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內容簡介

　　《度量空間的拓撲學》主要是以度量空間為基礎進行拓撲學性質的探究。對於讀者而言，以度量空間為基礎可以降低拓撲學的入門難度。與此同時《度量空間的拓撲學》也介紹瞭對於拓撲學而言相對重要的結果，特彆是其他中文書籍相對較少涉及的拓撲學維數論，無限維拓撲學等的相關結果也在本書中有所體現。此外，重視拓撲學和其他學科的結閤是本書的一個特點。《度量空間的拓撲學》從基本的集閤論知識起步，先介紹瞭度量空間、連續映射、度量空間的連通性和緊性，然後介紹瞭可分度量空間、完備度量空間、Baire空間，還包含瞭這些結論在分析學中的應用、Cantor集的拓撲特徵及其萬有性；進一步，《度量空間的拓撲學》定義瞭拓撲空間，並把度量空間的拓撲學知識推廣到瞭更一般的拓撲空間中，並定義瞭仿緊性，證明瞭一些可度量化定理等。最後本書證明瞭Michael選擇定理、Dugundji擴張定理、Brouwer不動點定理和Anderson定理。
　　《度量空間的拓撲學》主要麵嚮數學專業本科生和低年級研究生，也可以作為對拓撲學有興趣的研究者的參考書。

內頁插圖

目錄

第1章 公理集閤論簡述
1．1 集閤論公理
1．2 集閤上的幾種特殊關係
1．3 序數與基數
1．4 選擇公理

第2章 度量空間
2．1 度量空間的定義及例子
2．2 開集、閉集、基、序列
2．3 閉包、內部、邊界
2．4 連續映射、同胚、拓撲性質
2．5 一緻連續、等距映射與等價映射
2．6 度量空間的運算
2．7 Urysohn引理和Tietze擴張定理
2．8 Borel集和絕對Borel空間

第3章 度量空間的連通性
3．1 連通空間
3．2 連通分支與局部連通空間
3．3 道路連通空間

第4章 緊度量空間
4．1 緊度量空間的定義、等價條件
4．2 緊度量空間的運算I
4．3 緊度量空間的性質
4．4 局部緊度量空間
4．5 緊度量空間的運算II
4．5．1 超空間
4．5．2 函數空間
4．6 Cantor集的拓撲特徵

第5章 可分度量空間
5．1 可分度量空間的定義及等價條件
5．2 嵌入定理
5．3 Cantor空間的萬有性質

第6章 完備度量空間與可完備度量空間
6．1 完備度量空間
6．2 度量空間的完備化
6．3 可完備度量空間
6．4 Baire性質及其應用

第7章 拓撲空間與可度量化定理
7．1 拓撲空間的定義及例子
7．2 分離性公理
7．3 緊性與緊化
7．4 可數性公理與可分可度量化定理
7．5 仿緊空間
7．6 度量化定理
7．7 說明

第8章 Michael選擇定理與Brouwer不動點定理
8．1 綫性空間
8．2 Michael選擇定理及其應用
8．3 Euclidean空間R
8．4 Brouwer．不動點定理
8．4．1 單形和單純復形
8．4．2 單形的重心重分
8．4．3 Spermer定理
8．4．4 Brouwer不動點定理

第9章 維數論
9．1 三種維數的定義
9．2 關於覆蓋維數的進一步討論
9．3 度量空間的維數
9．4 維數與Euclidean空間Rn
9．5 無限維維數論簡述

第10章 無限維拓撲學引論
10．1．構造同胚的三種方法及其應用
10．1．1 方法一：同胚列的極限是同胚的條件
10．1．2 方法二：Bing收縮準則
10．1．3 方法三：同痕
10．2 Z-集
10．3 Z-集的同胚擴張定理I
10．4 Z-集的同胚擴張定理II
10．5 吸收子
10．6 Anderson定理
參考文獻
索引

前言/序言

　　本書的主要目的是為本科生和研究生提供度量空間的拓撲學的入門材料；同時為拓撲學專業的研究生提供關於維數論和無限維拓撲學的入門材料。相對於國內一般的點集拓撲學教材而言，本教材的重點是度量空間的拓撲學，這恰好是拓撲學在其他數學分支應用中最重要的部分，同時滿足瞭在一個相對比較短的篇幅內以比較低的起點上給齣一些深刻的拓撲學定理的要求。另外，本教材提供的拓撲學維數論在國內齣版的教材中較少涉及；無限維拓撲學，特彆是Anderson定理（即Hilbert空間l2同胚於無限可數個實直綫的乘積）在國內齣版的中文書籍中還沒有齣現。作者的另一個期待是本書能盡量體現拓撲學和其他數學分支的聯係，例如，證明存在充分多的處處連續處處不可導的函數，對Cantor集的探討，對Euclidean空間Rn的拓撲性質的討論，證明Michael選擇定理、Brouwer不動點定理和Brouwer域不變性定理等。
　　本書由十章組成，第1章給齣本書需要的集閤論知識。第2章定義度量空間、連續映射和其他基本概念並給齣這些概念的性質，同時我們也給齣大量例子，第3章和第4章分彆定義度量空間的連通性和緊性，研究這兩類度量空間的基本性質，特彆是給齣Cantor集的拓撲特徵，第5章研究可分度量空間，特彆是證明瞭含Cantor空間在內的一些空間的萬有性質。第6章定義和研究完備度量空間與可完備度量空間並給齣其在分析上的應用，第7章定義拓撲空間，探討第2-6章的各種概念在更一般的拓撲空間中的變化，並給齣拓撲空間一些特有的性質，例如，仿緊性；證明瞭一些經典的度量化定理。在第8章，我們的目的是證明Michael選擇定理、Dugundji擴張定理和Brouwer不動點定理，前兩個結論是聯係拓撲學和分析學的重要橋梁，後者是拓撲學中的最重要的結果之一。為此，我們定義拓撲綫性空間、單純復形等概念，第9章討論維數論。我們定義三種維數並給齣它們重閤的條件，利用這些結果我們證明Euclidean空間Rn是互相不同胚的和Brouwer域不變性定理——一個在很多數學分支中有用的定理。本書的最後一章給齣無限維拓撲學引論，其主要目的是證明Anderson定理，證明這個結果所使用的工具在今天的無限維拓撲學研究中仍然生機勃勃。
　　本書的前七章已經在汕頭大學本科生和研究生教學中多次使用，後麵三章也在拓撲專業研究生教學中多次使用。
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