適讀人群：7-14歲
張景中院士是我國著名數學傢、計算機專傢，曾任中國科普作傢協會理事長。他的不講數學理論隻講數學思想，用日常生活中的淺顯事例，嚮青少年普及數學的創作手法，是我國數學科普創作的一大飛躍。他的數學科普作品，不同於一般的科普讀物，它不是簡單的材料收集和整理，而是一個站在科學前沿的學者的真知灼見。
《數學與哲學（典藏版院士數學講座專輯）》是由張景中先生撰寫的數學科普讀物。

內容簡介

《數學與哲學（典藏版院士數學講座專輯）》是我國著名數學傢、計算機專傢張景中院士創作的科普讀物，包括數是什麼；命運決定還是意誌自由；舉例子能證明幾何定理嗎；數學與哲學隨想等十一章內容。

作者簡介

張景中，數學傢，中國科學院院士，多年從事幾何算法和定理機器證明研究，其成果曾獲國傢發明二等奬，中國科學院自然科學一等奬，國傢自然科學二等奬。
熱心數學教育，提齣教育數學的思想，並從事中學教學改革和微積分教學改革的研究。
熱愛科普事業，其所著《教育數學叢書》。曾獲中國圖書奬，《數學傢的眼光》等科普作品曾獲國傢科技進步二等奬、第六屆國傢圖書奬、“五個一”工程奬、全國科普創作一等奬。所主編的《好玩的數學》叢書獲國傢科技進步二等奬。

內頁插圖

第一章 “萬物皆數”觀點的破滅與再生
第二章哪種幾何纔是真的
第三章變量·無窮小·量的鬼魂
第四章自然數有多少
第五章羅素悖論引起的軒然大波
第六章數是什麼
第七章是真的，但又不能證明
第八章數學與結構
第九章命運決定還是意誌自由
第十章舉例子能證明幾何定理嗎
第十一章數學與哲學隨想

精彩書摘

（1）點是沒有部分的那種東西；
（2）綫是沒有寬度的長度；
（4）直綫是同其上各點看齊的綫；
（14）圖形是被一些邊界所包含的那種東西。
除瞭定義之外，歐幾裏得還選擇瞭一些不加證明而承認下來的命題作為基本命題。他把這些基本命題叫公理或公設。公理是許多學科都用到的量的關係，如“與同一物相等的一些物，它們彼此相等”，“全量大於部分”，等等。而公設則是專門為瞭幾何對象而提齣的。他有五條公理和五條公設。這些公設是：
（1）從一點到另一點可作一條直綫；
（2）直綫可以無限延長；
（3）已知一點和一距離，可以該點為中心，以該距離為半徑作一圓；
（4）所有的直角彼此相等；
（5）若一直綫與其他兩直綫相交，以緻該直綫一側的兩內角之和小於兩直角，則那兩直綫延伸足夠長後必相交於該側。
這裏應當說明一下，按現代數學的觀點，公理與公設是一迴事，沒有必要加以區分。
歐幾裏得從公理、公設和定義齣發，導齣瞭數百條幾何定理。這一傑作展示瞭邏輯的力量，顯示齣人類理性的創造能力。
不過，到19世紀，數學傢們的嚴格性標準大大提高之後，發現《幾何原本》並非像原來人們所認為的那樣完美無瑕，它有兩方麵的邏輯漏洞：一方麵，他的證明中用到瞭公理、公設和定義沒有包括的一些命題。這些命題要補充到公理當中去。
另一方麵，他的定義有問題。為瞭定義點，他用到瞭“部分”這個術語；為瞭定義綫，他用到瞭“寬度”與“長度”：為瞭定義直綫，他用到瞭“看齊”；為瞭定義圖形，他又用到“邊界”。這樣用不加定義的術語來說明要定義的術語，結果等於沒有定義。這樣的定義是不能在推理中使用的，因為在邏輯上我們不知道如何使用“部分”、“長度”、“寬度”、“看齊”這些術語。
這些漏洞已經被19世紀的數學傢們補上瞭。這裏暫不敘述補漏洞的詳情。我們轉嚮一些哲學傢關心的事。
歐幾裏得的幾何定理是真理嗎
歐幾裏得的。《幾何原本》嚮哲學傢們建議瞭一種認識真理的方法：從少數幾條明白清楚的前提齣發，用邏輯工具證明你的結論。如果前提是真理，則結論也是真理。這一思想對哲學傢們産生瞭重大影響。後來的許多哲學傢，特彆是唯理論派哲學傢，都力圖用歐幾裏得的方式寫齣自己的著作，闡述自己的學說與觀點。
但是，一個更基本的問題齣現瞭。怎麼知道歐幾裏得的公設是真的呢？
兩韆多年中，哲學傢們幾乎一緻認為，歐幾裏得的公設就是真理，是可以明確知道的東西。而且，多數哲學傢認為這些公設既不是來自經驗，也不是來自邏輯分析，而是來自人類理性的先天洞察能力。
確實，柏拉圖早就宣稱，我們用理性的眼睛看到“形式”的永恒王國；
康德認為，人類在認知幾何學時是在把握自己感觀的先天結構。就連一些唯物主義的哲學傢，在涉及幾何學時，也不否認歐幾裏得幾何的真理性。
那麼，說這些公設是真的，是什麼意思呢？比方說，說“兩點可以確定一直綫”，這裏直綫是什麼意思呢？如果“直”綫的意思不清楚，說“兩點可以確定一直綫”是“真”的又有什麼意義呢？
哲學傢們當然認為，“直”就是人們通常理解的直。
什麼又是通常理解的直呢？我們有好幾種標準：
（1）木工檢驗一條綫直不直，是沿著它看。看，當然依賴於光。這就是說：光走的是直綫。
（2）建築工人確定地基時要拉綫。這是認為，拉緊瞭的綫是直的。
（3）直綫是兩點間最短的路綫，是唯一的。
（4）過綫的一端以另一端為心畫圓。如果綫是直的，圓周長應當是綫長的2π倍。
還可以找到彆的標準。
如果這些標準互相間矛盾瞭怎麼辦？大傢認為，它們不會矛盾。確實，經驗告訴人們這幾條標準是一緻的。於是，人們沒有理由懷疑歐幾裏得幾何的真理性。歐幾裏得幾何被當做人類可以認識絕對真理的範例。至於邏輯漏洞，那是技術上的細節，補上就好瞭。
非歐幾何的發現既然把歐幾裏得的公設看成是人類理性可以洞察的自明之理，數學傢自然按照這個標準來要求它。這麼一要求，就發現第五公設敘述起來那麼復雜，理解起來並不見得容易，很不像一條自明之理。
能不能把第五公設作為公設（即公理）的資格取消呢？這個誘人的思想吸引瞭歐幾裏得以後的許多數學傢。要把它從公設的行列中趕齣去，就隻有用彆的公設來證明它，使它成為一條定理。但是，企圖證明第五公設的努力在兩韆多年中無一例外地都失敗瞭。每一個被提齣的證明不是在邏輯上犯瞭錯誤，就是間接引進瞭另一條不加證明就承認瞭的命題。
對第五公設的研究，使人們的幾何知識更豐富瞭。大傢弄清楚瞭可以用另一些命題代替第五公設，而不改變歐幾裏得幾何的內容。這些可以代替第五公設的命題有：“過直綫外一點能且僅能作一條平行綫”，“三角形內角和等於兩直角”，“過不在一直綫的三點有且僅有一個圓”，“存在麵積足夠大的三角形”。但是如不引進一條彆的命題，就是證明不瞭第五公設。
……

前言/序言

由於具體的數學問題多如繁星，數學傢往往整天埋頭於解決數學問題，無暇關注數學發展中齣現的“矛盾”。但數學史告訴我們，恰好是“矛盾”的一次次解決，纔導緻數學發展的飛躍與深化。張景中的《數學與哲學》就是對數學發展中這些重大的曆史事件，用通俗的講法嚮大眾展示當時的爭論內容與形勢，及以後的解決辦法和數學的飛躍發展。是一本可讀性很高、可以雅俗共賞的書，各種程度的人都可以從該書中受到啓發與益處，也包括數學專業研究人員在內，因為這些人不一定很熟悉曆史上的一些數學爭議。
例如，關於數，是否僅有自然數及由它産生的有理數就夠瞭。那麼√2是什麼？這就導緻無理數的産生。在歐氏幾何中，不少人企圖給齣第五公設的證明，但都失敗瞭，這導緻非歐幾何的産生；無窮小量的應用與定義，導緻嚴格實數極限理論的建立、無窮集閤的比較、集閤定義的確定及哥德爾定理；等等。每經過這些重大的曆史事件，數學思想都得到飛躍，從而使數學得到質的發展與飛躍。
本書對這一係列重大事件作瞭通俗具體的解釋，看瞭覺得很有趣味。一般說來，具備數學程度的人，就可以瞭解其大意。但本書又不是完全沒有實質性敘述的誇誇其談的工作，使讀者不知所雲。作品雖然是通俗講法，但並不失去嚴謹性，這恰好是科普著作必須把握而容易忽略的要害之處。作者是花瞭不少功夫的，所以本書在把握通俗與嚴謹兩個方麵都做得比較好。
（著名數學傢中科院院士王元）
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