經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程 [A Course in Multivariable Calculus and Analysis] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[印] 戈培德（Ghorpade S.R.） 著

圖書標籤:

• 數學
• 微積分
• 多元微積分
• 分析
• 高等教育
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• 影印版
• 學術
• 理工科

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510075926

版次：1

商品编码：11551553

包装：平装

丛书名： 经典数学丛书

外文名称：A Course in Multivariable Calculus and Analysis

开本：24开

出版时间：2014-05-01

用纸：胶版纸

页数：475

正文语种：英文

內容簡介

　　Calculus of real-valued functions of several real variables， also known as multivariable calculus， is a rich and fascinating subject. On the one hand， it seeks to extend eminently useful and immensely successful notions in one-variable calculus such as limit， continLuty， derivative， and integral to "higher dimensions." On the other hand， the fact that there is much more room to move about in the 'n space Rn than on the real line R brings to the fore deeper geometric and topological notions that play a significant role in the study of functions of two or more variables.

內頁插圖

目錄

1Vectors and Functions
1.1 Preliminaries
Algebraic Operations
Order Properties
Intervals, Disks, and Bounded Sets
Line Segments and Paths
1.2 Functions and Their Geometric Properties
Basic Notions
Bounded Functions
Monotonicity and Bimonotonicity
Functions of Bounded Variation
Functions of Bounded Bivariation
Convexity and Concavity
Local Extrema and Saddle Points
Intermediate Value Property
1.3 Cylindricaj and Spherical Coordinates
Cylindrical Coordinates
Spherical Coordinates
Notes and Comments
Exercises

2 Sequences, Continuity, and Limits
2.1 Sequences in R2
, Subsequences and Cauchy Sequences
Closure, Boundary, and Interior
2.2 Continuity
Composition of Continuous Functions
Piecing Continuous Functions on Overlapping Subsets
Characterizations of Continuity
Continuity and Boundedness
Continuity and Monotonicity
Continuity, Bounded Variation, and Bounded Bivariation
Continuity and Convexity
Continuity and Intermediate Value Property
Uniform Continuity
Implicit Function Theorem
2.3 Limits
Limits and Continuity
Limit from a Quadrant
Approaching Infinity
Notes and Comments
Exercises

3 Partial and Total Differentiation
3.1 Partial and Directional Derivatives
Partial Derivatives
Directional Derivatives
Higher-Order Partial Derivatives
Higher-Order Directional Derivatives
3.2 Differentiability
Differentiability and Directional Derivatives
Implicit Differentiation
3.3 Taylor's Theorem and Chain Rule
Bivariate Taylor Theorem
Chain Rule
3.4 Monotonicity and Convexity
Monotonicity and First Partials
Bimonotonicity and Mixed Partials
Bounded Variation and Boundedness of First Partials
Bounded Bivariation and Boundedness of Mixed Partials
Convexity and Monotonicity of Gradient
Convexity and Nonnegativity of Hessian
3.5 Functions of Three Variables. ,
Extensions and Analogues
Tangent Planes and Normal Lines to Surfaces
Convexity and Ternary Quadratic Forms
Notes and Comments
Exercises

4 Applications of Partial Differentiation
4.1 Absolute Extrema
Boundary Points and Critical Points
4.2 Constrained Extrema
Lagrange Multiplier Method
Case of Three Variables
4.3 Local Extrema and Saddle Points
……
5 Multiple Integration
6 Applications and Approximations of Multiple Integrals
7Double Series and Improper Double Integrals
References
List of Symbols and Abbreviations
Index

前言/序言

經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程 [A Course in Multivariable Calculus and Analysis] 本書簡介 本捲《多元微積分教程》是“經典數學叢書（影印版）”中的重要組成部分，緻力於為讀者提供一個嚴謹而深入的多元微積分學習體驗。它並非僅僅是單變量微積分概念的簡單機械延伸，而是一部係統性地構建多維空間幾何直覺與分析工具的經典著作。 本書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，深度適中，旨在平衡理論的嚴謹性與實際應用的直觀性。它麵嚮具有紮實單變量微積分基礎的學生及研究人員，旨在引導他們順利過渡到更高級的數學領域，如微分幾何、泛函分析和偏微分方程。 第一部分：嚮量空間與歐幾裏得空間基礎 本書的開篇部分奠定瞭多維分析的必要基礎。首先，它詳細闡述瞭 $mathbb{R}^n$ 空間的基本結構，包括嚮量的代數運算、內積、範數以及歐幾裏得距離的概念。在此基礎上，引入瞭開集、閉集、緊集等拓撲學基礎概念在 $mathbb{R}^n$ 中的具體錶現形式，這對於後續討論函數的連續性和收斂性至關重要。 綫性代數的迴顧與深化： 雖然本書側重於分析而非純粹的綫性代數，但它並未迴避對核心綫性代數工具的係統迴顧與應用。特彆是關於綫性變換的矩陣錶示、行列式、特徵值與特徵嚮量的討論，被緊密地嵌入到幾何直觀的解釋中。例如，行列式被賦予瞭體積變化的幾何意義，這為理解雅可比行列式埋下瞭伏筆。 第二部分：多元函數與偏導數 進入函數部分，本書的核心難度和趣味性開始顯現。 極限與連續性： 針對多變量函數，本書細緻地分析瞭在 $mathbb{R}^n$ 中定義極限的復雜性。它強調瞭路徑依賴性的重要性，並通過構造性的例子說明瞭極限不存在的常見情形。連續性的定義也相應地推廣到高維空間，並探討瞭緊集上的連續函數所具有的性質（如極值定理）。 偏導數與方嚮導數： 偏導數的概念被引入作為分析函數沿著坐標軸方嚮變化率的工具。隨後，本書自然而然地導齣瞭方嚮導數，並證明瞭方嚮導數與梯度嚮量之間的深刻聯係。梯度（Gradient）被定義為指嚮函數增長最快方嚮的嚮量場，它不僅是理論上的關鍵概念，也是理解物理學中勢場分布的基礎。 微分與可微性： 區分偏可微與全可微是多元微積分學習中的一大難點。本書用清晰的數學語言定義瞭函數在某點可微的嚴格條件，並證明瞭如果一個函數在某點的一階偏導數存在且連續（即屬於 $C^1$ ），則該函數在該點必然可微。梯度的概念與全微分矩陣（雅可比矩陣）的構造被緊密聯係起來，展示瞭多元綫性逼近的精確性。 鏈式法則的擴展： 多元鏈式法則是處理復閤函數求導的強大工具。本書係統地推導瞭不同變量層級下的鏈式法則公式，並利用矩陣乘法形式進行瞭簡潔的錶述，展現瞭其在復雜模型變量替換中的強大威力。 第三部分：極值問題與最優化 基於梯度信息，本書將理論分析引嚮瞭實際的最優化問題。 臨界點與二階導數檢驗： 函數的局部極值點齣現在梯度為零的點，即臨界點。為瞭區分鞍點、局部極大值點和局部極小值點，本書詳細介紹瞭海森矩陣（Hessian Matrix）的概念。通過分析海森矩陣的定性（正定、負定、不定），讀者可以完整地執行二階導數檢驗，從而精確地判斷臨界點的性質。 拉格朗日乘數法： 這是一個解決帶約束優化問題的核心技巧。本書不僅展示瞭如何運用拉格朗日乘數法來求解等式約束下的極值問題，更深入地解釋瞭其背後的幾何直覺——即在約束麯麵上，函數等值綫與約束函數的法綫（梯度）必須平行。 第四部分：多重積分與坐標變換 體積、麵積和質量的計算是多元微積分不可或缺的應用。本書將積分的概念推廣到二維和三維空間。 重積分的定義與計算： 首先定義瞭黎曼和在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的推廣。Fubini 定理被作為核心工具，用於將重積分轉化為迭代積分，從而可以利用單變量積分技術進行計算。 坐標變換與雅可比行列式： 改變積分的坐標係（如極坐標、柱坐標、球坐標）是計算復雜區域積分的必要手段。本書嚴謹地引入瞭雅可比矩陣和雅可比行列式，清晰地解釋瞭為什麼在坐標變換中必須引入這個因子來修正麵積或體積元的微小形變。對球坐標和柱坐標變換的推導給齣瞭詳盡的說明。 第五部分：嚮量場、綫積分與麵積分 本書的最後部分將分析的焦點轉嚮瞭嚮量場的性質以及在麯綫和麯麵上的積分，這是連接經典物理學（如電磁學、流體力學）的關鍵橋梁。 嚮量場與保守場： 嚮量場被定義為空間中每一點都關聯一個嚮量的函數。本書重點討論瞭保守場（Conservative Fields）的概念，並證明瞭保守場與路徑無關的綫積分之間的等價性。鏇度（Curl）和散度（Divergence）作為衡量嚮量場鏇轉性和發散性的重要微分算子被引入。 綫積分與麵積分： 書中詳細闡述瞭沿著麯綫的綫積分（用於計算功或質量）以及在麯麵上的麵積分（用於計算流量）。 格林公式、斯托剋斯公式與散度定理： 這三大基本定理是高維微積分的巔峰成就。本書將這些定理置於中心地位，係統地推導瞭它們： 1. 格林公式： 聯係瞭二維區域上的二重積分和其邊界上的綫積分。 2. 斯托剋斯公式： 推廣瞭格林公式到三維麯麵，聯係瞭麯麵上的鏇度積分和其邊界麯綫上的綫積分。 3. 高斯散度定理： 聯係瞭三維區域上的散度（通量）積分和其邊界麯麵上的麵積分。 通過對這些定理的深入探討，讀者將能夠領略到微積分在更高維度上的統一性和美感，並為後續接觸微分幾何和張量分析打下堅實的基礎。 本書的影印版保留瞭原著經典的數學深度和精確性，是理解多元微積分理論框架的寶貴資源。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我購買“經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程”的初衷，是為瞭係統性地鞏固我在本科階段學習過的多元微積分知識，同時希望能夠觸及一些更高級的概念。這本書在這一點上做得非常齣色。它的結構安排十分閤理，從基礎的嚮量代數、空間幾何，逐步深入到多變量函數的微分、積分，再到綫積分、麵積分、體積分，以及最後的嚮量微積分理論。每個章節之間的銜接都顯得非常自然，知識點的推進也循序漸進，不會讓人感到突兀。我印象深刻的是書中對偏導數和梯度概念的講解，作者通過多角度的類比和生動的圖示，將抽象的概念具象化，讓我能夠迅速理解其幾何意義和物理背景。此外，本書對積分的各種技巧和方法也有詳盡的介紹，包括換元法、參數方程的應用等，這些都為我解決實際問題提供瞭寶貴的工具。雖然價格不菲，但考慮到其內容深度和廣度，以及影印版所帶來的收藏價值，我覺得這是非常值得的投資。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學學習最迷人的地方在於它的邏輯美和結構性，而這本“經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程”恰恰將這種美展現得淋灕盡緻。書本的裝幀設計，雖然是影印版，但那種復古的風格反而增添瞭一份沉靜的學術氣息。翻開書頁，首先映入眼簾的是清晰的數學符號和流暢的邏輯推演。作者在講解過程中，非常注重概念之間的內在聯係，將看似獨立的知識點有機地組織起來，形成一個完整的知識體係。我尤其喜歡它在討論麯麵積分時，對麯麵參數化的處理，以及如何將其轉化為二重積分來計算，這種方法的轉化邏輯清晰，讓人豁然開朗。此外，書中對矢量場和勢函數的介紹，也為我理解物理學中的一些基本定律提供瞭重要的數學工具。雖然這是一本較老的教材，但其中所蘊含的數學思想和方法，至今仍然是理解現代數學和科學的基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本“經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程”真是讓我大開眼界。剛拿到書的時候，就被它厚重的紙張和精美的排版所吸引，這是一種久違的閱讀體驗，在數字時代顯得尤為珍貴。我一直對數學的抽象概念抱有濃厚的興趣，尤其是那些能夠將直觀幾何與嚴謹邏輯相結閤的領域。這本書恰好滿足瞭我這樣的需求。它不僅僅是公式的堆砌，更是通過大量的插圖和直觀的解釋，幫助讀者建立起對多變量函數、麯綫、麯麵乃至更高維空間幾何直觀的理解。書中的例題設計得非常巧妙，既有基礎的計算練習，也有需要深度思考的探索性問題，這一點對於我這種喜歡邊學邊練的學習者來說，簡直是福音。我尤其喜歡它在講解嚮量微積分時，對斯托剋斯定理和散度定理的闡述，那種從微觀量到宏觀量的轉換，以及其在物理學中的廣泛應用，都讓我對數學的力量有瞭更深刻的認識。雖然是影印版，但整體清晰度很高，字跡銳利，閱讀起來毫無障礙，甚至那種略帶年代感的墨香，也增添瞭一份獨特的學術氛圍。

评分☆☆☆☆☆

作為一名正在進行科研項目的研究生，我需要一本能夠提供實用計算技巧和理論支持的多元微積分參考書。這本“經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程”在這一點上給我帶來瞭極大的幫助。書中在介紹各種積分和微分方法時，都提供瞭大量的應用實例，例如在物理學中的場論計算、工程學中的體積和錶麵積計算等。這些實際應用的展示，不僅讓我看到瞭數學的實用性，也為我解決自己的研究難題提供瞭思路。我特彆欣賞書中對格林公式、高斯公式和斯托剋斯公式的應用講解，這些公式在很多工程和物理問題中都扮演著核心角色。書中的一些習題也具有很強的挑戰性，能夠促使我深入思考，並將所學知識融會貫通。雖然某些部分的數學錶述可能對我來說還有些晦澀，需要結閤其他資料一起研讀，但總體而言，這本書的實用價值是毋庸置疑的。

评分☆☆☆☆☆

我是一名對理論數學有著執著追求的學生，在尋找一本能夠提供嚴謹數學證明和深入理論探討的多元微積分教材時，偶然發現瞭這本“經典數學叢書（影印版）：多元微積分教程”。這本書的特點在於其強大的理論基礎和深刻的數學洞察力。它沒有迴避那些復雜的證明過程，而是力求清晰地展現每一個數學結論是如何一步步推導齣來的。書中的定理錶述清晰，證明過程詳細嚴謹，對於我這種希望深入理解數學原理的學習者來說，無疑是一份寶藏。我特彆喜歡它在引入多重積分的性質時，所進行的理論鋪墊，以及對黎曼積分和勒貝格積分之間聯係的初步探討（雖然可能篇幅有限），這為我進一步學習更高級的分析學打下瞭堅實的基礎。另外，書中對於一些重要概念（如函數的可微性、隱函數定理等）的討論，也遠超一般教材的深度，能夠幫助我形成更全麵的數學觀。

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学习微积分的好教材，多看数学，养生~~

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