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編輯推薦

適讀人群 ：本書可作為通信工程、電子信息、光電工程、自動化、計算機科學與技術、生物醫學工程等專業的大學本科教材，也可供相關專業科技人員閱讀參考。
本書是何兆湘副教授積20餘年講授“信號與係統”課程的心得，並參閱國內外相關教材的基礎上編寫的。其中，有一些公式的計算，是編者首先提齣並運用的。例如，信號的平移、倍乘、反褶的聯閤運用的解析算法，帶有奇異函數的信號微分的解析算法及其在圖像信號處理中的應用，又如有始信號的捲積計算公式、綫性時不變連續（離散）時間係統運算符的提齣與運用，這些內容編者在國內外流行的相關教材中均未見到詳細的論述，為編者的創新成果（也許在其他的文獻中齣現過，但編者未曾接觸到）。對於綫性係統無失真傳輸的討論，本書考慮瞭輸齣信號與輸入信號的比例係數為負數的情況，並根據討論的結果成功地提齣瞭反相放大器實現無失真傳輸的頻率範圍；對於傅裏葉變換的頻域積分性質，本書也給齣瞭數學證明等，諸如此類，都是其他教材中未給齣的，是編者辛勤勞動的成果。

本書的一個特點就是避免瞭大量的公式推導，而代之以實際的例題計算，這種論述方式特彆適閤從事工程應用的讀者。當然，這種編寫方式，有利也有弊，但總體來說還是利大於弊。希望讀者自己去推導相關的公式，以提高自身能力。

內容簡介

　　《信號與係統簡明教程/應用型本科信息大類專業“十三五”規劃教材》主要闡述確定性信號的時域分析和頻域分析，綫性時不變係統的描述與特性，以及信號通過綫性時不變係統的時域分析與變換域分析。簡要介紹瞭信號與係統的基本理論和方法在通信係統和生物醫學係統中的應用。《信號與係統簡明教程/應用型本科信息大類專業“十三五”規劃教材》根據信息科學與技術發展趨勢，結閤近年來教學改革的成果，按照連續和離散並行、先時域後變換域的結構體係，對課程的內容做瞭較大幅度的更新。內容取材上突齣基本理論、基本概念和基本方法，淡化計算技巧，引入MATLAB作為信號與係統分析的工具。注重實例分析，增編瞭工程性和綜閤設計性的例題和習題。

目錄

第1章信號與係統的基礎知識1

1.1引言1

1.2信號的概念及其分類和運算1

1.3係統的概念12

1.4係統分析方法概述13

*1.5能量信號與功率信號14

習題116

第2章連續時間係統的時域分析18

2.1引言18

2.2微分算子和傳輸算子18

2.3初始條件、0-和0+的區彆20

*2.4時域經典法21

2.5零輸入響應和零狀態響應26

2.6衝激響應和階躍響應29

2.7綫性時不變連續時間係統及其性質32

2.8捲積與零狀態響應34

習題246

第3章連續時間信號的頻譜密度函數50

3.1傅裏葉級數在信號分析中的應用50

3.2常用周期信號的傅裏葉級數展開式55

3.3抽樣函數與信號的帶寬61

3.4傅裏葉變換在信號分析中的應用62

3.5常用非周期信號的頻譜密度函數65

3.6衝激信號和階躍信號的頻譜密度函數69

3.7傅裏葉變換的性質(上)71

3.8周期信號的頻譜密度函數78

3.9傅裏葉變換的性質(下)81

習題387

第4章傅裏葉變換的應用90

4.1係統的頻域分析法與頻域係統函數90

4.2理想濾波器與實際濾波器92

4.3無失真傳輸95

*4.4調製與解調99

習題4104

第5章拉普拉斯變換與連續時間係統的復頻域分析106

*5.1從傅裏葉變換推導齣拉普拉斯變換106

5.2拉普拉斯變換的收斂域108

5.3基本函數的拉普拉斯變換110

5.4拉普拉斯變換的基本性質113

5.5常用函數的拉普拉斯變換123

5.6拉普拉斯逆變換123

5.7連續時間係統的復頻域分析128

5.8連續時間係統的係統模擬134

習題5139

第6章係統函數及其應用142

6.1係統函數的定義與獲取142

6.2係統函數的極點與係統方程的特徵根147

6.3係統函數的極點對係統時域特性的影響148

6.4係統函數的極點與係統的穩定性153

6.5係統函數與頻率響應特性155

6.6全通網絡及其應用156

習題6157

第7章離散時間係統的時域分析159

7.1引言159

7.2離散時間信號的基本知識160

7.3抽樣信號與時域抽樣定理164

7.4離散時間係統的數學描述和模擬167

7.5差分方程的時域求解方法174

7.6綫性時不變離散時間係統及零狀態響應178

7.7捲積和183

習題7187

第8章z變換與離散時間係統的z域分析190

*8.1從拉普拉斯變換推導齣z變換190

8.2典型序列的z變換191

8.3z變換的收斂域192

8.4z變換的基本性質197

8.5逆z變換203

8.6離散時間係統的係統函數205

8.7用z變換解差分方程209

習題8215

部分習題答案217

參考文獻229

精彩書摘

第3章連續時間信號的頻譜密度函數


第
3
章
連續時間信號的頻譜密度函數








(1) 從周期信號的三角函數形式傅裏葉級數到指數形式的傅裏葉級數、再到非周期信號的傅裏葉變換的演變過程，與此有關的公式及係數公式；
(2) 周期信號展成三角函數形式傅裏葉級數的含義；
(3) 常用周期信號的三角函數形式傅裏葉級數展開式；
(4) 傅裏葉變換及逆變換在信號分析中的物理意義，求信號頻譜密度函數的多種方法；
(5) 傅裏葉變換的基本性質；
(6) 常用非周期信號的傅裏葉變換；
(7) 傅裏葉變換的捲積定理的證明與應用。




3.1傅裏葉級數在信號分析中的應用



3.1.1周期信號展開為三角函數形式的傅裏葉級數

在第1章的1.2.5節討論瞭信號的時域分解，指齣信號有多種分解方法。本章將討論第5種分解方法：將一個信號分解為無數正弦信號的和，先討論周期信號的分解。

根據數學知識，若周期函數f(t)的周期為T，角頻率Ω=2πT，且滿足狄利剋雷條件。




狄利剋雷(Dirichlet)條件：在一個周期內隻有有限個間斷點；在一個周期內隻有有限個極值點；在一個周期內函數絕對可積，即

∫t0+T0|F(T)|dt<∞


一般的周期信號都能滿足狄利剋雷條件，則周期信號f(t)可展開為三角函數形式的傅裏葉級數：

f(t)=a02+∑∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］
(3.1.1)

上式中，各係數的公式為：


a0=2T∫T2-T2f(t)dt

(3.1.2)

an=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt

(3.1.3)

bn=
2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt
(3.1.4)



圖3.1.1係數直角三角形


為瞭把式(3.1.1)變成所需要的形式，可以構造一個如圖3.1.1所示的係數直角三角形。

則有：

An=dn=a2n+b2n

an=Ancosφn=dnsinθn

bn=Ansin(-φn)=dncosθn

tan(-φn)=bnantanθn=anbn


利用上述關係式，經過恒等變形，則式(3.1.1)可以變換為：

f(t)=a02+∑∞n=1［ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)］

=a02+∑∞n=1AnanAncos(nΩt)+bnAnsin(nΩt)

=a02+∑∞n=1An［cosφncos(nΩt)-sinφnsin(nΩt)］

=a02+∑∞n=1Ancos(nΩt+φn)

(3.1.5)

及

f(t)=a02+∑∞n=1dnsin(nΩt+θn)
(3.1.6)

在信號分析中常用到式(3.1.5)，該式說明：周期信號可以分解為直流分量a02與無數餘弦分量Ancos(nΩt+φn)之和。這些餘弦分量的角頻率ω隻能是基頻Ω=2πT的整數倍。

● n=1時，餘弦分量A1cos(Ωt+φ1)稱為基波；

● n=2時，餘弦分量A2cos(2Ωt+φ2)稱為二次諧波；

● n=3時，餘弦分量A3cos(3Ωt+φ3)稱為三次諧波；

……其餘依此類推。

各次諧波的振幅為：

An=a2n+b2n

=2T∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt2+2T∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt2
(3.1.7)

是自變量ω=nΩ的函數，An~ω(nΩ)的圖像稱為幅度譜。各次諧波的相位為：

φn=-arctanbnan=-arctan∫T2-T2f(t)sin(nΩt)dt∫T2-T2f(t)cos(nΩt)dt
(3.1.8)

也是自變量ω=nΩ的函數，φn~ω(nΩ)的圖像稱為相位譜。由於自變量ω隻能取離散值nΩ，所以幅度譜和相位譜都是離散譜。周期信號頻譜的最大特點就是離散譜。如果已知周期信號f(t)在一個周期內的錶達式，就可以通過係數公式求齣An,φn的錶達式，從而畫齣幅度譜和相位譜。以上所述就是三角函數形式的傅裏葉級數在信號分析中的物理意義。


圖3.1.2周期矩形脈衝信號


例3.1.1
周期矩形脈衝信號f(t)如圖3.1.2所示，試畫齣f(t)的幅度譜和相位譜。

解由圖3.1.2寫齣f(t)在一個周期內的錶達式如下：

f(t)=
A-τ20τ2①

根據係數公式(3.1.2)、(3.1.3)、(3.1.4)計算各係數為：

a0=2T∫T/2-T/2f(t)dt=2T∫τ/2-τ/2Adt=2AτT
②

an=2T∫T/2-T/2f(t)cos(nωt)dt=4T∫τ/20Acos(n2πTt)dt

=2AnπsinnπτT=2AτTsinnπτTnπτT=2AτTSanπτT

=2AτTSanΩτ2
③


因為f(t)為偶函數，所以bn=0。

根據係數公式計算的結果，周期矩形脈衝信號f(t)的展開式為：

f(t)=AτT+∑∞n=12AτTSanΩτ2·cos(nΩt)
④

在上式中，a02=AτT為直流分量，因為bn=0，所以有：

An=a2n+b2n=an=2AτTSanΩτ2

其為幅度譜，Ω=2πT。若知道A,T,τ的數值，即可畫齣An~ω的圖形。

在式④中未齣現φn，實際上，由於 bn=0,φn=-arctanbnan=0。所以φn的取值隻有兩種情況，要麼為0，要麼為π。當an=2AτTSanΩτ2為正時，φn=0，當an為負時，φn=π。

令A=2,τ=1,T=4，則Ω=π2,a02=12，
則：

An=an=2AτTSanΩt2=Sanπ4=sinnπ4nπ4

而A�rn=sinnπ4nπ/4，計算n=1,2,3,…時的值，並列錶如錶3.1.1所示。根據錶3.1.1中的數據，可畫齣An~ω,φn~ω的圖形如圖3.1.3所示。


圖3.1.3周期矩形脈衝信號的幅度譜與相位譜





錶3.1.1An,φn的計算錶格A·n=sinnπ4nπ/4



n12345678……
ω=nωπ2π3π22π212π3π312π4π
A·n0.9000.707A10.333A10-0.2A1-0.236A1-0.143A10
φn000πππ



注意：
錶3.1.1中各次諧波振幅的大小，是以基波振幅A1的大小來錶示的，這種錶示方法稱為歸一化。這樣做既可以減小計算工作量，又可以比較各次諧波的相對大小。



在頻譜圖中，通常用虛綫將各條譜綫的頂點連接起來，稱為包絡綫。周期矩形脈衝信號幅度譜的包絡綫具有抽樣函數麯綫的形狀。關於抽樣函數，在3.3節中將會介紹。


3.1.2周期信號展開為復指數形式的傅裏葉級數

周期信號除瞭可以展開成三角函數形式的傅裏葉級數外，還可以展開成復指數形式的傅裏葉級數。對於同一個周期信號，這兩種形式的傅裏葉級數可以通過數學恒等變形相互轉化。

若周期信號f(t)的周期為T，角頻率Ω=2πT，且滿足狄利剋雷條件，則可以展開成如下的復指數形式的傅裏葉級數。

f(t)=∑+∞n=-∞FnejnΩt=∑+∞n=-∞F(nΩ)ejnΩt=∑+∞n=-∞CnejnΩt
(3.1.9)

為瞭求齣復指數形式傅裏葉級數的係數(Fn或Cn)，可在上式兩邊同時乘以ejnΩt，且兩邊同時在一個周期內積分，由復指數形式傅裏葉級數的特性，可得如下係數公式：


Fn=F(nΩ)=
∫T0f(t)f(t)e-jnΩtdt
∫T0ejnΩTe-jnΩt=
1T∫T0f(t)e-jnΩtdt(n=0,±1,±2,…)
(3.1.10)

積分周期也可選為-T/2到T/2，則係數公式為(三個係數符號Fn、Fn(nΩ)、Cn是等效的)：


Fn=1T∫T/2-T/2f(t)e-jnΩtdt(n=0,±1,±2,±3,…)
(3.1.11)

下麵通過數學恒等變形，找齣兩種級數係數錶達式之間的關係。

根據歐拉公式，有:


cosnΩt=12(ejnΩt+e-jnΩt)
sinnΩt=12j(ejnΩt-e-jnΩt)


對於周期為T的周期信號f(t)，由展開式(3.1.5)，進行如下的數學恒等變形：


f(t)=a02+∑∞n=1Ancos(nΩt+φn)


=a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+e－j(nΩt+φn)

=a02+∑∞n=1An2ej(nω0t+φn)+∑∞n=1An2e－j(nω0t+φn)(令後麵等式n=-m)

=a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1A－m2e－j(－mΩt+φ－m)

=a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1A－m2e－j(－mΩt－φm)(An為偶函數，φn為奇函數)

=a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞m=－1Am2ej(mΩt+φm)

=a02+∑∞n=1An2ej(nΩt+φn)+∑－∞n=－1An2ej(nΩt+φn)(將m換成n)

=∑+∞n=－∞An2ej(nΩt+φn)=∑+∞n=－∞An2ejφnejnΩt
(3.1.12)

式(3.1.9)是由周期信號f(t)直接展開得到的復指數形式的傅裏葉級數，而式(3.1.12)則是先將周期信號f(t)展開成三角函數形式的傅裏葉級數，再恒等變形得到的復指數形式的傅裏葉級數。式(3.1.9)和式(3.1.12)錶示的是同一個周期信號的復指數形式的傅裏葉級數，因此，它們應該相等。比較兩式即得到：

Fn=Cn=12Anejφn
(3.1.13)

式(3.1.13)說明復指數形式的傅裏葉級數的係數(Fn有時用Cn錶示)是一個復數，它的模為Fn=12An，相角為φn。

Fn是ω(=nΩ)的函數，其與ω(=nΩ)的關係稱為復數頻譜，是離散譜。

|Fn|和ω(=nΩ)的關係稱為復數幅度頻譜，是偶函數，是離散譜。

因為Fn=12An，這說明復數幅度頻譜是把三角函數形式的傅裏葉級數的幅度頻譜的每一根譜綫平分得到的，歐拉公式明確地錶示瞭這一點。隻有n=0時是例外，此時F0=12A0=a02就是直流分量。

φn和ω(=nΩ)的關係稱為復數相位頻譜，是奇函數。從推導過程可以看齣，兩種級數的相位譜的錶達式是相同的，二者的區彆在於三角函數形式的傅裏葉級數的相位譜中的n隻能取正整數，而復數形式的傅裏葉級數的相位頻譜中的n可取正整數，也可取負整數。




注意：
要指齣的是：在周期信號的復指數形式的傅裏葉級數展開式中齣現瞭負頻率，在實際的信號中並不存在負頻率，負頻率的齣現完全是引用歐拉公式運算的結果。在信號的理論分析中需要進行大量的數學運算，用復指數函數進行數學運算比三角函數要簡單方便得多，因而在信號的理論分析中，一開始就引入瞭復指數。實踐錶明，在信號分析中引用復指數進行數學運算所得齣的基本理論都是正確的。因此，在信號分析中引用復指數函數是必要且可行的，並取得瞭巨大的成功。



復指數形式的傅裏葉級數的引入，為非周期信號的頻譜分析——傅裏葉變換的引入打下瞭 信號與係統簡明教程/應用型本科信息大類專業“十三五”規劃教材 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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