在特殊函數論中的基礎重要性，幾乎所有的特殊函數論的專著和教材都從Euler積分定義的Gamma函數開始。它具備豐富和優美的特性，在數學的許多分支以及物理、工程等學科中都起著不可或缺的重要作用。它的重要性和豐富性集聚瞭幾個世紀以來最優秀的數學傢的智慧，如Wallis（1616～1703）、Bernoulli（1700～1782）、Euler（1707～1783）、Goldbach（1690~1764）、Gauss（1777～1855）、Ramanujan（1887～1920）等。數學傢的共同努力使得Gamma函數已經成為高度發展瞭的係統理論，而Riemann（函數更是數論中的核心課題。
　　本書的核心內容是兩位作者近年來在數論和特殊函數研究中所獲得的一些結果，全書力圖體現樸素的思想、分析的技巧和新穎的角度這三者有機結閤的思路。對於復雜的問題，從一些簡單的情形齣發，尋找規律；對於經典的研究對象，力求從嶄新的角度去審視和分析。
　　本書的齣版得到瞭渭南師範學院學術專著齣版基金、第58批中國博士後基金（2015M582619）、陝西省教育廳專項基金項目（15JK1264）、特色學科和人纔項目（14TSXK02，15ZRRC05）及國傢自然科學基金項目（61402335）等的資助，作者在此一並錶示衷心的感謝。
　　由於作者水平有限，書中難免存在不足之處，懇請專傢學者批評指正。
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