21世紀復旦大學研究生教學用書：代數麯綫 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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楊勁根 著

圖書標籤:

• 代數麯綫
• 復旦大學
• 研究生教材
• 21世紀
• 高等數學
• 代數幾何
• 教學用書
• 數學
• 學術
• 教材

出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309109917

版次：1

商品编码：11578918

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-10-01

用纸：胶版纸

页数：184

字数：202000

正文语种：中文

內容簡介

本書由作者在復旦大學數學研究所開設的碩士研究生學位課程“代數麯綫”的講稿整理而成.全書共分7章，內容包括：緊Riemann麵、代數簇、一維代數函數域、Riemann-Roch定理、平麵代數麯綫、橢圓麯綫、麯綫的典範映射等.
本書適閤基礎數學專業低年級研究生使用.

目錄

目錄

第1章 緊Riemann麵
1.1緊Riemann麵的定義和初步性質
1.2緊Riemann麵上的亞純函數
1.2.1預備知識
1.2.2緊Riemann麵上的微分形式
1.2.3定理1.2.1的證明

第2章 代數簇
2.1幾個代數定理
2.2仿射空間中的代數集
2.3射影空間中的代數集
2.4準代數簇
2.5準代數簇的局部環和函數域
2.6代數簇的積
2.7準代數簇的維數理論
2.8射影簇的Hilbert多項式
2.9有理映射
2.10代數簇的光滑性

第3章 一維代數函數域
3.1有限可分擴張的範和跡
3.2域的超越擴張
3.3離散賦值環和Dedekind整區
3.4射影麯綫與一維代數函數域
3.5麯綫的正規化
3.6緊Riemann麵的亞純函數域

第4章 Riemann�睷och定理
4.1除子
4.2adéle
4.3典範除子
4.4形式Laurent級數
4.5微分形式和留數
4.6緊Riemann麵的虧格
4.7Hurwitz公式
4.8有理麯綫

第5章 平麵代數麯綫
5.1Bézout定理
5.2平麵代數麯綫的奇點
5.3平麵代數麯綫的虧格

第6章 橢圓麯綫
6.1麯綫的二重覆蓋
6.2橢圓麯綫的j-不變量
6.3橢圓麯綫上的群結構
6.4橢圓函數理論
6.5模形式與橢圓麯綫

第7章 麯綫的典範映射
7.1麯綫的射影映射
7.2射影麯綫的次數
7.3典範綫性係

參考文獻

索引

前言/序言

代數麯綫：穿越幾何與抽象的橋梁 代數麯綫，一個既古老又充滿現代活力的數學分支，在21世紀依然展現齣蓬勃的生命力。它如同一座精巧的橋梁，連接著代數運算的抽象世界與幾何圖形的直觀美感，深刻地影響著數學的各個領域，並滲透到物理學、計算機科學、密碼學等眾多應用科學之中。本書旨在為讀者構建一座理解代數麯綫的堅實階梯，從基礎概念齣發，逐步深入其精妙的理論體係。 從幾何直感到代數刻畫：初識代數麯綫 故事的起點，往往是我們最熟悉的幾何圖形。直綫、圓、拋物綫、橢圓……這些我們從小就認識的麯綫，其根本性質可以用代數方程來描述。一個點的坐標 $(x, y)$ 要麼滿足某個方程，要麼不滿足。當所有滿足某個方程 $F(x, y) = 0$ 的點構成的集閤在幾何上呈現齣“麯綫”的形態時，我們便稱之為代數麯綫。 本書將首先帶領讀者迴顧這些基礎概念，並引入代數幾何的核心工具——多項式環。我們將學習如何通過多項式方程來精確地定義和刻畫代數麯綫。例如，平麵上的圓 $x^2 + y^2 - r^2 = 0$ 便是由一個簡單的二次多項式定義的。然而，代數麯綫的世界遠不止於此。我們將探索更一般的情況：在什麼條件下，一個多項式方程能真正定義齣一個“連貫”的幾何對象？這就是“簇”或“簇”的概念，而代數麯綫是二維的簇。 超越平麵：射影代數麯綫與見的無限 平麵上的代數麯綫雖然直觀，卻存在一些不便之處，例如平行綫永遠不會相交。為瞭剋服這些限製，代數幾何引入瞭“射影空間”的概念。在射影平麵中，我們賦予點以齊次坐標，並研究齊次多項式方程。齊次方程的優勢在於，它能很好地處理“無窮遠點”和“無窮遠綫”，使得許多幾何性質變得更加統一和簡潔。 本書將詳細介紹射影平麵以及射影代數麯綫的理論。我們將看到，在射影平麵下，任何兩條非奇異的代數麯綫（不包含奇點的麯綫）都必定相交，而且相交的次數滿足著名的貝祖定理。這是一個多麼深刻而優美的結論！它揭示瞭代數麯綫之間深刻的內在聯係。學習射影代數麯綫，我們將學會如何“看”見那些隱藏在平麵幾何中的“無窮遠”特徵，從而獲得更全麵的理解。 點、綫、麯綫的抽象聯係：代數簇理論 代數幾何的核心在於研究代數簇，而代數麯綫正是代數簇中最基礎也最重要的一類。代數簇是由多項式方程組定義的幾何對象。我們將深入探討代數簇的定義、性質以及它們之間的關係。 學習代數簇理論，我們將接觸到諸如理想（ideal）與根理想（radical ideal）、多項式環的商環（quotient ring）等抽象代數工具。代數幾何的精髓在於，通過研究多項式環的代數性質（如其理想的結構），來反過來理解代數簇的幾何性質。這種“代數-幾何對偶性”是代數幾何的靈魂所在。 本書將詳述如何從代數方程組齣發，構造齣相應的代數簇。同時，我們也會研究代數簇的“點”的集閤，以及它們所處的“環”，例如坐標環（coordinate ring）。通過分析這些代數對象，我們能夠洞察代數簇的連通性、維度、奇點等關鍵幾何特徵。 麯綫的內部結構：麯麵與低維簇 代數麯綫雖然是二維的幾何對象，但其研究對象本身可以看作是更高級的代數簇。例如，我們可以在三維空間中研究由兩個二次麯麵交綫構成的代數麯綫。本書將適時地引入麯麵（surfaces）的概念，並探討麯綫在更高維空間中的錶現。 對於代數麯綫的研究，一個重要的方嚮是理解其“內在幾何”——即使將麯綫嵌入到某個空間中，它本身也具有一定的內在結構。例如，如果我們將一個光滑的代數麯綫看作是一個二維的“流形”，那麼我們就可以討論它的一些拓撲性質。 麯綫上點集的研究：函數域與點群 代數麯綫不僅僅是一堆點的集閤，它還蘊含著豐富的代數結構。對於一個代數麯綫 $C$，我們也可以定義一個與之相對應的“函數域” $K(C)$。這個函數域由麯綫上的“有理函數”構成，這些有理函數可以看作是在麯綫上取值的“函數”。函數域的研究為我們提供瞭一個全新的視角來理解代數麯綫。 當麯綫上有特殊的點集時，例如由某些方程決定的點集，我們也會深入研究。其中一個重要而迷人的領域是“橢圓麯綫”上的點群。橢圓麯綫是形如 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的代數麯綫，其上的有理點構成一個有限生成阿貝爾群。這個理論在現代數論和密碼學中扮演著至關重要的角色。本書將引導讀者初步接觸這些令人興奮的前沿課題。 麯綫的“形狀”與“性質”：不變量與模空間 代數麯綫並非一成不變，它們可以發生形變。研究代數麯綫的“不變量”至關重要。不變量是指那些在某些變換下保持不變的量，它們能夠刻畫代數麯綫的內在性質。例如，虧格（genus）就是一個重要的不變量，它深刻地決定瞭代數麯綫的拓撲結構和代數性質。 進一步，我們還會觸及“模空間”（moduli space）的概念。模空間是一個幾何對象，它“空間化”瞭某一類代數麯綫。我們可以將具有相似性質的代數麯綫“聚集”在一個點上，而模空間則記錄瞭所有這些“相似性”的結構。研究模空間，能夠幫助我們理解代數麯綫的整體分類和結構。 代數麯綫的現代應用 代數麯綫理論並非純粹的抽象數學，它在眾多應用領域展現齣強大的生命力。 密碼學： 橢圓麯綫密碼學（ECC）利用橢圓麯綫上的離散對數問題來構建高效安全的加密係統。相比於傳統的RSA算法，ECC所需的密鑰長度更短，安全性卻更高，因此在現代網絡通信和數字簽名中得到瞭廣泛應用。 編碼理論： 代數幾何碼（AG碼）是基於代數麯綫構造的糾錯碼。這類碼具有非常好的糾錯性能，是現代通信和數據存儲技術的重要組成部分。 計算幾何： 代數麯綫的幾何性質在計算機圖形學、機器人路徑規劃、CAD/CAM等領域有直接的應用。例如，用樣條麯綫（spline）來描述自由形態的麯麵，其背後就蘊含著代數麯綫的理論。 物理學： 代數麯綫也齣現在弦理論、量子場論等物理學分支中，它們作為描述物理係統的數學模型，為解決復雜的物理問題提供瞭強大的工具。 學習路徑與方法 本書的設計，遵循循序漸進的原則。我們將從最直觀的平麵代數麯綫齣發，逐步引入射影幾何、代數簇理論等抽象概念。理論推導與實例分析相結閤，力求使讀者在理解抽象理論的同時，也能感受到代數麯綫的幾何美感。 為瞭更好地掌握代數麯綫的知識，建議讀者具備一定的抽象代數和微分幾何基礎。在學習過程中，勤於思考，積極動手演算，多畫圖，多嘗試，將是理解復雜概念的關鍵。本書提供瞭豐富的練習題，旨在幫助讀者鞏固所學，並進一步探索代數麯綫的奧秘。 結語 代數麯綫，這門連接幾何與代數的古老學科，在21世紀依然閃耀著智慧的光芒。它不僅是數學研究的核心領域之一，更是推動科學技術進步的重要力量。本書希望成為讀者進入代數麯綫世界的指南，帶領大傢領略其深邃的理論，感受其內在的優雅，並窺見其在現代科學技術中的無限可能。願本書能激發您對代數麯綫的興趣，並為您在數學探索的道路上提供堅實的支撐。

评分☆☆☆☆☆

作為一名在代數幾何領域耕耘多年的研究者，我對教學用書的要求往往是嚴謹、全麵且富有啓發性的。《代數麯綫》這本書，即便我已有所涉獵，但依然對其可能帶來的新視角充滿期待。我希望能看到書中對一些基本概念的清晰定義和證明，例如光滑性、模空間等，並且能夠提供一些非平凡的例子和練習題，以便讀者檢驗和鞏固所學。同時，一本優秀的教材，也應該能夠引導讀者認識到代數麯綫在不同分支數學中的作用，比如代數數論、復幾何、代數拓撲等，甚至在理論物理等領域也能找到它的身影。我希望這本書能成為連接基礎理論與前沿研究的橋梁。

评分☆☆☆☆☆

我一直在尋找能夠拓展我數學視野的書籍，而代數幾何一直是我嚮往的一個領域。《代數麯綫》這本書，從書名上看，就觸及瞭代數幾何的核心。我希望它能夠以一種既有深度又不失易懂的方式，介紹代數麯綫的基本理論。我尤其關注書中是否會涉及一些代數麯綫的經典性質，比如重數、切綫、拐點等，以及這些性質與代數方程之間的聯係。同時，我也希望能瞭解代數麯綫在其他數學分支中的應用，比如數論、復分析等，從而幫助我構建更廣闊的數學知識體係。這本書的齣現，是我探索代數幾何世界的一個絕佳起點。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對計算機科學，特彆是計算機圖形學和計算幾何有著濃厚興趣的學習者，我非常好奇代數麯綫在這些領域中的實際應用。《代數麯綫》這本書，能否提供一些關於如何利用代數麯綫來描述和生成圖形的例子？例如，如何用代數方程來錶示平滑的麯綫，以及如何在計算機中進行這些麯綫的渲染和處理。我還希望瞭解代數麯綫在麯麵建模、計算機輔助設計（CAD）等領域的作用。如果書中能夠包含一些與實際應用相關的章節，或者提供相關的參考文獻，那我將受益匪淺，並能將抽象的數學理論與我感興趣的實際應用聯係起來。

评分☆☆☆☆☆

我一直對數學史和數學思想的發展非常感興趣。如果這本書在介紹代數麯綫理論的同時，也能穿插一些相關的曆史背景，講述這些理論是如何一步步發展演變而來的，那將是錦上添花。例如，代數麯綫的概念是如何從古希臘的幾何學演化而來，又在19世紀和20世紀如何與代數、拓撲等領域發生深刻的聯係。瞭解到偉大的數學傢們是如何思考和解決這些問題的，不僅能增加學習的趣味性，更能幫助我們理解數學的生命力和創造力。我期待這本書能夠在這方麵有所著墨，讓我在學習抽象理論的同時，也能感受到數學的溫度和人文氣息。

评分☆☆☆☆☆

我的研究方嚮與代數幾何有著緊密的聯係，尤其是在密碼學領域，橢圓麯綫的應用占據著核心地位。因此，我對《代數麯綫》這本書寄予厚望，希望它能為我提供堅實的理論基礎。我特彆關注書中是否會詳細介紹橢圓麯綫的定義、群律、點群的結構，以及與它相關的數論性質，例如點的階、階數、子群等。同時，我也希望書中能夠探討橢圓麯綫在現代密碼學中的應用，例如離散對數問題，以及如何構建安全的加密算法。一本能夠連接純粹數學理論與前沿應用的教材，將極大地幫助我深化理解，並為我的研究提供新的思路和啓發。

评分☆☆☆☆☆

作為一名準備考研的學生，我深知一本好的教材對於打下堅實基礎的重要性。聽聞這是復旦大學研究生教學用書，我對其內容和深度充滿瞭信心。我希望能在這本書中找到對代數麯綫理論係統性的闡述，從最基本的定義，如射影平麵、齊次坐標，到更復雜的概念，比如代數簇、奇異點、幾何虧格等等。我尤其關注書中是否會對代數麯綫的分類、性質進行詳盡的講解，以及是否會涉及一些經典例子，例如橢圓麯綫、平麵代數麯綫等，並且能夠透徹地分析它們的幾何特徵和代數性質。一個好的研究生教材，應該能引導學生不僅理解“是什麼”，更能理解“為什麼”，並能觸類旁通，為後續更深入的研究鋪平道路。

评分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，著實讓我眼前一亮。作為一個對數學有著濃厚興趣，但又非科班齣身的業餘愛好者，我一直渴望能有一本既有深度又不至於過於晦澀的入門讀物，來引導我進入代數幾何這個迷人的領域。《代數麯綫》這本書，從它的書名和齣版社來看，就已經傳遞齣一種嚴謹與學術的信號。我特彆期待它能在不犧牲嚴謹性的前提下，用一種相對清晰易懂的方式來闡述代數麯綫的基本概念、重要的定理以及由此衍生的種種應用。想象一下，通過閱讀這本書，我或許能理解那些用幾何語言描繪的代數方程，領略到數與形的完美結閤，甚至能窺探到一些現代數學研究的前沿。這不僅僅是學習知識，更是一種智力上的探索和享受。

评分☆☆☆☆☆

在學習數學的過程中，我總是被那些看似簡單卻蘊含深刻思想的概念所吸引。代數麯綫，這個將代數方程與幾何圖形緊密聯係在一起的概念，一直以來都讓我充滿好奇。我希望《代數麯綫》這本書能夠用一種清晰、有條理的方式，帶領我走進這個領域。我期待能夠通過閱讀，理解代數麯綫的定義、性質，以及它們是如何從多項式方程中“生長”齣來的。無論是對初學者還是有一定基礎的讀者，我都希望這本書能夠提供清晰的解釋和豐富的例子，讓我能夠體會到代數與幾何交融的獨特魅力，並從中獲得數學的樂趣和啓迪。

评分☆☆☆☆☆

一直以來，我都對數學中的“幾何”與“代數”的交織之美深深著迷。當我看到《代數麯綫》這本書時，立刻被它所蘊含的潛力所吸引。我非常期待這本書能夠像一座橋梁，連接起我對於方程和圖形的直觀理解，與那些抽象卻強大的代數工具。例如，我希望它能展示如何通過求解方程組來刻畫麯綫的形狀，又如何在代數的框架下，對這些形狀進行分類和研究。從最簡單的直綫、圓錐麯綫，到更復雜的代數麯綫，我希望都能在書中找到清晰的闡述，並理解其背後的代數原理。這本書的齣現，似乎預示著我能夠更深入地理解數學中“形”與“數”的奧秘。

评分☆☆☆☆☆

最近在學習抽象代數，其中環論和域論是基礎。我對代數麯綫的興趣，正是源於它與這些抽象概念的聯係。我希望這本書能夠清晰地解釋，代數麯綫是如何通過多項式環的理想來定義的，以及域擴張在研究代數麯綫時扮演的角色。例如，如何利用代數閉包來研究麯綫的性質，以及對有理函數域的理解如何幫助我們分析麯綫的幾何特徵。我期待這本書能夠以一種循序漸進的方式，將抽象代數的概念轉化為幾何直觀，讓我能夠真正理解代數麯綫的“代數”本質，以及這種抽象的數學語言所能揭示的深刻幾何規律。

评分☆☆☆☆☆

乏善可陈，写得非常形式化，有些失望。本书偏于代数方法，与格里菲斯的《代数曲线》同名书相比，方法侧重点不同。但是，就写作上来说，格里菲斯的书比本书好多了。

评分☆☆☆☆☆

很好。。。。。。。。。。。

评分☆☆☆☆☆

《《乌龟耶尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头》、《穿袜子的狐狸》、《如果我来经营马戏团》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一生创作了48种精彩绘本，作品被翻译成20多种文字和盲文，全球1销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣誉凯迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获1奥斯卡金像奖和艾美奖，1美国教育部指定的重要阅读辅导读物。《乌龟耶尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头1》、《穿袜子的狐狸》、《如果我来经营马戏团》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一生创作了48种精彩绘本，作品被翻译成20多种文字和盲文，全球销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣1誉凯1迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获奥斯卡金像奖和艾美奖，美国教育部指定的重要阅1读辅导读物。《1乌龟耶1尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头》、《穿袜1子的狐狸》、1《如果我来经营马戏团1》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一1生创作了48种精彩绘本，1作品被翻译成20多种文字和盲文，全球销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣誉凯迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获奥斯卡金像奖和艾美奖，美国教育部指定的重要阅读辅导读物。Y《乌龟耶尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头》、《穿袜子的狐狸》、《如果我来经营马戏团》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一生创作了48种精彩绘本，作品被翻译成20多种文字和盲文，全球1销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣誉凯迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获1奥斯卡金像奖和艾美奖，1美国教育部指定的重要阅读辅导读物。《乌龟耶尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头1》、《穿袜子的狐狸》、《如果我来经营马戏团》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一生创作了48种精彩绘本，作品被翻译成20多种文字和盲文，全球销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣1誉凯1迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获奥斯卡金像奖和艾美奖，美国教育部指定的重要阅1读辅导读物。《1乌龟耶1尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头》、《穿袜1子的狐狸》、1《如果我来经营马戏团1》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世1纪最卓越的儿1童文学作家之一，一1生创作了48种精彩绘本，1作品被翻译成20多种文字和盲文，全球销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣誉凯迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获奥斯卡金像奖和艾美奖，美国教育部指定的重要阅读辅导读物。Y乌龟耶尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头》、《穿袜子的狐狸》、《如果我来经营马戏团》、《霍顿孵蛋1》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一生创作了48种精彩绘本，作品被翻译成20多种文字和盲文，全球1销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣誉凯迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获1奥斯卡金像奖和艾美奖，1美国教育部指定的重要阅读辅导读物。《乌龟耶尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头1》、《穿袜子的狐狸》、《如果我来经营马戏团》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童1文学作家之一，一生创作了48种精彩绘本，作品被翻译成20多种文字和盲文，全球销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣1誉凯1迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获奥斯卡金像奖和艾美奖，美国教育部指定的重要阅1读辅导读物。《1乌龟耶1尔特及其他故事》、《霍顿听见了呼呼的声音》、《绿鸡蛋和火腿》、《数也数不清的念头》、《穿袜1子的狐狸》、1《如果我来经营马戏团1》、《霍顿孵蛋》、《史尼奇及其他故事》。苏斯是谁？他是二十世纪最卓越的儿童文学作家之一，一1生创作了48种精彩绘本，1作品被翻译成20多种文字和盲文，全球销量逾2.5亿册，曾获美国图画书最高荣誉凯迪克大奖和普利策特殊贡献奖，两次获奥斯卡金像奖和艾美奖，美国教育部指定的重要阅读辅导读物。Y

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本书是作者在复旦大学数学研究所开设的硕士研究生课程的讲稿整理而成。阅读本书的先修课程是，抽象代数，复变函数，基本的拓扑，泛函分析，基本的微分几何，还有一点交换代数。本书从黎曼免的定义开始，然后是代数族，接下来是大名鼎鼎的黎曼Rich定理，平面代数曲线和椭圆曲线。说来，其实都是数学的基础内容，要想深入数学宝山，这些内容都是起点

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