泛函分析在數學物理中的應用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[蘇] 索伯列夫 著

圖書標籤:

• 泛函分析
• 數學物理
• 應用數學
• 偏微分方程
• 算子理論
• 希爾伯特空間
• 譜分析
• 變分法
• 量子力學
• 數值分析

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560372211

版次：1

商品编码：12351623

包装：平装

开本：16

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

編輯推薦

本書適閤高等院校師生及數學愛好者研讀。

內容簡介

這本書是索伯列夫院士的名著。他是一個用廣義函數與廣義導數的概念，並利用泛函分析的方法，解決瞭許多數理方程中的問題的學者。此書共分三章：泛函分析中的特殊問題、數學物理中的變分方法、雙麯型偏微分方程理論。書中對每一個概念都有所交代，所以讀者隻要具備實變函數、重積分、偏微分方程及變分法方麵的基礎知識，即可讀懂本書而無睏難。

目錄

目錄

第1章 泛函分析中俄特殊問題

第2章 數學物理中的變分方法

第3章 雙麯型偏微分方程理論

《泛函分析在數學物理中的應用》 一、 導言 數學物理，作為一門連接抽象數學理論與具體物理現象的橋梁，其發展曆程始終伴隨著數學工具的革新與深化。十九世紀以來，波動、熱傳導、電磁場等諸多物理現象的湧現，對當時的數學分析工具提齣瞭前所未有的挑戰。傅裏葉級數、積分變換等一係列方法應運而生，並逐漸展現齣其處理無限維空間的潛力。進入二十世紀，量子力學、相對論等革命性的物理理論的建立，更是將數學分析的疆域推嚮瞭更為廣闊的抽象空間。在這一曆史進程中，泛函分析作為一門研究函數空間及其上算子性質的數學分支，以其獨特的視角和強大的分析能力，逐漸成為現代數學物理不可或缺的基石。 本書旨在係統地闡述泛函分析的基本理論，並著重探討其在諸多數學物理分支中的具體應用。我們力求在保持數學嚴謹性的同時，清晰地揭示泛函分析的直觀思想和物理意義，幫助讀者建立起理論聯係實際的橋梁。從希爾伯特空間的基本結構到算子代數的理論，再到分布理論的抽象框架，本書將帶領讀者深入理解這些數學工具如何被有效地應用於描述和解決復雜的物理問題。 二、 希爾伯特空間與量子力學 量子力學的誕生是二十世紀物理學最偉大的成就之一。其核心思想在於，微觀粒子的狀態不再是經典意義下的確定軌跡，而是由一係列概率幅所描述的量子態。而描述這些量子態的理想數學空間，正是希爾伯特空間。 本書將從希爾伯特空間的構造入手，詳細介紹內積、範數、完備性等核心概念。我們將探討各種重要的希爾伯特空間，如 $L^2$ 空間（平方可積函數空間）以及序列空間 $l^2$。這些空間為描述波函數提供瞭堅實的數學基礎。 接著，本書將深入分析算子在希爾伯特空間中的作用。在量子力學中，物理量（如位置、動量、能量）對應著希爾伯特空間上的自伴算子。本書將詳細討論自伴算子（Hermitian operators）的譜分解理論，並闡釋其在測量理論中的關鍵作用。例如，我們將會看到，一個物理量的所有可能測量值就是其對應算子的譜（本徵值），而量子態的演化可以通過薛定諤方程來描述，該方程本質上是一個關於算子作用的微分方程。 更進一步，我們將考察有界算子和無界算子在希爾伯特空間中的性質。許多物理算子，如拉普拉斯算子，是無界算子，其理論分析需要更深入的工具。本書將介紹閉算子、稠定算子以及算子的自伴性條件，這些都是理解量子力學中哈密頓算子（能量算子）性質的關鍵。 三、 算子代數與量子場論 量子場論（Quantum Field Theory, QFT）是描述基本粒子及其相互作用的理論框架。在量子場論中，物理係統被視為場量的集閤，而這些場的量子化過程需要更為抽象的數學工具，其中算子代數扮演著核心角色。 本書將介紹 C-代數和 von Neumann 代數等算子代數的概念。這些代數結構能夠有效地描述量子係統的狀態空間以及作用在這些狀態上的算子集閤。我們將探討這些代數的分類和基本性質，例如交換性、正元以及跡。 在量子場論中，算子代數被用來構建格林函數、重整化群等關鍵概念。本書將通過具體的例子，展示如何利用算子代數來處理量子場論中的無窮大問題，以及如何通過算子代數來理解對稱性在量子場論中的破缺。 此外，我們還將簡要介紹量子信息理論與算子代數之間的聯係，探討量子糾纏、量子計算等前沿領域中泛函分析所扮演的角色。 四、 分布理論與偏微分方程 偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述物理現象（如熱傳導、流體力學、波動傳播）的標準數學語言。然而，許多物理方程的解並非處處光滑，例如激波、點源等，這給傳統的微分方程理論帶來瞭挑戰。分布理論（Theory of Distributions）應運而生，為處理這類“廣義解”提供瞭強大的數學框架。 本書將詳細介紹分布的基本概念，包括測試函數空間、綫性泛函以及分布的運算（如捲積、求導、乘法）。我們將重點介紹狄拉剋 $delta$ 函數及其在物理學中的廣泛應用，例如描述點電荷、點質量等。 然後，我們將深入探討分布理論在求解偏微分方程中的應用。本書將展示如何利用分布理論來理解和求解那些傳統方法難以處理的方程，例如具有奇點的方程或在廣義意義下求解方程。我們將介紹傅裏葉變換與分布理論的結閤，這對於求解綫性偏微分方程至關重要。 此外，本書還將觸及 Sobolev 空間的概念，這是一個結閤瞭範數和微分性質的函數空間，對於分析偏微分方程的解的正則性至關重要。通過 Sobolev 空間，我們可以更嚴格地討論解的存在性、唯一性和光滑性。 五、 專題討論：數學物理中的其他應用 除瞭上述核心領域，泛函分析在數學物理的眾多分支中都有著廣泛而深刻的應用。本書將在這一部分選擇若乾具有代錶性的專題進行簡要介紹，以期展現泛函分析的普適性。 統計力學與譜理論： 在統計力學中，係統的宏觀性質往往與微觀自由度的集體行為密切相關。利用格林函數等工具，可以從微觀動力學推導齣宏觀熱力學性質。泛函分析的譜理論為理解這些集體激發和相變現象提供瞭重要的數學工具。 傅裏葉分析在信號處理與圖像分析中的應用： 盡管本書聚焦於數學物理，但傅裏葉分析作為泛函分析的重要組成部分，其在信號處理、圖像壓縮、數據去噪等現代工程技術中的應用已經滲透到我們生活的方方麵麵。我們將在本書中迴顧傅裏葉級數和傅裏葉變換的基本性質，並簡要提及它們在物理信號分析中的作用，例如光譜分析。 微分幾何與算子理論： 在更抽象的幾何理論中，例如黎曼幾何，微分算子（如拉普拉斯-貝爾特拉米算子）在研究流形的性質中扮演著關鍵角色。本書將簡要介紹這些算子在幾何分析中的作用，以及它們如何與泛函分析中的譜理論相互關聯。 六、 結論 泛函分析以其抽象而強大的數學語言，為理解和描述復雜的物理世界提供瞭深刻的洞見。從微觀的量子世界到宏觀的場論，從經典物理的演化方程到現代物理的尖端理論，泛函分析的身影無處不在。本書的寫作旨在為讀者提供一個堅實的泛函分析理論基礎，並展示其在數學物理各個分支中的豐富應用。我們希望通過本書的闡述，讀者能夠深刻體會到數學的抽象之美如何轉化為對物理現象的深刻理解，並能夠啓發進一步的學習和研究。 數學物理的魅力在於其不斷探索未知，而泛函分析作為一門日臻完善的學科，無疑將繼續為這一探索提供強有力的支持。本書希望能夠成為讀者在這條探索之路上的一份有益的指引。

评分☆☆☆☆☆

《泛函分析在數學物理中的應用》這個書名，讓我對它所能帶來的知識感到無比期待，也引發瞭我對書中內容的諸多猜測。我一直在想，這本書會不會是一扇窗戶，讓我得以窺見數學的抽象世界如何精妙地映射到我們所處的物理現實。我預感，書中可能會詳細講解如何運用諸如積分變換、傅裏葉分析等泛函分析的工具，來處理信號處理、圖像識彆等現代物理問題。又或者，它會深入探討算子代數在量子信息科學中的作用，解釋量子比特的操控和量子糾纏的數學描述。我也猜想，這本書或許會包含一些關於近似方法和數值方法的討論，如何利用泛函分析的理論來設計和分析求解復雜物理問題的算法。我渴望從這本書中獲得一種全新的視角，將數學的嚴謹與物理的直觀融為一體，看到那些抽象的數學概念如何在解決實際物理難題時發揮齣驚人的力量。

评分☆☆☆☆☆

《泛函分析在數學物理中的應用》這個書名，讓我對它所包含的知識領域産生瞭強烈的探知欲，並引發瞭我對書中內容的多種猜想。我一直在揣摩，這本書是否會從基礎的概念齣發，循序漸進地介紹泛函分析的核心思想，比如嚮量空間、綫性算符、拓撲空間等等，然後巧妙地將它們與物理學中的具體問題聯係起來。我猜想，書中可能會包含對一些經典物理模型，如簡諧振子、量子諧振子等，進行泛函分析式解讀的章節，展示如何用更抽象、更強大的數學語言來描述它們的性質。我也在設想，這本書是否會涉及一些更具挑戰性的數學工具，例如分布理論，以及它在描述狄拉剋δ函數等奇異函數，並應用於解決物理學中的邊界值問題。我渴望通過閱讀這本書，能夠打下堅實的數學基礎，從而更自信地去探索那些復雜的物理現象背後的數學本質。

评分☆☆☆☆☆

當我看到《泛函分析在數學物理中的應用》這個書名時，我腦海裏立刻湧現齣許多關於它內容的猜測，這讓我對它充滿瞭濃厚的興趣。我一直在思考，這本書是否會深入探討那些深邃的數學理論，例如勒貝剋積分、測度論，以及它們如何成為理解物理世界中連續變化和隨機過程的基礎。我希望書中能夠闡述，如何在統計物理和概率論中應用這些工具，來描述大量粒子的集體行為，或者理解隨機過程的動態演化。我也在猜想，它是否會涉及一些更具挑戰性的內容，比如非綫性泛函分析，以及它在混沌理論、湍流研究等領域的應用。這本書能否幫助我建立起對復雜物理係統深刻的數學理解，讓我能夠更準確地把握它們的本質和行為，這是我非常期待的。

评分☆☆☆☆☆

這本書的標題《泛函分析在數學物理中的應用》激起瞭我莫名的好奇心，讓我腦海中浮現齣各種可能性。我一直在猜測，這本書是否會帶領我穿越數學的抽象殿堂，去探尋它與物理世界的碰撞火花。我想象著，或許它會從一些經典的應用講起，比如利用泛函分析的工具來解決諸如薛定諤方程、麥剋斯韋方程組等重要的物理方程。我希望它能深入解析這些方程的解的性質，以及泛函分析如何幫助我們理解這些解的穩定性和存在性。甚至，我推測書中可能會觸及一些更前沿的研究領域，例如在譜理論、分布理論方麵的應用，它們在量子場論、凝聚態物理等領域扮演著至關重要的角色。我非常期待，通過閱讀這本書，能夠拓展我對物理問題數學化處理的視野，領略泛函分析作為一種強大的解析工具，如何賦予我們更深刻洞察物理世界的能力，甚至啓發我思考一些未解之謎。

评分☆☆☆☆☆

這本書名《泛函分析在數學物理中的應用》聽起來就非常有深度，我一直在思考它究竟能為我們揭示哪些數學的奧秘，以及這些奧秘如何巧妙地與物理世界的規律相連接。我猜想，這本書可能會深入探討諸如希爾伯特空間、巴拿赫空間這類抽象的數學結構，它們如同精密的數學語言，為描述物理現象提供瞭強大的工具。我特彆好奇，書中是否會詳細闡述如何利用這些空間來理解量子力學中的態矢量，以及算符在量子係統演化中的作用。或許，它還會涉及更廣泛的應用，比如在連續介質力學中，如何運用泛函分析的工具來解決偏微分方程，描述流體動力學或彈性力學的行為。想象一下，那些看似紛繁復雜的物理現象，在泛函分析的嚴謹框架下，能夠被如此清晰、係統地刻畫和分析，這本身就是一種令人著迷的智力冒險。我期待它能幫助我建立起一套更深刻的數學物理理解體係，看到那些隱藏在現象背後的普適性原理。