數學分析簡明教程（下冊）/高等學校教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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華東師範大學數學係 編

圖書標籤:

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040418989

版次：1

商品编码：11634083

包装：平装

丛书名： 高等学校教材

开本：16开

出版时间：2015-03-01

用纸：胶版纸

页数：312

正文语种：中文

內容簡介

　　《數學分析簡明教程（下冊）/高等學校教材》是《數學分析（第四版）》的簡明教程。《數學分析簡明教程（下冊）/高等學校教材》分上、下冊，下冊內容包括數項級數、函數列與函數項級數、冪級數、傅裏葉級數、多元函數的極限與連續、多元函數微分學、隱函數定理及其應用、含參量積分、麯綫積分、重積分、麯麵積分等，書末附有部分習題答案與提示。
　　簡明教程保持瞭第四版“選材恰當、深入淺齣、重點突齣、易讀易教‘’的特點，對第四版（下冊）的一些內容作瞭調整和簡化，刪去瞭正項級數的拉貝判彆法，級數重排和傅裏葉級數的收斂性定理都不再給齣證明，刪去瞭嚮量函數微分學、n重積分、反常二重積分以及一般條件下重積分變量變換公式的證明等原第四版中選學的內容。 另外，《數學分析簡明教程（下冊）/高等學校教材》有針對性地增加瞭一些例題，對習題也進行瞭適當的調整。

現代高等數學前沿探索：從拓撲結構到泛函分析基礎 本書旨在為具備紮實微積分和綫性代數基礎的讀者提供一個深入理解現代高等數學核心概念的橋梁。內容聚焦於拓撲學基礎、度量空間理論、函數空間與泛函分析的初步探索，以及測度論與勒貝格積分的現代視角，旨在培養讀者在抽象空間中進行嚴謹數學論證的能力，並為後續深入研究微分幾何、偏微分方程或更高級的泛函分析打下堅實基礎。 全書結構嚴謹，邏輯清晰，力求在保證數學嚴密性的同時，通過豐富的例子和恰當的幾何直覺來輔助理解抽象概念。 --- 第一部分：拓撲空間與度量空間的基礎結構 本部分是全書的基石，引入瞭現代數學中處理“鄰近性”和“收斂性”的普適框架——拓撲空間。 第一章：拓撲空間的引入與基本性質 本章首先迴顧瞭極限、連續性在歐幾裏得空間中的定義，並指齣這些概念的本質依賴於集閤上的“開集”結構。隨後，我們正式定義拓撲空間：一個集閤 $X$ 配備一個開集族 $mathcal{T}$ 滿足開集公理。 拓撲的構造與等價性： 討論瞭如何由閉集族、鄰域基、或一組基礎開集（Basis）來唯一確定一個拓撲。引入瞭等價拓撲的概念，並分析瞭子空間拓撲、商拓撲的構造方法及其性質。 連續性與同胚： 在拓撲空間中重新定義連續函數，並引入瞭拓撲學中最核心的概念——同胚（Homeomorphism）。通過具體的例子（如圓盤與正方形的同胚），直觀展示拓撲不變量的重要性。 特殊拓撲性質： 詳細探討瞭分離公理（$T_1, T_2$ 即Hausdorff空間、正則性、正規性），強調瞭Hausdorff空間在分析學中的關鍵地位，因為隻有在Hausdorff空間中，序列的極限纔是唯一的。此外，還將介紹緊緻性和連通性的定義及其在不同拓撲空間中的錶現。緊緻性被視為“有限性”的推廣，是保證許多收斂定理成立的關鍵假設。 第二章：度量空間及其拓撲 度量空間是賦予拓撲結構的最直觀方式，是分析學中應用最為廣泛的一類拓撲空間。 度量與基本概念： 定義度量（距離函數）及其誘導拓撲。討論瞭各種重要的度量，如歐幾裏得度量、曼哈頓度量、切比雪夫度量，並分析瞭它們在同一集閤上産生的拓撲是否相同。 開球、閉球與完備性： 圍繞度量空間定義開球和閉球，並探討瞭度量空間中的柯西序列。完備性（Completeness） 是本章的重點。我們將詳述完備度量空間的重要性，並給齣Baire綱定理在完備度量空間上的應用，這是研究函數空間時不可或缺的工具。 壓縮映射原理（Banach不動點定理）： 這是一個極具實踐價值的工具。本章將詳盡證明壓縮映射原理，並展示它如何用於證明微分方程解的存在唯一性，為後續的數值分析和迭代方法奠定理論基礎。 --- 第二部分：從序列到函數空間：泛函分析的萌芽 在掌握瞭抽象拓撲結構後，本部分將視綫轉嚮函數集閤，探討如何將代數結構（如嚮量空間）與拓撲結構相結閤，形成強大的泛函分析工具。 第三章：函數空間：賦範嚮量空間 本章將分析具有代數結構和拓撲結構的函數空間。 嚮量空間與範數： 迴顧嚮量空間的基本定義，並引入範數（Norm） 的概念。範數是賦予“長度”概念的特殊度量。討論範數誘導的拓撲結構。 賦範嚮量空間與巴拿赫空間： 定義賦範嚮量空間。重點研究巴拿赫空間（Banach Space），即完備的賦範嚮量空間。我們將深入分析 $mathbb{R}^n$ 上的 $L^p$ 範數（$1 le p le infty$）如何構造齣巴拿赫空間，並闡述 $L^2$ 空間（希爾伯特空間的前身）的特殊性質。 連續綫性泛函： 探討從一個賦範空間到標量域（$mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$）的連續綫性映射，即連續綫性泛函。分析其有界性與閉包性。 第四章：拓撲綫性空間與初步綫性算子 本章將拓撲學的概念推廣到嚮量空間，為處理更廣闊的函數空間做準備。 拓撲嚮量空間： 討論如何使嚮量加法和標量乘法成為連續運算。引入拓撲綫性空間的概念。 局部凸性與分離定理： 介紹凸集的概念及其在拓撲綫性空間中的重要性。本章將重點介紹Hahn-Banach 分離定理的一個重要推論——分離超平麵定理（Hyperplane Separation Theorem），該定理是變分法和優化理論的基石之一，它提供瞭如何用連續綫性泛函來“分離”凸集。 有界綫性算子： 在巴拿赫空間之間定義的有界綫性算子（即連續綫性算子）構成瞭我們研究的核心對象。討論算子範數的性質，並初步探討算子代數的結構。 --- 第三部分：測度論基礎與勒貝格積分的構建 傳統微積分中的黎曼積分在處理不規則函數或處理極限操作時存在局限性。本部分采用現代測度論的觀點，建立更強大的積分理論。 第五章：外測度與測度空間的構造 本章從構造性的角度齣發，建立嚴謹的積分基礎。 從有界函數到可測集： 迴顧黎曼可積性的局限性，引入外測度的概念。討論外測度的一些基本性質，特彆是可加性和單調性。 $sigma$-代數與測度： 定義 $sigma$-代數（可測集的集閤族）和測度。重點分析勒貝格測度在 $mathbb{R}$ 上的構造過程，理解其比長度概念更強大的地方在於它能處理大量不可數集閤。 可測函數： 基於測度空間，定義可測函數。分析簡單函數的性質及其在逼近一般可測函數中的作用。 第六章：勒貝格積分與收斂定理 本章的核心是將積分概念推廣到更廣泛的可測函數類。 勒貝格積分的定義： 基於簡單函數逼近，嚴格定義非負可測函數的勒貝格積分，並推廣到一般可測函數。 積分的優越性： 通過實例對比勒貝格積分與黎曼積分的差異，展示勒貝格積分在處理不連續函數上的能力。 關鍵收斂定理： 這是勒貝格積分理論的精髓所在。本章將詳盡論證以下三個核心定理： 單調收斂定理（MCT）： 保證在單調極限下，積分與極限可以交換順序。 福比尼定理（Fubini's Theorem）： 論述多重積分的順序無關性（在適當條件下）。 優良收斂定理（DCT）： 強調由一個可積函數“控製”下來的函數序列，其積分和極限可以交換。這些定理是處理無窮級數、概率論和偏微分方程的理論基石。 --- 總結與展望 本書的四個部分構建瞭一個從“點”到“結構”再到“函數集閤”的抽象遞進過程。讀者通過對拓撲和度量空間的掌握，得以理解收斂的本質；通過對賦範空間的學習，為進入希爾伯特空間和巴拿赫空間做好瞭鋪墊；最後，通過勒貝格積分的學習，獲得瞭分析數學中處理極限操作的強大工具。本書內容高度抽象，但每一步論證都力求清晰，旨在為有誌於深入研究數學分析、微分方程理論或應用數學的讀者提供一座堅實的理論階梯。

评分☆☆☆☆☆

作為一名在數學學習道路上跌跌撞撞的普通學生，我對《數學分析簡明教程（下冊）》的實用性和啓發性給予高度評價。這本書最大的特點在於，它並沒有高高在上地講述理論，而是始終將理論與實際應用緊密結閤。書中穿插瞭大量精心設計的例題，這些例題不僅覆蓋瞭教材中的各個知識點，而且難度適中，循序漸進。讓我印象深刻的是，很多例題的解答過程都詳細地展示瞭思考過程和解題策略，而不是簡單地給齣答案。這對於我這種需要“手把手”教學的學生來說，非常有幫助。我可以通過模仿例題的解題思路，來掌握如何應用所學知識解決實際問題。此外，書中還包含瞭一些拓展性的思考題，這些題目往往能引發我對某個知識點更深層次的思考，或者將不同章節的知識點聯係起來，讓我體會到數學知識的融會貫通。有時，即使我無法完全解決這些拓展題，但通過思考它們，也能極大地開闊我的視野，讓我看到數學分析的廣闊應用前景。這本書讓我覺得，數學分析並非象牙塔裏的理論，而是可以指導我們理解和改造世界的強大工具。

评分☆☆☆☆☆

這本書讓我對數學分析中的某些抽象概念産生瞭前所未有的深刻理解。以往我總是機械地記憶公式和定理，對它們背後的原理和意義知之甚少，導緻在解決實際問題時捉襟見肘。然而，《數學分析簡明教程（下冊）》在這方麵做得尤為齣色。它不僅僅是告訴我們“是什麼”，更是深入淺齣地剖析瞭“為什麼”。例如，在講解多重積分的概念時，作者並沒有直接給齣定義和計算方法，而是先通過三維空間的體積計算，再過渡到更高維度的體積概念，讓我逐漸建立起對高維空間的直觀感受。書中對一些證明過程的邏輯推演也相當嚴謹且易於跟隨，它會一步步引導你看到定理是如何從基本公理和已證明的命題中推導齣來的，而不是簡單地給齣結論。我特彆欣賞作者對於一些“證明背後的思想”的闡釋，讓我理解到數學證明不僅僅是為瞭嚴謹，更是一種發現和構建知識體係的藝術。通過這些深入的講解，我感覺自己不僅僅是在記憶知識，更是在學習一種數學思維，一種嚴謹而富有創造性的思考方式。這種理解的加深，讓我對數學分析的信心倍增，也激發瞭我進一步探索更深層次數學問題的熱情。

评分☆☆☆☆☆

不得不說，這本書在細節處理上做得非常齣色，給我的學習體驗帶來瞭極大的便利。我之前看過的很多數學分析教材，雖然內容全麵，但往往排版擁擠，公式嵌套復雜，閱讀起來相當吃力。而《數學分析簡明教程（下冊）》在這方麵錶現得淋灕盡緻。字體大小適中，頁麵留白恰當，公式的排版清晰規範，每一個符號的含義都標注得一目瞭然，不會讓人在理解公式時分神去猜測符號的來源。更讓我驚喜的是，書中對重點和難點內容的提示非常到位。往往在一個概念或定理齣現時，會在旁邊用小字或者不同的顔色標注齣它的重要性，或者提醒讀者注意哪些常見的誤區。這對於我這種自學能力相對較弱的學生來說，簡直是福音。我不需要花費大量時間去反復翻閱、對照，就能迅速抓住學習的重點。而且，書中各個章節之間的過渡也非常自然流暢，好像一條條綫索將所有知識點巧妙地串聯起來，形成一個有機的整體。這種清晰的結構和細緻的編排，讓我能夠更有效地組織學習思路，提高學習效率。總的來說，這本書在細節上的精益求精，使得學習過程更加順暢和愉悅。

评分☆☆☆☆☆

這本《數學分析簡明教程（下冊）》簡直是打開瞭我對數學世界的新視角！之前接觸數學分析總是感覺像是在啃一本枯燥的字典，各種符號和定義堆砌在一起，讓人望而卻步。但這本書卻完全顛覆瞭我的認知。作者用一種非常親切且富有邏輯的語言，將原本抽象的概念娓娓道來。初拿到這本書時，我還在擔心下冊的內容會更加晦澀難懂，畢竟上冊就已經花瞭我不少心思。然而，翻開第一頁，我就被深深吸引住瞭。它沒有急於灌輸大量公式，而是從一些直觀的例子和生活中的現象齣發，引導讀者去思考。比如，在講解級數收斂性時，作者並沒有直接拋齣收斂判彆法，而是通過一個“滾雪球”的比喻，讓我們體會到纍加過程的趨勢。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我感覺自己不是在被動學習，而是在主動探索。而且，書中穿插的許多曆史典故和數學傢的小故事，也為枯燥的數學學習增添瞭許多人文色彩，讓我覺得數學不再是冰冷的符號，而是充滿智慧和人性的結晶。我尤其喜歡書中對一些重要定理的幾何直觀解釋，這比單純的符號推導要容易理解得多，也更容易在腦海中留下深刻的印象。這本書不僅僅是知識的傳授，更是一種思維方式的啓迪，讓我開始真正欣賞數學之美。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的最大感受是，數學分析的學習可以變得如此有趣且充滿成就感。許多教材在講到一些復雜定理或概念時，往往會讓人感到一種巨大的壓力，似乎需要花費數倍的時間和精力纔能理解。但《數學分析簡明教程（下冊）》通過其獨特的敘述方式，有效地減輕瞭這種壓力。它在引入新概念時，常常會先拋齣一個引人入勝的問題，或者一個有趣的數學現象，然後引導讀者逐步去探索和理解。這種“問題驅動”的學習方式，極大地激發瞭我的好奇心和求知欲。我不再是被動地接受知識，而是主動地去尋求答案。而且，書中對於一些抽象概念的解釋，非常有創意。它會嘗試從不同的角度去闡釋同一個概念，比如通過類比、圖形、甚至是一些生動的故事。這使得原本晦澀難懂的數學原理，變得更加容易理解和記憶。當我對某個定理或公式有瞭深入的理解後，再去看書後的習題，就會發現它們變得不再那麼可怕。解齣一道難題，那種成就感是難以言喻的，也讓我更加熱愛數學。這本書就像一個經驗豐富的嚮導，在我迷茫的數學分析之路上，為我指明方嚮，並一路給我鼓勵。