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內容介紹
廣義相對論研究巨大尺度的物體──例如星體、甚至整個宇宙；量子力學研究甚至整個J小尺度的奇妙現象──如原子SJ。弦理論 (String Theory) 則企圖成為兩者間的橋梁。 　　從微細的“弦”振動開始，弦理論認為我們生活在一個十維的SJ中，其中四維是我們日常生活感知的時空，另外六維呢？物理學傢發現，1976年齣現的“卡拉比-丘流形” (Calabi-Yau Manifolds)，一個純粹的數學幾何結構，正好可以用來刻畫六維空間的內在形狀！ 　　本書中，丘成桐細說從古希臘時代柏拉圖等幾何學傢、到愛因斯坦、卡拉比以及丘成桐自己的研究、他對幾何學未來的看法等等；敘述瞭他幾十年來所有成J的來龍去脈以及心路曆程。讀者可以深切瞭解近代數學和物理學研究的重要進展，更體會到*流科學傢的研究精神。

關聯推薦

這是菲爾茲奬得主，華人數學傢丘成桐的科普佳作，主要講述瞭他的思想演化，同時引介瞭眾多現代數學傢。

1976年，年方27歲的丘成桐解決瞭微分幾何中的一個ZM難題“卡拉比猜想”，其結果被稱為“卡拉比-丘流形”，後來被應用在物理學的弦理論中，成為描述宇宙空間的理論基石。1979年，他又證明瞭每個符閤愛因斯坦方程的解都具有正總質能量，確認平直時空的穩定性。因此，他的研究橫跨數學和物理兩大領域。

讀者可以與物理學傢的弦論經曆相互參照，看到數學與物理的相互影響和促進。

2018年新版的《*推動叢書》全新設計瞭版式和封麵，簡約個性，提升瞭閱讀體驗，讓科普給你更多想象。

隨書附贈價值39.6元由汪潔、吳京平掰開揉碎,帶你懂科學好書的《經典科普解讀課》**券。

 
目錄
目錄： 中文版序 希望年輕人能理解數學之美，以及我做學問的精神 英文版序 數學，是一場波瀾壯闊的冒險！ 序麯 從柏拉圖到宇宙未來的形貌 D1章 想象邊緣的宇宙 D2章 自然秩序中的幾何 D3章 打造數學新利器 D4章 美到難以置信：卡拉比猜想 D5章 證明卡拉比（是錯？是對？） D6章 弦論的DNA D7章 穿越魔鏡 D8章 時空中的扭纏 D9章 迴歸現實SJ D10章 CY卡拉比一丘

目錄：

 

時空統一頌
中文版序 希望年輕人能理解數學之美，以及我做學問的精神
英文版序 數學，是一場波瀾壯闊的冒險！
序麯 從柏拉圖到宇宙未來的形貌
D1章 想象邊緣的宇宙
D2章 自然秩序中的幾何
D3章 打造數學新利器
D4章 美到難以置信：卡拉比猜想
D5章 證明卡拉比（是錯？是對？）
D6章 弦論的DNA
D7章 穿越魔鏡
D8章 時空中的扭纏
D9章 迴歸現實SJ
D10章 CY卡拉比一丘
D11章 宇宙解體（想知道又不敢問的SJ末日問題）
D12章 尋找隱藏維度的空間
D13章 數學·真·美
D14章 幾何的終結？
後記 每天吃個甜甜圈，想想卡拉比一丘流形
終麯 進入聖堂，BB幾何
龐卡萊之夢
附錄1 瞭解三個重要概念：空間、維度、麯率
附錄2 名詞解釋
附錄3 原文注釋
索引
譯後記 對麯撫弦好時光

顯示全部信息

在綫試讀
D1章　想象邊緣的宇宙（部分） 對數學傢而言， 維度指的是一種“自由度”， 也J是在空間中運動的D立程度。 在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以嚮任何方嚮自由移動， 隻要沒有碰到障礙， 它J擁有三個自由度。 但維度是不是J隻有那麼多？ 望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認瞭一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的ZJ證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神秘、看不見的形式存在，稱為“暗能量”（dark energy），其餘大部分則是“暗物質”（dark matter），再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，隻占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物質在各方麵都是“暗的”：既看不見，也難以測度。 我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成瞭一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為“哈勃體”（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍隻有如此而已。根據目前所得的ZJ數據，宇宙似乎是無窮延伸的——不管我們嚮哪個方嚮看去，如果你畫一條直綫，真的可以從這裏一直延伸到永恒。 不過，宇宙仍有可能是彎麯而且有界限的。但即使如此，可能的麯率也會FC微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少有上韆個哈勃體那麼大。 Z近發射的普朗剋太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙可能比一百萬個哈勃體還大，而我們所在的哈勃體隻是其中之一而已。我相信天文物理學傢的這一說法，也瞭解有些人可能會對上麵引述的數字有不同意見，但無論如何，有個事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。 而在另一個J端，顯微鏡、粒子加速器以及各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的麵貌，顯現瞭人類原先無法觸及的SJ，像細胞、分子、原子，以及更小的物體。如今我們不再對這一切感到驚訝，WQ可以期待望遠鏡會嚮宇宙的更深處探索。另一方麵，顯微鏡和其他儀器則會把更多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。

D1章　想象邊緣的宇宙（部分）

對數學傢而言，

維度指的是一種“自由度”，

也J是在空間中運動的D立程度。

在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以嚮任何方嚮自由移動，

隻要沒有碰到障礙，

它J擁有三個自由度。

但維度是不是J隻有那麼多？

 

望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認瞭一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的ZJ證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神秘、看不見的形式存在，稱為“暗能量”（dark energy），其餘大部分則是“暗物質”（dark matter），再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，隻占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物質在各方麵都是“暗的”：既看不見，也難以測度。

我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成瞭一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為“哈勃體”（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍隻有如此而已。根據目前所得的ZJ數據，宇宙似乎是無窮延伸的 ——不管我們嚮哪個方嚮看去，如果你畫一條直綫，真的可以從這裏一直延伸到永恒。

不過，宇宙仍有可能是彎麯而且有界限的。但即使如此，可能的麯率也會FC微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少有上韆個哈勃體那麼大。

Z近發射的普朗剋太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙可能比一百萬個哈勃體還大，而我們所在的哈勃體隻是其中之一而已。我相信天文物理學傢的這一說法，也瞭解有些人可能會對上麵引述的數字有不同意見，但無論如何，有個事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。

而在另一個J端，顯微鏡、粒子加速器以及各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的麵貌，顯現瞭人類原先無法觸及的SJ，像細胞、分子、原子，以及更小的物體。如今我們不再對這一切感到驚訝，WQ可以期待望遠鏡會嚮宇宙的更深處探索。另一方麵，顯微鏡和其他儀器則會把更多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。

Z近幾十年間，由於理論物理學的發展，再加上一些我有幸參與的幾何學進展，帶來瞭一些更令人驚訝的觀點：宇宙不僅超齣我們所能看見的範圍，而且可能還有更多的維度，比我們所熟悉的三個空間維度還要多一些。

D然，這是個令人難以接受的命題。因為關於我們這個SJ，假如有件事是我們確知的，假如有件事是從人類開始有知覺時J知道，是從開始探索SJ時J曉得的，那J是空間維度的數目。這個數目是三。不是大約等於三，而是恰恰J是三。至少長久以來我們是這樣認定的。但也許，隻是也許，會不會還有其他維度的空間存在，隻不過因為它太小，以至於我們無法察覺呢？而且盡管它很小，卻可能扮演FC重要的角色，隻是從人們習以為常的三維視野無法體認到這些罷瞭！

這個想法雖然令人難以接受，但從過去一個世紀的曆史得知，一旦離開日常經驗的領域，我們的直覺J不管用瞭。如果運動速度FC快，狹義相對論告訴我們，時間J會變慢，這可不是憑直覺可以察覺到的。另外，如果我們把一個東西弄得FCFC小，根據量子力學，我們J無法確知它的位置。如果做實驗來判定它在甲門或者乙門的後麵，我們會發現它既不在這兒也不在那兒，因此它沒有JD的位置，有時它甚至可能同時齣現在兩個地方！換言之，怪事可能發生，而且必將發生。微小、隱藏的維度可能J是怪事之一。

如果這種想法成真，那麼可能會有一種邊緣性的宇宙，一處捲摺3 在宇宙側邊之外的地域，超齣我們的感官知覺，而這會在兩方麵具有革命意義：單僅是更多維度的存在 ——這已經是科幻小說一百多年來的注冊商標 ——這件事本身J夠令人驚訝，足以列入物理學SS的Z重大發現瞭。而且這樣的發現將會是科學研究的另一起點，而非終點。這J好像站在山丘或高塔上的將軍，得益於新增加的垂直嚮度，而能把戰場上的局勢看得更清楚。D從更高維的視點觀看時，我們的 物理定律也可能變得更明晰，因而也更容易理解。

 

從蒼蠅的SJ看維度的意義

我們都很熟悉三個基本方嚮上的移動：東西、南北、上下（或者也可以說是左右、前後、上下）。不管我們去哪裏 ——不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地 ——我們的運動都是這三個D立方嚮的某種基本組閤。我們對這三個維度太過熟悉，以至於要設想另一個維度，並且指明它確切指嚮哪裏，似乎是不可能的。長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩韆多年前，亞裏士多德在《論天》（ On the Heavens）中J論稱：“可在一個方嚮上分割的量，稱為綫；如果可在兩個方嚮上分割的量，稱為麵；如果可在三個方嚮上分割的量，則稱為體。除此之外，再無其他量。因為維度隻有三個。”公元150年時，天文學傢、數學傢托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫齣四條相互垂直的直綫。他主張，D四條垂直綫“根本無法量度，也無法描述”。然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映瞭人們沒有能力看到並描繪四維空間的事實。

對數學傢而言，維度指的是一種“自由度”（degree of freedom），也J是在空間中運動的D立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以嚮任何方嚮自由移動，隻要沒有碰到障礙，它J擁有三個自由度。現在假設這隻蒼蠅降落到一個停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。D它動彈不得時，這隻蒼蠅隻有零個自由度，實質上被限製在單一點上，亦即身處於一個零維的SJ。但這小東西努力不懈，經過一番奮鬥後從柏油中掙脫齣來，隻可惜不幸翅膀受瞭點傷。不能飛翔之後，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地麵上隨意漫步。然後，我們的主角察覺到有掠食者（或許是一隻食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生銹排氣管，蒼蠅此時隻有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維，亦即綫狀的SJ。

但維度是不是J隻有那麼多？一隻蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子裏 ——這是否J囊括瞭一切可能性？亞裏士多德或托勒密應該會迴答“是”，對一隻沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對D代數學傢來說，故事並沒有J此結束，因為他們通常不認為有什麼明顯理由隻停留在三個維度。我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是麯率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到 n維來理解它（其中 n可以是FC大的數）。如果隻停留在三維，我們對這個概念的掌握J不算完整，理由是：比起隻在某些特定情境纔適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那麼它的理論威力更大，也可能更基本。

甚至即使你所要對付的問題JX於二維或三維，也可能藉由在各種維度中研究該問題而得到有利的綫索。再迴到我們那隻在三維空間裏嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方嚮移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一隻蒼蠅在同一空間裏自由移動；它同樣也有三個自由度，整個係統J突然從三維變成六維的係統，具有六個D立的移動方嚮。隨著更多的蒼蠅在空間裏穿梭，每一隻都D立飛行而不與他者相關，那麼係統的復雜度及其維度，也隨之增加。

 

窺探更高的維度

研究高維度係統的好處之一是，可以發現一些無法從簡單場景裏看齣的模式。例如在下一章，我們將討論：在一個被巨大海洋覆蓋的球形行星上，洋流不可能在任何點都朝同一個方嚮流動（例如全部從西流嚮東）。事實上一定會發生的是：一定存在著某些點，海水是靜止不動的。雖然這條規則適用於二維麯麵，但我們隻有從更高維的係統觀察，也J是考慮水分子在麯麵上所有可能運動的情況，纔能導齣這個規則。這是為何我們不斷嚮更高維度推進的原因，希望看看這樣能把我們帶到什麼方嚮並學習到什麼。

很自然的，考慮更高維度的結果之一是更大的復雜度。例如所謂“拓撲學”（Topology）是一門將物體依Z廣義的形狀加以分類的學問。根據拓撲學，一維空間隻有兩種：直綫（或兩端無端點的麯綫）和圓圈（沒有端點的封閉麯綫），此外再無其他可能性。你或許會說，綫也可以是彎彎麯麯的，或者封閉麯綫也可能是長方形的，但這些是幾何學的問題，不屬於拓撲學的範疇。說到幾何學和拓撲學的差彆，前者J像拿著放大鏡研究地球錶麵，而後者則像搭上太空船，從外太空觀察整個地球。選擇何者，要視底下的問題而定：你是堅持要知道所有細節，比方說地錶上的每一峰脊、起伏和溝壑，抑或隻要大緻的全貌（“一個巨大圓球”）便已足夠？幾何學傢所關切的通常是物體JQ的形狀和麯率，而拓撲學傢隻在乎整體形貌。J這層意義而言，拓撲學是一門整體性的學問，這和數學的其他領域恰恰形成明顯對比，因為後者的進展，通常是藉由把復雜的物件分割成較小較簡單的部分而達成。

也許你會問：這些和維度的討論有何關係？如上所述，拓撲學中隻有兩種基本的一維圖形，但直綫和歪歪扭扭的綫是“相同”的，正圓也和任何你想象得齣的“閉圈”，不論是如何彎的，多邊形、長方形，乃至於正方形都是相同的。

二維空間同樣也隻有兩種基本形態：不是球麵J是甜甜圈麵。拓撲學傢把任何沒有洞的二維麯麵都視為球麵，這包括常見的幾何形體，像立方體、角柱、角錐的錶麵，甚至形狀像西瓜的橢球麵。在此，一切的差彆J在於甜甜圈有洞，而球麵沒有洞：無論你怎樣把球麵扭麯變形（D然不包括在它中間剪洞），都不可能弄齣一個甜甜圈來，反之亦然。換句話說，如果不改變物體的拓撲形態，你J無法在它上麵産生新的洞或是撕裂它。反過來說，假如一個形體藉由擠壓或拉扯，但非撕裂（假設它是由玩具黏土做成的），變成另一個形體，拓撲學傢J把這兩個形體看成是相同的。

隻有一個洞的甜甜圈，術語稱為“環麵”（torus），但是一般甜甜圈可以有任意數目的洞。“緊緻”（compact，封閉且範圍有限）且“可賦嚮”（orientable，有內外兩麵）的二維麯麵可以依洞的數目來分類，6/7這個數目稱為“虧格”（genus）。外觀迴異的二維物體，如果虧格相同，在拓撲上被視為是相同的。

先前提到二維形體隻有球麵與洞數不同的甜甜圈麵兩大類，這隻有在可賦嚮麯麵的情況纔成立，本書所討論的通常都是可賦嚮麯麵。比方說，海灘球有兩個麵，即裏麵和外麵，輪胎的內胎也有兩個麵。然而，對於比較復雜的情況，例如單麵或“不可賦嚮”的麯麵如 “剋萊因瓶”（Klein bottle）和“莫比烏斯帶”（Mbius strip），上述說法並不成立。

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