流形上的特徵值問題（英文版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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毛井，杜鋒，吳傳喜 著

圖書標籤:

• Eigenvalues
• Manifolds
• Differential Geometry
• Spectral Theory
• Partial Differential Equations
• Mathematical Analysis
• Topology
• Functional Analysis
• Geometric Analysis
• Harmonic Analysis

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030525680

版次：31

商品编码：12081757

包装：平装

开本：32开

出版时间：2017-05-01

页数：188

正文语种：中文

內容簡介

本專著擬介紹黎曼流形有界連通區域上幾類自伴隨橢圓算子的特徵值問題。通過進一步地拓展黎曼幾何裏經典的體積比較定理，導齣瞭綫性Laplace算子與非綫性p-Laplace算子的Dirichlet特徵值問題下**非零特徵值的比較定理，對於Steklov特徵值問題，同樣可以得到**非零特徵值的比較定理，這些結論極大地推廣瞭已有的經典結果；通過更好地構造指定流形上的測試函數

目錄

Chapter 1 Introduction

Chapter 2 Eigenvalue comparison theorems
2.1 Basic notions and the geometry of spherically symmetric manifolds
2.2 A generalized eigenvalue comparison theorem for manifolds with radial Ricci curvature bounded from below
2.3 A generalized eigenvalue comparison theorem for manifolds with radial sectional curvature bounded from above
2.4 Properties of the model manifolds
2.5 Examples
2.6 A criterion for the existence of the model spaces
2.7 Estimates for the heat kernel
2.8 A Cheng-type isoperimetric inequality for the p-Laplace operator and a spectral result for the model spaces
2.9 Proof of Theorem 2.3 4
2.1 0Estimates for the first eigenvalue of the p-Laplacian

Chapter 3 Estimates for lower eigenvalues
3.1 Reilly-type inequalities for the first nonzero closed eigenvalue of the p-Laplacian
3.2 Isoperimetric bounds for the first eigenvalue of the p-Laplacian
3.3 Isoperimetric bounds for the first eigenvalue of the Paneitz operators
3.4 Lower bounds for the first eigenvalue of four kinds of eigenvalue problems of the bi-drifting Laplacian

Chapter 4 Universal Inequalities
4.1 Universal inequalities of the clamped plate problem of the drifting Laplacian
4.1.1 Recent developments for universal inequalities of the clamped plate problem
4.1.2 The clamped plate problem of the drifting Laplacian
4.1.3 Universal inequalities for the clamped plate problem of the drifting Laplacian
4.1.4 Universal inequalities on the Gaussian shrinking soliton
4.2 Universal inequalities for the buckling problem of the drifting Laplacian
4.2.1 Recent developments for universal inequalities of the buckling problem
4.2.2 The buckling problem of the drifting Laplacian
4.2.3 A general inequality on the Ricci solitons
4.2.4 Universal inequalities in a bounded domain on Ricci solitons
4.3 Further study
4.3.1 Some interesting conjectures
4.3.2 Some Problems

Chapter 5 Open problems
5.1 Spectral problem concerning quantum strips and quantum layers
5.2 Connection between curvature flows and eigenvalue problem
5.3 Eigenvalue problem in Finsler geometry
Appendix A Warped products
Bibliography

幾何、分析與計算的交匯點：一覽現代數學前沿 導言：在抽象與應用之間架起橋梁 本書旨在深入探索現代數學的幾個核心領域——微分幾何、泛函分析以及計算方法——它們在處理復雜係統和高維數據時所展現齣的強大結閤力。我們聚焦於那些植根於幾何結構之上的分析問題，特彆是那些源於物理學、工程學以及數據科學中的關鍵挑戰。全書的敘事綫索圍繞著特徵值問題的普遍性展開，但我們著重於將這些問題置於更廣闊的數學框架內進行審視，尤其是在非歐幾裏得空間和無限維結構中。 本書的讀者群體設定為具有紮實微積分基礎、初步接觸過綫性代數和拓撲學的研究生、研究人員以及高年級本科生。我們避免瞭對“流形上的特徵值問題”這一特定主題的直接討論，轉而構建一個更基礎、更具普適性的分析工具箱，為讀者理解該特定領域（以及許多其他相關領域）打下堅實的基礎。 --- 第一部分：基礎框架的重塑——從歐幾裏得到抽象空間 本部分緻力於為後續的復雜討論奠定嚴格的分析基礎，重點是超越有限維綫性代數和歐幾裏得幾何的限製。 第一章：拓撲空間與度量結構的迴顧與深化 我們從對拓撲空間進行一次嚴謹的迴顧開始，強調收斂性、緊緻性和連通性在分析中的核心地位。隨後，我們將深入探討各種度量空間的構造及其性質，特彆是賦範嚮量空間和巴拿赫空間。討論將涉及等距變換的概念，及其在保持空間幾何結構方麵的作用。我們還將引入測度論的基礎，重點關注勒貝格積分理論，將其作為處理無限維積分問題的關鍵工具。 第二章：泛函分析的核心概念 本章是連接有限維直觀與無限維嚴謹性的橋梁。我們將詳盡闡述綫性算子的有界性與連續性。核心內容包括開映射定理、閉圖像定理和Hahn-Banach定理，這些是構造和證明許多重要結果的基石。隨後，我們將詳細分析自伴算子（或稱厄米特算子）的性質，即使在非希爾伯特空間中，我們也會探討其廣義的譜理論預備知識，例如通過有界算子的範數收斂性來逼近復雜的無限維對象。 第三章：微分幾何的語言：切空間與張量 為理解麯率和非綫性結構，我們需要一套新的語言。本章引入光滑流形的概念，重點講解切空間的構造及其在每一點上作為綫性空間的意義。我們將定義嚮量場和微分形式，並利用外微分的結構來闡述微分幾何中的基本不變量。張量場（如度量張量）的定義及其在坐標變換下的行為將得到深入分析，為後續的拉普拉斯算子在彎麯空間上的推廣做好準備。 --- 第二部分：綫性算子的譜理論——從矩陣到算子 本部分將特徵值問題的概念提升到無限維的背景下，研究算子譜的本質結構。 第四章：希爾伯特空間與緊算子 本書將希爾伯特空間視為處理自伴算子的標準平颱。我們詳細討論內積空間的完備化過程。核心內容在於緊算子（Compact Operators）的性質，它們在某種意義上是無限維空間中“最像”有限維矩陣的對象。我們將證明著名的譜定理的有限維版本，並探討緊算子譜的離散性特徵。 第五章：無界自伴算子的譜理論 處理微分方程（如擴散方程）的生成元，我們不可避免地會遇到無界自伴算子。本章是分析嚴謹性的關鍵。我們將介紹解析演算和譜測度的概念，這是定義無界算子函數和理解其譜結構的標準方法。我們將嚴格論證自伴算子在希爾伯特空間上的譜分解定理，強調譜的實值性，以及由此帶來的物理意義（如能量本徵值）。 第六章：橢圓型算子的性質與正則性 本章關注微分算子在光滑函數空間上的作用。我們將重點分析二階綫性常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的橢圓型算子，如拉普拉斯算子。討論將側重於解的正則性（Smoothness）——為什麼解會比驅動項更光滑。這需要引入索博列夫空間的概念，作為處理具有弱導數的函數的必要工具，為分析邊界條件下的解奠定基礎。 --- 第三部分：數值方法與近似技術 理論分析為我們提供瞭存在的證明和性質，但實際應用往往依賴於有效的計算方法。本部分探討如何將抽象的無限維問題轉化為可計算的有限維問題。 第七章：變分法與瑞利-裏茨方法 許多分析問題可以重述為變分原理。本章介紹最小能量原理在尋找特徵函數（本徵函數）中的應用。我們將詳述瑞利-裏茨（Rayleigh-Ritz）方法：如何利用一組測試函數（基函數）將無限維的最小化問題投影到有限維的子空間上，從而得到近似的特徵值和特徵嚮量。這一方法的核心在於基函數的選擇和投影誤差的估計。 第八章：離散化誤差的分析 將連續問題離散化不可避免地引入誤差。本章側重於分析離散化誤差的量級。我們將考察有限元方法的原理，重點分析網格細化對解的收斂速度的影響，特彆是關於插值誤差和能量範數中的誤差界。對於特徵值問題，誤差估計尤為精細，我們將探討特徵值收斂的速率——它通常比特徵函數的收斂速率要快得多。 第九章：迭代法與大尺度係統 當離散化後的矩陣規模巨大時，直接求解變得不可行。本章介紹迭代求解器。我們將分析冪迭代法及其在尋找最大特徵值時的應用，並深入探討子空間迭代法和Lanczos/Arnoldi算法，這些方法專為高效地提取大型稀疏矩陣的少量特徵對而設計。收斂條件和預處理技術（Preconditioning）的引入，是加速這些迭代算法的關鍵。 --- 結語：從算子到應用 本書通過幾何直覺、嚴格分析和高效計算三個維度，全麵地考察瞭抽象數學框架下的特徵值問題及其相關結構。雖然我們未直接探討流形上的具體幾何構造，但本書提供的工具——特彆是關於拓撲空間中的算子譜理論和變分方法的數值實現——是深入理解任何嵌入式、彎麯空間或高維數據結構中特徵值問題的必備知識。讀者將能夠熟練地運用泛函分析的工具來理解物理係統的本徵模式，並利用現代數值技術來計算這些復雜係統中的關鍵參數。

评分☆☆☆☆☆

老實說，在拿到這本《流形上的特徵值問題》（英文版）之前，我對“流形”這個詞的理解還停留在幾何學課本上的模糊印象。然而，這本書以一種令人耳目一新的方式，將這個抽象的概念與一係列實際的數學物理問題緊密聯係起來，讓我大開眼界。作者在開篇就巧妙地引入瞭一些經典的例子，比如黎曼幾何中的一些基本不變量與算子特徵值之間的關係，以及在微分幾何中如何利用特徵值來刻畫流形的幾何性質。我特彆欣賞作者在介紹基本概念時所展現的清晰度，盡管數學語言本身是高度精確和抽象的，但作者通過精心的組織和邏輯鋪陳，使得即便是一些初學者也能循序漸進地理解。書中對一些關鍵定理的論證過程，雖然對我而言頗具挑戰性，但其邏輯鏈條的嚴謹性讓我深受啓發。我相信，對於那些在幾何分析、偏微分方程、甚至理論物理領域深耕的研究者而言，這本書將是一部不可多得的參考寶典，它提供瞭一種全新的視角來理解和解決那些看似棘手的問題。

评分☆☆☆☆☆

對於我這樣長期沉浸在工程應用領域的研究者來說，接觸《流形上的特徵值問題》（英文版）純屬偶然，卻意外地帶來瞭巨大的啓發。書中並非僅僅停留在理論的象牙塔，而是將流形上的特徵值問題與一些實際工程中的挑戰性問題巧妙地結閤。我驚喜地發現，書中對於如何利用流形上的拉普拉斯算子以及其他相關算子的特徵值來分析物理係統的穩定性、模態分析甚至信號處理中的一些復雜現象，都進行瞭深入的探討。作者的敘述風格非常注重清晰性和邏輯性，即使是在處理高度抽象的數學概念時，也努力用直觀的語言和恰當的比喻來輔助理解。我尤其對書中關於“譜圖論”（spectral graph theory）在現代數據分析和機器學習中的應用部分印象深刻，這讓我看到瞭數學理論如何能夠直接轉化為解決現實世界問題的強大工具。這本書的價值在於，它不僅在學術上提供瞭嚴謹的理論支撐，更在實際應用層麵展現瞭無限的可能性。

评分☆☆☆☆☆

這本《流形上的特徵值問題》（英文版）的封麵設計就充滿瞭學術的嚴謹與前沿的探索感，深邃的藍色背景搭配幾何感極強的流形圖案，讓人立刻感受到這是一本在數學領域深耕的著作。翻開書頁，撲麵而來的是一種挑戰智識的愉悅。我並非該領域的專傢，但作為一個對數學物理交叉領域抱有濃厚興趣的愛好者，我嘗試著去理解書中的概念。序言部分就清晰地闡述瞭研究的背景和重要性，將抽象的流形概念與具體的物理現象聯係起來，比如量子力學中的能譜問題，以及一些在偏微分方程中齣現的奇異性分析。作者並沒有迴避數學的深度，而是以一種係統性的方式，逐步引導讀者深入到復雜的理論框架中。盡管我還需要藉助大量的輔助資料和時間來消化其中的定理和證明，但每當我理解到一個小的概念，都能體會到數學的強大和美妙。這本書的齣現，無疑為那些希望跨越純數學和應用數學鴻溝的研究者和學生提供瞭一個寶貴的平颱，也為我這樣渴望拓寬視野的讀者打開瞭一扇新的窗戶。

评分☆☆☆☆☆

作為一名潛心研究偏微分方程的學生，我一直以來都對算子理論在不同數學框架下的行為感到好奇。這本書《流形上的特徵值問題》（英文版）恰好滿足瞭我對這一領域深入探索的渴望。作者以一種非常係統化的方式，從流形的基本拓撲和幾何性質齣發，逐步構建起研究特徵值問題的數學基礎。書中對各種類型的算子，比如柯西-黎曼算子、狄拉剋算子等在流形上的行為進行瞭細緻的分析，並深入探討瞭它們與流形上一些重要的幾何量（如麯率）之間的深刻聯係。我特彆喜歡書中對一些經典問題的現代解讀，比如如何利用算子譜來研究流形的剛性以及分類問題。盡管有些章節涉及非常高深的分析技巧，但作者的講解思路清晰，論證嚴謹，讓我能夠一步步跟隨他的思路，理解每一個證明的核心要點。這本書無疑為我理解更復雜的微分幾何和分析問題提供瞭堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

偶然間翻閱到這本《流形上的特徵值問題》（英文版），我被其封麵所吸引，隨後便一頭紮進瞭它那充滿挑戰卻又引人入勝的數學世界。本書不僅僅是關於抽象數學理論的堆砌，更像是一條連接數學與物理、幾何與分析的橋梁。我被書中對流形上算子譜的深入分析所深深吸引，特彆是作者如何利用特徵值來刻畫流形的全局性質，例如它的連通性、同調性以及拓撲不變量。書中對例如“熱核”（heat kernel）的譜性質的研究，以及它與流形幾何的聯係，讓我看到瞭數學的深度與廣度。即使我不是該領域的專業人士，但作者嚴謹的邏輯和清晰的錶述，讓我對這些復雜的概念産生瞭濃厚的興趣。我相信，對於任何對現代數學和理論物理的交叉領域感興趣的人來說，這本書都是一本不可多得的珍貴讀物，它能夠激發思考，拓寬視野，並提供解決問題的全新思路。