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內容簡介

　　《重溫微積分》根據作者多年來為各種不同程度的大學生和研究生講課及討論班上報告的內容整理而成。一章對極限理論的發展作瞭曆史的迴顧。以下六章分彆討論函數、微分學、積分學、傅裏葉分析、實分析與點集拓撲學基礎以及微分流形理論。每一章都強調有關理論的基本問題、基本理論和基本方法的曆史的背景，其與物理科學的內在聯係，其現代的發展與陳述方式特彆是它與其他數學分支的關係。同時對一些數學和物理學中重要的而學生常常不瞭解的問題作瞭闡述。因此，它涉及瞭除微積分以外的許多數學分支：主要有實和復分析、微分方程、泛函分析、變分法和拓撲學的某些部分。同樣對經典物理學-牛頓力學和電磁學作瞭較深入的討論。其目的則是引導學生去重新審視和整理自己已學過的數學知識，並為學習新的數學知識——例如數學物理做準備。
　　《重溫微積分》適閤於已學過微積分的基本知識的大學生和研究生進一步自學更現代的數學之用，也可以作為討論班的材料。《重溫微積分》還適閤需要較多數學的各專業的人員以及高等學校教師參考之用。

目錄

序
第一章 變量的數學—從直觀與思辨到成熟的數學科學

第二章 函數
1 增長的數學模型：指數與對數
2 周期運動和三角函數
3 進入復域
4“ 函數 ”概念夠用瞭嗎?

第三章 微分學
1 微分學的基本思想
2 什麼是微分?
3 泰勒公式.莫爾斯引理.插值公式
4 解析函數與C函數
5 反函數定理和隱函數定理
6 變分法大意
7 不可求導的函數

第四章 積分學
1 這樣評論黎曼公正嗎?
2 勒貝格積分的初步介紹
3 勒貝格積分的初步介紹(續)
4 平方可積函數
5 高斯積分
6 分部積分法.廣義函數.索伯列夫(Sobolev)空間
7 復積分

第五章 傅裏葉級數與傅裏葉積分
1 傅裏葉級數——從什麼是譜談起
2 傅裏葉變換
3 急減函數與緩增廣義函數

第六章 再論微積分的基礎
1 實數理論
2 度量空間和賦範綫性空間
3 拓撲空間
附錄 布勞威爾不動點定理的初等證明

第七章 微分流形上的微積分
1 嚮量和張量
2 微分流形
3 多重綫性代數介紹
4 外微分形式
5 微分形式在流形上的積分
6 結束語—麥剋斯韋方程組
簡介

精彩書摘

　　讀者都讀過瞭一本通常的微積分教本，這樣就會知道這是一門很有用的科學，盡管從這類教FJ中他很少能見到新的例子。再說，一門科學是否很有用也不是隻靠幾個例子能說明的。讀者們會懂得瞭微積分中有許多解決問題的方法。如果不是遇到瞭很難的題目，或很細緻的定理，微積分不是一門很難念的課程，而應該是很生動的。但是很多讀者都對微積分的數學方法很不以為然。具體地說就是很不習慣ε-δ之類的語言，很不滿意於對許多概念的過分仔細的分析。所以，本書打算這樣開始：首先從曆史發展的軌跡說明微積分何以有這樣不“友好”的“界麵”（uasers-mfriendlly-interface）？但是本章並不是一個比較全麵的微積分學曆史的介紹，所以許多重要的人和事都沒有講。我們的目的隻在於說明何以會有ε-δ這樣令常人望而生畏的東西。說明這正已科學進步的結果，是數學科學區彆於其它科學最明顯的特點。本章結束以後，我們將再就微積分的若乾主要領域介紹這種語言與方法是如何更有效地錶述瞭微積分的主要思想，如何更有效也刻畫瞭宇宙的規律，同時在這個過程中深化瞭自己，發展瞭自己（包括自己的語言與方法）。“初等數學是常量的數學，高等數學是變量的數學”。這是老生常談瞭，而且大體也是正確的。變量的數學在刻畫自然界，乃至人類社會生活中取得瞭何等輝煌的勝利，這都是人所共知的瞭。但是什麼是變量的數學？因為將“變”的概念引入數學又引起瞭何等深刻的變化？乃至於什麼是“變”或“變量”？這些問題是值得我們去進一步思考的。我們將從曆史的發展來看一下，這些問題是如何進入數學傢的視野的。當代數學的一個最主要的起源地是希臘。希臘文明的所謂古典時期（即公元前6世紀至前3世紀），數學就已經形成瞭一個獨立的學科。在那時，數學與哲學的關係是密不可分的，希臘人對許多數學問題的處理還有濃厚的思辨色彩。然而就是這樣，關於變量和變化的數學問題已開始孕育瞭。簡略地迴溯一下這段曆史，有助於我們去體會為什麼微積分會有今天這樣的形狀，為什麼我們不得不絞盡腦汁來對付ε-δ。也會體會到，兩韆多年前提齣的問題至今仍未完全“解決”。但是，這樣做，就不得不進入哲學的領域。這是我們力不能及的。所以，我們隻能作一些淺顯的介紹，而建議有興趣的讀者去讀一些比較專門的著作。我們願嚮讀者推薦兩本書。

前言/序言

　　本書是為那些讀過一次微積分而又想多學一點數學（特彆是現代數學）的讀者寫的。寫這樣一本書的齣發點是以下三種考慮：
　　首先，微積分的“基本問題”或者說“基本矛盾”是什麼？長期以來，許多人認為是ε-δ。對此我有些懷疑。初學微積分在ε-δ問題上感到睏難。但是即令掌握瞭它，也不能說就懂得瞭微積分。再說，所謂“基本問題”或“基本矛盾”，按習慣的說法是指貫穿始終，帶動乃至決定微積分的主要內容的問題或矛盾。一門學問是否一定需要有一個或幾個主要矛盾，藉以展開這門學問，恐怕是可疑的事。可是我想，科學的目的在於探討宇宙的規律，而從古希臘以來，就認為這種規律乃是數學的規律。於是隨著人類社會的發展，科學麵臨的重大問題不斷改變，科學以及作為它的不可少部分的數學就從一個階段發展到另一個階段。例如在資本主義齣現的時代，瞭解天體運動的規律恐怕是人類麵臨的重大問題。說應用，它帶動瞭動力學、航海學……；說思想，它促成瞭一次人類的思想大解放，使哥白尼、伽利略成瞭思想解放的巨人。正是在這個背景下，齣現瞭牛頓、萊布尼茨……以及微積分。不妨說，這構成瞭一個研究宇宙規律，掌握乃至應用這些規律的一個大平颱。牛頓等人的理論，有自己的問題和對象，有自己的方法，給瞭我們一個研究和處理問題的框架。其中一個核心問題是如何處理無窮小量。因此要有ε-δ。隨著社會的發展，例如電磁現象、物質的分子構造又相繼擺到我們麵前。科學和數學又有瞭新問題和新方法。例如處理電磁理論，單隻是“無窮小量分析”（這裏藉用瞭自歐拉時代就沿用的名稱）就不夠用瞭。例如我們不得不討論嚮量、張量、外微分形式；不得不考慮坐標係（參考係）的變化；不得不研究許多本質上屬於拓撲學的問題。我想把這“一套”東西當作一個新框架來看待。這樣來寫一本書，我們就必然涉及許多物理問題。數學既不是它的“加工訂貨”的産物，也不簡單是工具或語言，而是與物理學以不同角度，用不同方法，但是又互相攜手，共同研究大自然。我想，應該使許多大學生知道這是多麼吸引人的事業。並且希望他們中間有些人能走上這條道路，這是第一點。
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評分☆☆☆☆☆

經典好書，買來收藏，好好學習

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還不錯，挺有意思的

評分☆☆☆☆☆

好書！看之前的確還要重溫微積分。

評分☆☆☆☆☆

很不錯的書籍，如果引進原版就更好瞭。

評分☆☆☆☆☆

書紙張一般般有些粗糙。我稀裏糊塗翻瞭一遍

評分☆☆☆☆☆

高教這些年就想著賺錢瞭 坑爹！

評分☆☆☆☆☆

13年2月印刷的 很薄 如同盜版 完全不能跟圖書館看到的比

評分☆☆☆☆☆

齊老師的書總是那麼經典

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13年2月印刷的 很薄 如同盜版 完全不能跟圖書館看到的比

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