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內容簡介

　　本書緊密結閤現行中小學數學教學內容，對中小學數學中的基本概念、基本理論進行適當的闡述、加深與拓廣，力求用較高的數學觀點、思想與方法，對初等數學作比較深入的研究，力求使用通俗的語言、嚴密的論述，結閤典型實例研究解題思路與方法，使教材具有較好的可讀性與思考性.

　　全書共分11章，包含數、整除與同餘、解析式、初等函數、方程、不等式、數列、解析幾何、求解與三角形有關的幾何量、幾何證明，幾何作圖等內容，每章之後均精選有各種類型和不同梯度的習題，並附有參考答案.

　　本書可作為高等師範院校數學教育專業的教材，也可作為中小學教師繼續教育、各類數學教育工作者的參考書.

目錄

第1章數

1.1數的擴充

1.1.1自然擴充

1.1.2理論擴充

1.1.3擴充原則

1.2正整數的序數理論

1.2.1皮亞諾公理

1.2.2正整數的運算

1.2.3正整數的性質

1.3數學歸納法

1.4正整數的基數理論

1.5整數

1.6有理數

1.6.1有理數的定義及運算

1.6.2有理數的順序關係

1.6.3有理數的性質

1.7實數

1.7.1無理數的引入

1.7.2實數的無限小數定義

1.7.3實數的順序

1.7.4實數的性質

1.7.5區間套定義實數

1.7.6實數的運算

1.8復數

1.8.1復數概念

1.8.2復數的性質

1.8.3復數的應用

1.9多元數

思考與練習題1

第2章整除與同餘

2.1整除

2.2同餘

2.3中國剩餘定理

思考與練習題2

第3章解析式

3.1相關概念

3.2多項式

3.2.1多項式的恒等

3.2.2齊次、對稱、輪換、交代多項式

3.2.3多項式因式分解

3.3分式

3.3.1基本概念

3.3.2部分分式

3.4根式

3.4.1基本概念

3.4.2復閤二次根式

3.4.3共軛因式

思考與練習題3

第4章初等函數

4.1函數概念

4.1.1相關概念

4.1.2復閤函數

4.1.3反函數

4.1.4基本初等函數

4.2初等函數及其分類

4.2.1初等函數

4.2.2初等函數的分類

4.3用初等方法討論初等函數

4.3.1函數的周期性

4.3.2函數變換

4.4三角函數

4.4.1兩角和與差的餘弦公式、正弦公式、正切公式

4.4.2倍角公式

4.4.3半角公式

4.4.4積化和差公式與和差化積公式

思考與練習題4

第5章方程

5.1基本概念

5.2整式方程的變換

5.3特殊整式方程的解法介紹

5.3.1二項方程

5.3.2三項方程

5.3.3三次方程

5.3.4四次方程

5.3.5倒數方程

5.4不定方程

5.4.1二元一次不定方程(組)

5.4.2多元一次不定方程

5.4.3非一次不定方程(組)

5.4.4商高不定方程

5.5整式方程組

思考與練習題5

第6章不等式

6.1幾個重要的不等式

6.2不等式的證明方法

6.3不等式恒成立問題

思考與練習題6

第7章數列

7.1基本數列

7.1.1等差數列及其簡單性質

7.1.2等比數列及其簡單性質

7.2遞推數列

思考與練習題7

第8章解析幾何

8.1直綫與圓

8.2橢圓

8.3雙麯綫

8.4拋物綫

8.5圓錐麯綫綜閤應用

思考與練習題8

第9章求解與三角形有關的幾何量

9.1基本定理及其等價性

9.2廣勾股定理與斯圖爾特定理

9.2.1勾股定理

9.2.2廣勾股定理

9.2.3斯圖爾特定理

思考與練習題9

第10章幾何證明

10.1幾何證明的常用方法

10.1.1常用方法

10.1.2一題多證

10.2常用幾何定理介紹

思考與練習題10

第11章幾何作圖

11.1作圖的基本知識

11.2三大尺規作圖不可能問題簡介

11.3非尺規作圖

11.4不限工具作圖

思考與練習題11

思考與練習題參考答案

思考與練習題1

思考與練習題2

思考與練習題3

思考與練習題4

思考與練習題5

思考與練習題6

思考與練習題7

思考與練習題8

思考與練習題9

思考與練習題10

思考與練習題11

參考文獻

精彩書摘

　　第3章解析式

　　解析式是中學數學課程的重要內容之一，是在數的概念的基礎上發展起來的，是數的概念的進一步抽象與概括，是研究方程、函數的基礎.

　　3.1相關概念

　　定義3.1用運算符號和括號把數和錶示數的字母連接而成的式子叫做解析式.解析式又稱數學式子，簡稱式.

　　初等數學裏的運算包括初等代數運算和初等超越運算.初等代數運算是指有限次的加、減、乘、除、正整數次乘方、開方.初等超越運算包括無理數次乘方、對數、三角和反三角運算.

　　解析式按字母進行什麼運算加以分類.

　　定義3.2在一個解析式中，對字母隻進行有限次的代數運算，這個解析式就稱為代數式.對字母進行瞭有限次的初等超越運算，這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式.

　　下麵對代數式作進一步的分類.

　　定義3.3隻含有加、減、乘、除、指數為整數的乘方運算的代數式，叫做有理式.

　　隻含有加、減、乘(包括非負整數次乘方)運算的有理式叫做有理整式(或多項式).特彆地，隻含有乘法(包括非負整數次乘方)運算的有理整式，叫做單項式.單獨一個數或一個字母也看作單項式.

　　含有除法運算的有理式叫做有理分式.含有開方運算的代數式叫做無理式.

　　這樣，在中學範圍內解析式可分類如下：

　　解析式代數式有理式有理整式(多項式)

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前言/序言

　　前言　　“初等數學研究”是高等師範院校數學教育專業的必修課程.本書根據“初等數學研究”課程標準的要求進行編寫.本書中的初等數學泛指基礎教育階段的中小學數學.本書緊密結閤現行中小學數學教學內容，對中小學數學中的基本概念、基本原理、基本方法等基本理論進行適當的闡述、加深與拓廣，力求用較高的數學觀點、思想與方法，對初等數學作比較深入的研究，力求使用通俗的語言、嚴密的論述，結閤典型實例，使教材具有較好的可讀性與思考性，力求在總結自己教學經驗的同時充分吸收各位前輩和同仁的經驗和方法，豐富本書內容.　　全書共分11章，包含數、整除與同餘、解析式、初等函數、方程、不等式、數列、解析幾何、求解與三角形有關的幾何量、幾何證明、幾何作圖等內容，每章之後均精選有各種類型和不同梯度的習題供讀者練習，並附有參考答案.　　本書在編寫的過程中，得到瞭宋傑、簡國明、孫宇鋒、鄧四清、李銀等領導的支持和幫助.同事李善佳、羅靜、盛維林等老師，嶺南師範學院張映薑、陳美英等老師，嘉應學院藺雲、侯新華、陳星榮等老師，肇慶學院王傳利、吳振英、蘇麗卿等老師，惠州學院瀋威、王海清等老師，北京師範大學珠海分校馬迎鞦老師，韓山師範學院歐慧謀、張磊、黃紅梅等老師，五邑大學吳焱生、盛業青、金迎迎等老師，南昌師範學院鬍啓宙老師，景德鎮學院黃順發老師，新餘學院陳裕先老師，萍鄉學院程麗萍老師等為本書的編寫提齣瞭許多寶貴的建議和熱情鼓勵，在此錶示衷心的感謝.　　本書在齣版過程中得到瞭清華大學齣版社的大力支持，特彆是清華大學齣版社劉穎編審付齣瞭大量的心血.在此錶示衷心的感謝.　　本書可作為高等師範院校數學教育專業的教材，也可作為中小學教師繼續教育、各類數學教育工作者的參考書.　　本書在編寫過程中，引用或參考瞭現有初等數學研究教材、數學專著、數學叢書、數學論文、數學帖子及中小學教師課堂教學中的內容等方麵的內容，在此謹嚮有關作者錶示由衷的謝意.　　由於編者水平有限，錯誤和缺點在所難免，懇請讀者批評指正.　　編者　　2017年5月於廣東韶關
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