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本書共分16個章節，主要對於應用中常遇到的非傳統區域進行瞭係統的論述，可為多元非傳統區域一些特殊網格上求解偏微分方程的連續譜和離散譜方法以及某些海量數據處理提供方法與工具。具體內容包括單變量正交多項式ODE定義與B-網錶示、三嚮齊次坐標下的Fourier變換與廣義三角函數變換、三角域正交多項式PDE定義與B-網錶示、四麵體與平行十二麵體上的Fourier變換、高維單純形域廣義三角函數等。該書可供各大專院校作為教材使用，也可供從事相關工作的人員作為參考用書使用。

內容簡介

非傳統區域快速變換是當前高性能計算科學研究與應用領域中最引人注目的前沿課題之一。Fourier變換，三角函數變換與正交多項式在大規模科學計算和數值分析中起著重要的作用。經典Fourier變換一般隻適用如矩形的傳統區域，本書對於應用中常遇到的非傳統區域（三角形，平行六邊形，單純形，超單純形，麯單純形等）進行瞭係統的論述，可為多元非傳統區域一些特殊網格上求解偏微分方程的連續譜和離散譜方法以及某些海量數據處理提供方法與工具。
本書可供高等院校計算科學、應用數學、計算數學以及其他有關專業作為教學參考書，也可供對高性能計算及多元數值分析有興趣的科研和工程技術人員參考。

目錄

總序
前言
第1章 單變量正交多項式ODE定義與B-網錶示
1.1 最簡單的常微分方程本徵問題
1.2 單變量單參數正交多項式
1.2.1 冪函數錶示
1.2.2 三項遞推公式
1.2.3 Gegenbauer多項式
1.3 一維有界區間上正交多項式的B-網錶示
1.3.1 單變量多項式的Bernstein基及B-B多項式
1.3.2 Chebyshev多項式的B-網錶示
1.3.3 Gegenbauer多項式的B-網錶示
1.4 單變量Jacobi正交多項式及其B-網錶示
1.4.1 雙參數常微分方程本徵問題及B-網錶示
1.4.2 經典Jacobi多項式及其B-網錶示
1.5生成雙變量正交多項式的Koomwinder方法
第2章 三嚮齊次坐標下的Fourier變換與廣義三角函數變換
2.1 平麵三嚮齊次坐標與函數錶示
2.1.1 三嚮齊次坐標的定義與性質
2.1.2 三嚮坐標下函數的周期性與對稱性
2.1.3 常用偏微分算子的三嚮坐標錶示
2.1.4 三嚮網格與差分格式
2.2 三嚮坐標下的Fourier函數係及其性質
2.2.1 二元Fourier函數係及其基本性質
2.2.2 二階與三階偏微分本徵方程
2.2.3 二元Fourier級數的逼近性質
2.3 平行六邊形離散內積與Fourier插值
2.4 三嚮坐標下廣義正弦函數與餘弦函數及其性質
2.4.1 廣義三角函數定義與正交性
2.4.2 廣義三角函數的主要性質
2.4.3 廣義餘弦函數的極值性質
2.5 二元廣義三角函數在重心坐標下的實錶示
2.5.1 三角區域廣義實正弦函數的構造與性質
2.5.2 三角區域廣義實餘弦函數的構造與性質
第3章 平行六邊形區域快速離散Fourier變換算法
3.1 平行六邊形區域快速離散Fourier變換基礎
3.1.1 平行六邊形區域離散Fourier變換
……
第4章 三角域DCT，DST及其快速算法
第5章 三角域正交多項式PDE定義與B-網錶示
第6章 廣義麯邊三角形區域族上的正交多項式
第7章 平行六邊形上的正交分解與分片多項式
第8章 四麵體域上的正交多項式與B-網錶示
第9章 麯四麵體域上的正交多項式與三層遞推公式
第10章 四麵體與平行十二麵體上的Fourier變換
第11章 非傳統區域快速Fourier變換及並行算法
第12章 多嚮Fourier積分與B-樣條的B-網錶示
第13章 高維超單純形域Fourier變換及快速變換
第14章 高維單純形域廣義三角函數
第16章 高維麯單純形域上正交多項式
參考文獻
索引

精彩書摘

　　第1章 單變量正交多項式ODE定義與B一網錶示
　　單變量正交多項式可以用多種方法定義，通常的方法有：直接定義，權函數方程，Gr鋤一Schmidt（格拉姆一史密特）正交化方法，母函數定義，遞推公式，高階導數公式（Rodrigues公式），以及二階綫性常微分本徵函數定義等（如見[13，38]）。為瞭便於以後嚮高維不規則區域過渡，我們重點采用常微分方程定義，即所謂的Stum—Liouville（施圖姆一劉維爾）方法。在多項式的錶示方麵，除瞭常用的冪函數外，本節重點采用所謂的Bernstein形式，以便所得結果以後能更自然地推廣到高維單純形區域。
　　單變量正交多項式的經典文獻可見Sze96 G[58]，近代文獻可見[13，21，35，371等。
……

前言/序言

　　自1964年中國科學技術大學應用數學係計算專業畢業以來，我先後參加過國産大型飛機708機身計算，大慶油田精細油藏模擬及國産高性能計算機測試與應用軟件研製等重大應用項目。也參與瞭“並行機與並行算法”，“大規模計算的方法和理論”與“高性能科學計算”等國傢級重點基礎研究項目。目前正在主持國傢基金委重點項目“偏微分方程數值求解中的自適應網格方法研究”，使我有機會從實際計算應用與方法研究兩方麵進行探索與思考。
　　大型科學計算問題大多要經過網格剖分，插值離散與方程組求解等步驟，分彆涉及科學計算中數值PDE，數值逼近與數值代數這三個主要環節。近年來，我主要從事大型方程組的並行數值迭代求解。我們發現，單純用傳統的基於稀疏矩陣的預條件技術很難適應實際需要。根據問題驅動，考慮到當時計算機的發展水平，如何把數值PDE，數值逼近與數值代數這科學計算的三個主要環節更有效結閤。是我長期關注的研究課題。
　　在實際計算中，經常會遇到如何選擇網格，坐標，函數及快速算法等基本問題。傳統的笛卡兒直角坐標或其他的張量積等參坐標（如極坐標、球坐標）及相應的張量積網格，可統稱為結構化網格，具有數據結構簡單、計算方便、並行可擴展好等優點，缺點是適應性差、不夠靈活、計算結果的方嚮性過強（grid‘orientation effect等。自20世紀80年代以來，國內外大力發展瞭適應性強，靈活性好的非結構化網格及軟件研製，同時也齣現瞭數據結構過於復雜、並行可擴展差、難以快速求解等新睏難。

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