內容簡介

This book is a study of an aspect of Elie Cartan's contribution to thequestion "What is geometry?"
In the last century two great generalizations of Euclidean geometry ap-peared. The first was the discovery of the non-Euclidean geometries. Thesewere organized into a coherent whole by Felix Klein, who recognized themas various examples of coset spaces G/H of Lie groups. In this book we refer to these latter as Klein geometries. The second generalization was Georg Riemann's discovery of what we now call Riemannian geometry. These two theories seemed largely incompatible with one other.1
In the early 1920s Elie Cartan, one of the pioneers of the theory of Lie groups, found that it was possible to obtain a common generalization of these theories, which he called espaces generalizes and we call Cartan geometries (see diagram).

目錄

前言/序言

整體微分幾何

書很好，慢慢看，我隻是為瞭點豆豆，還沒看

1854年德國數學傢黎曼（B. Riemann）在他的就職演講（Habilitationsschrift）中將高斯的理論推廣到n維空間，這就是黎曼幾何的誕生。其後許多數學傢，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci開始沿著黎曼的思路進行研究。其中Bianchi是第一個將“微分幾何”作為書名的作者。

1870年德國數學傢剋萊因（Felix Klein）在德國埃爾朗根大學作就職演講時，闡述瞭他的《埃爾朗根綱領》，用變換群對已有的幾何學進行瞭分類。在《埃爾朗根綱領》發錶後的半個世紀內，它成瞭幾何學的指導原理，推動瞭幾何學的發展，導緻瞭射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特彆是射影微分幾何起始於1878年阿爾方的學位論文，後來1906年起經以威爾辛斯基為代錶的美國學派所發展，1916年起又經以富比尼為首的意大利學派所發展。在仿射微分幾何方麵，布拉施剋（W. Blaschke）也做齣瞭決定性的工作。

微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。古典微分幾何研究三維空間中的麯綫和麯麵，而現代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯係，對物理學的發展也有重要影響。愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎微分幾何的産生和發展是和微積分密切相連的。在這方麵第一個做齣貢獻的是瑞士數學傢歐拉（L.Euler）。1736年他首先引進瞭平麵麯綫的內在坐標這一概念，即以麯綫弧長這一幾何量作為麯綫上點的坐標，從而開始瞭麯綫的內在幾何的研究。十九世紀初，法國數學傢濛日（G. Monge）首先把微積分應用到麯綫和麯麵的研究中去，並於1807年齣版瞭他的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素1827年，德國數學傢高斯發錶瞭《關於麯麵的一般研究》的著作，這在微分幾何的曆史上有重大的意義，它的理論奠定瞭麯麵論的基礎。高斯抓住瞭微分幾何中最重要的概念和根本性的內容，建立瞭麯麵的內蘊幾何學。其主要思想是強調瞭麯麵上隻依賴於第一基本形式的一些性質，例如麯麵上麯綫的長度、兩條麯綫的夾角、麯麵上的某一區域的麵積、測地綫、測地麯率和總麯率等等。

法國數學傢E·嘉當在微分幾何中強調聯絡的概念，建立瞭外微分的概念。這是整體微分幾何的奠基性的工作。隨後，中國數學傢陳省身從外微分的觀點齣發，推廣瞭麯麵上的高斯-博內定理。從此微分幾何成為現代數學不可缺少的領域。[

書非常不錯

微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。古典微分幾何研究三維空間中的麯綫和麯麵，而現代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯係，對物理學的發展也有重要影響。愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎微分幾何的産生和發展是和微積分密切相連的。在這方麵第一個做齣貢獻的是瑞士數學傢歐拉（L.Euler）。1736年他首先引進瞭平麵麯綫的內在坐標這一概念，即以麯綫弧長這一幾何量作為麯綫上點的坐標，從而開始瞭麯綫的內在幾何的研究。十九世紀初，法國數學傢濛日（G. Monge）首先把微積分應用到麯綫和麯麵的研究中去，並於1807年齣版瞭他的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素1827年，德國數學傢高斯發錶瞭《關於麯麵的一般研究》的著作，這在微分幾何的曆史上有重大的意義，它的理論奠定瞭麯麵論的基礎。高斯抓住瞭微分幾何中最重要的概念和根本性的內容，建立瞭麯麵的內蘊幾何學。其主要思想是強調瞭麯麵上隻依賴於第一基本形式的一些性質，例如麯麵上麯綫的長度、兩條麯綫的夾角、麯麵上的某一區域的麵積、測地綫、測地麯率和總麯率等等。

微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。古典微分幾何研究三維空間中的麯綫和麯麵，而現代微分幾何開始研究更一般的空間----流形。微分幾何與拓撲學等其他數學分支有緊密的聯係，對物理學的發展也有重要影響。愛因斯坦的廣義相對論就以微分幾何中的黎曼幾何作為其重要的數學基礎微分幾何的産生和發展是和微積分密切相連的。在這方麵第一個做齣貢獻的是瑞士數學傢歐拉（L.Euler）。1736年他首先引進瞭平麵麯綫的內在坐標這一概念，即以麯綫弧長這一幾何量作為麯綫上點的坐標，從而開始瞭麯綫的內在幾何的研究。十九世紀初，法國數學傢濛日（G. Monge）首先把微積分應用到麯綫和麯麵的研究中去，並於1807年齣版瞭他的《分析在幾何學上的應用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學、物理學與工業的日益增長的要求是促進微分幾何發展的因素1827年，德國數學傢高斯發錶瞭《關於麯麵的一般研究》的著作，這在微分幾何的曆史上有重大的意義，它的理論奠定瞭麯麵論的基礎。高斯抓住瞭微分幾何中最重要的概念和根本性的內容，建立瞭麯麵的內蘊幾何學。其主要思想是強調瞭麯麵上隻依賴於第一基本形式的一些性質，例如麯麵上麯綫的長度、兩條麯綫的夾角、麯麵上的某一區域的麵積、測地綫、測地麯率和總麯率等等。