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內容簡介

　　《再生權最小二乘法穩健估計》根據作者多年從事測量數據處理的教學與研究工作成果撰寫而成。首先，介紹瞭再生權最小二乘法的基本原理和計算方法，討論瞭再生權最小二乘法穩健估計在測量控製網平差、多元綫性迴歸和坐標係統轉換中的具體應用。然後，介紹瞭一種確定穩健估計方法的穩健特性的仿真實驗方法，並通過仿真實驗，討論瞭再生權最小二乘法和13種常用穩健估計方法的穩健特性以及它們中相對更為有效的穩健估計方法。最後，對測量控製網平差、一元綫性和非綫性迴歸的有關問題進行瞭討論。

目錄

前言
第1章 穩健估計
1.1 穩健估計概述
1.2 最小N乘法原理
1.3 穩健估計原理、方法和計算
1.3.1 穩健估計原理
1.3.2 基於選權迭代法的穩健估計方法
1.3.3 常用的穩健估計方法
1.3.4 崩潰汙染率

第2章 再生權最小二乘法
2.1 再生權最小二乘法原理
2.2 再生權最小二乘法的計算
2.2.1 再生權最小二乘法的計算步驟
2.2.2 再生權的計算
2.2.3 再生權最小二乘法的兩個基本參數
2.3 兩種參數估計方法比較的仿真實驗方法
2.4 廣義高斯分布
2.5 N重循環

第3章 再生權最小二乘法測量控製網平差
3.1 再生權最小二乘法等權觀測值水準網平差
3.1.1 水準網平差誤差方程
3.1.2 再生權最小二乘法等權觀測值水準網平差的計算
3.2 等權觀測值水準網穩健估計方法的比較
3.2.1 水準網誤差分布形狀參數為1.
3.2.2 水準網誤差分布形狀參數為2.
3.2.3 水準網誤差分布形狀參數為2.
3.3 再生權最小二乘法不等權觀測值水準網平差
3.3.1 再生權最小二乘法不等權觀測值水準網平差的計算
3.3.2 不等權觀測值水準網穩健估計方法的比較
3.4 再生權最小二乘法等權觀測值測邊網平差
3.4.1 測邊網平差誤差方程
3.4.2 再生權最小二乘法等權觀測值測邊網平差的計算
3.5 等權觀測值測邊網穩健估計方法的比較
3.5.1 測邊網誤差分布形狀參數為1.
3.5.2 測邊網誤差分布形狀參數為2.
3.5.3 測邊網誤差分布形狀參數為2.
3.6 再生權最小二乘法不等權觀測值測邊網平差
3.6.1 再生權最小二乘法不等權觀測值測邊網平差的計算
3.6.2 不等權觀測值測邊網穩健估計方法的比較
3.7 測量控製網平差相對有效的穩健估計方法
3.8 測量控製網解算中觀測值的驗前中誤差
3.8.1 等權觀測值的驗前中誤差
3.8.2 不等權觀測值的驗前中誤差
3.8.3 兩類觀測值的驗前中誤差

第4章 再生權最小二乘法迴歸
4.1 再生權最小二乘法多元綫性迴歸
4.1.1 再生權最小二乘法迴歸原理
4.1.2 再生權最小二乘法多元綫性迴歸的計算
4.2 多元綫性迴歸相對有效的穩健估計方法
4.2.1 —元綫性迴歸模型
4.2.2 二元綫性迴歸模型
4.2.3 三元綫性迴歸模型
4.2.4 四元綫性迴歸模型
4.2.5 五元綫性迴歸模型
4.2.6 多元綫性迴歸相對有效的穩健估計方法總結
4.2.7 多元綫性迴歸算例
4.3 —元非綫性迴歸的不同模型
4.3.1 —元綫性迴歸方程的通解
4.3.2 間接觀測值迴歸和直接觀測值迴歸
4.3.3 間接觀測值迴歸與直接觀測值迴歸的計算
4.3.4 間接觀測值迴歸與直接觀測值迴歸的比較
4.4 一元綫性迴歸自變量的優化
4.4.1 一元綫性迴歸的可靠性矩陣
4.4.2 自變量黃金分割及其可靠性矩陣
4.4.3 自變量等差級數和自變量雙嚮黃金分割的比較

第5章 再生權最小二乘法坐標轉換
5.1 再生權最小二乘法四參數模型坐標係統轉換
5.1.1 再生權最小二乘法四參數模型坐標係統轉換公式
5.1.2 再生權最小二乘法四參數坐標轉換的計算
5.1.3 四參數模型坐標係統轉換相對有效的穩健估計方法
5.2 再生權最小二乘法七參數模型坐標係統轉換
5.2.1 再生權最小二乘法七參數模型坐標係統轉換公式
5.2.2 再生權最小二乘法七參數坐標轉換的計算
5.2.3 七參數模型坐標係統轉換相對有效的穩健估計方法
5.3 再生權最小二乘法相似變換
5.3.1 再生權最小二乘法相似變換原理
5.3.2 再生權最小二乘法相似變換的計算
5.4 再生權最小二乘法仿射變換
5.4.1 再生權最小二乘法仿射變換原理
5.4.2 再生權最小二乘法仿射變換的計算
5.5 再生權最小二乘法其他坐標係統轉換模型
5.5.1 三維分離迴歸法坐標係統轉換
5.5.2 二次多項式坐標係統轉換
5.5.3 正形變換
5.5.4 多項式擬閤法坐標係統轉換
5.5.5 不同坐標係統轉換模型的算例

第6章 單純形法解算測量控製網的原理與方法
6.1 單純形法原理
6.1.1 單純形法
6.1.2 單純形法的計算
6.2 單純形法水準網平差算例
6.3 單純形法與其他穩健估計方法的比較
參考文獻

附錄I 標準廣義高斯分布的纍積分布函數
附錄Ⅱ 等權和不等權正態分布隨機誤差的模擬271

精彩書摘

　　第1章 穩健估計
　　1.1 穩健估計概述
　　測量都具有觀測誤差，觀測誤差分為三類：一類是具有隨機性的偶然誤差；一類是帶有規律性的係統誤差；此外還有粗差（outlier或grosserror），泛指離群的誤差。統計學傢根據大量觀測數據分析指齣，在生産實踐和科學實驗中，粗差齣現的概率約占觀測總數的。這些少量的粗差會對參數估計結果造成嚴重的乾擾。隨著科學技術的進步，人們對測量結果的精度要求越來越高。因此，尋求有效的方法消除或減弱粗差顯得越來越重要。
　　目前，對含粗差觀測值的處理主要采用兩種方法：其一是將含粗差觀測值視為期望異常，用統計檢驗方法剔除含粗差的觀測值後再用最小二乘法進行處理；其二是將含粗差觀測值視為方差異常，采用穩健估計方法處理。最早引起重視的是統計檢驗法，歸納起來是一個辨彆、定位和調節改正的過程。其實質是假設觀測誤差服從均值漂移模型，將粗差歸於函數模型處理。當存在多個粗差，且係統結構不佳時，僅僅依靠最小二乘法的殘差檢測來定位粗差的辦法具有很大的局限性。有鑒於此，穩健估計的理論和方法應運而生。
　　穩健估計（robustestimation）也稱抗差估計，是指在粗差不可避免的情況下，選擇適當的估計方法，使參數估值盡可能地減免其影響，得齣正常模式下的最優或接近最優的參數估值。
　　早在19世紀初，已有學者提齣瞭減免粗差乾擾的估計方法。但直到20世紀五六十年代，隨著電子計算機的發展，穩健估計理論和方法的研究纔得以深入。Box於1953年首次提齣“穩健性”（robustness）的概念。隨後，Tukey於1960年提齣瞭汙染分布模式。Hub [5]於1964年發錶“定位參數的穩健估計”一文，提齣瞭M估計理論。Hampel於196）年提齣瞭影響函數和崩潰點的概念。Holland和界613：11[6]於1977年提齣瞭選權迭代法。Stigerra於同年提齣瞭中位數估計法。之後，Stiger與Bloomfield又提齣瞭估計法（本書中記為法）。HuberHam-pet Rousseeuw和Ler等均對穩健估計進行瞭卓有成效的研究，並先後發錶瞭有影響力的論著，為穩健估計奠定瞭理論基礎。經過眾多數理統計學傢不斷地開拓和研究，穩健估計理論深入發展，成為應用到眾多學科的分支科學。
　　丹麥的Kramp和Kubik等於1980年將穩健估計理論引入測量界，提齣瞭著名的“丹麥法”由於穩健估計方法能夠較好地處理測量數據中含有粗差的問題，大地測量界掀起瞭穩健估計的研究熱潮，産生瞭大量有價值的研究成果。
　　1983年，Rousseeuw等提齣瞭最小剪切二乘法（LTS法）。LTS法對杠杆點具有很好的抵抗性，但是計算效率比較低。隨後，Rousseeuw[11]等又提齣瞭最小中位數二乘法（LMS法）、S估計法和"估計法。Yohai於1987年提齣MM估計法，在保證M估計穩健性的前提下，提高瞭M估計的計算效率。1989年，周江文[12，13]提齣等價權的概念，將M估計最小二乘化，使傳統最小二乘法具備瞭抗差能力，並提齣兩種有效的估計方案——IGGI方案和IGGII方案。楊元喜[14，15]對等價權原理進行瞭擴充，提齣瞭IGGIII方案，並且針對相關等價權不對稱的問題，構造瞭雙因子方差膨脹模型和雙因子等價權模型，導齣瞭各種平差模型的參數抗差估計公式。徐培亮[16]也給齣瞭相關觀測的穩健估計方法。劉經南和姚宜斌等[17]提齣瞭基於等價方差-協方差陣的穩健最小二乘估計理論，這種方法不僅可以控製觀測異常的影響，而且保持瞭原有觀測的相關性不變。歐吉坤[18]提齣瞭一種三步抗差方案，用分步變常數法提高瞭參數估值的計算效率。為瞭控製設計空間誤差的影響，提齣瞭杠杆點評估和設計空間抗差的IGGIV方案。徐培亮[19]提齣瞭符號約束的抗差估計。王誌忠和硃建軍[2e]等研究瞭適閤汙染誤差模型估計的最優性準則，提齣瞭均方差極小原則下的參數抗差估計。楊元喜[21，22]提齣瞭依據誤差分布實際情形的自適應抗差估計和抗差方差分量估計，導齣瞭抗差擬閤推估解法。針對病態性與粗差同時存在的問題，Nyquist和Slvapulle提齣瞭基於M估計的抗差嶺估計。隋立芬[23，24]對其原理和性質進行瞭研究，提齣瞭抗差組閤主成分估計和抗差單參數主成分估計。歸慶明等[25]運用有偏估計的壓縮變換方法，提齣瞭壓縮型抗差估計。彭軍還[26]證明瞭基於誤差方差膨脹模型與基於誤差均值漂移模型所得到的無偏估計公式的等價性。估計作為一類重要的抗差估計，也得到瞭廣泛而深入的研究。孫海燕[27]和周世健[28，29]等研究瞭?m範分布的密度函數，估計的抗差性和效率，誤差分布和估計方法之間的關係。周鞦生[30]提齣瞭利用綫性規劃求解估計問題的方法，並且依據綫性規劃的對偶原理給齣瞭求解問題的實用方法。在動態數據處理方麵，楊元喜[31~33]提齣瞭抗差Kalman濾波，分析瞭多種抗差濾波的理論基礎，討論瞭抗差自適應濾波解的性質，構建瞭抗差自係。
　　1.2最小N乘法原理
　　1.最小二乘法
　　最小二乘法，又稱最小平方法，是一種數學優化技術。它是通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。自Gauss於1809年提齣以來，最小二乘法廣泛應用於測量及其他科學工程領域。
　　在測量數據處理中，Gauss-Markov模型是最常見的模型之一。其基本模型是模型（1-1）還可錶示為
　　測量平差中一般將式（1-2）錶示為
　　式（1-3）稱為誤差方程。上式中，L錶示nX1階觀測值矩陣；P（XW）錶示觀測值L的權陣；Dl錶示觀測值L的協方差陣錶示單位權方差錶示觀測值L的真誤差；V錶示觀測值L的改正數，是真誤的估值錶示階係數矩陣；錶示以1階未知數真值矩陣階未知數估值矩陣。
　　按最小二乘法求解Gauss-Markov模型中的參數估值V，即是要求準則函數將對X求導並令其為零，得
　　將式（1-3）代入得令
　　則式（1-7）寫成
　　式稱為法方程（normalequations），其解為
　　由式（1-9）求得的參數估值確保瞭VTPV=min。
　　將式（1-9）代入式（1-3）得觀測值的改正數V和觀測值的估值L：
　　單位權中誤差的估值
　　未知數的協因數陣：
　　應用最小二乘準則時，並不需要知道觀測嚮量服從何種概率分布，而隻需知道它的先驗權陣即可！
　　當P為非對角陣時，錶示觀測值相關，按VTPV=min進行的平差稱為相關觀測平差。
　　當P為對角陣時，錶示觀測值不相關，此時最小二乘準則可錶示為純量形式，即
　　特彆地，當觀測值不相關且等精度時，權陣P為單位陣，此時最小二乘準則可錶為
　　2.最小N乘法
　　當觀測值不相關且等精度時，最/J、?s準則函數為
　　當N=1時，即為最小一乘法的準則函數：
　　當N=2時，即為最小二乘法的準則函數：
　　當N=3時，即為最小三乘法的準則函數：
　　當N=4時，即為最小四乘法的準則函數：
　　當尺時，即為最小無窮乘法的準則函數：
　　3.算例
　　設有綫性方程組
　　式（1-21）中，方程的數量r=3，未知數的數量n=6。未知數的數量大於方程的數量，所以未知數具有無窮多組解。錶1.1列齣瞭N為1、2、3、4和無窮大時式（1-21）未知數（精確到0.1）的部分解。由錶1.1可知，當未知數的解精確到0.1時，最小一乘法有31組解（第1-31行），約束條件式（1-16）的值為14.0；最小二乘法有1組解（第32行），約束條件式（1-17）的值為59.0；最小三乘法有1組解（第33行），約束條件式（1-1））的值為214.3；最小四乘法有1組解（第34行），約束條件式（1-19）的值為765.7；最小無窮乘法有25組解（第35!59行），約束條件式（1-20）的值為3.7。
　　（1）不同的約束條件下未知數的解是不盡相同的。
　　……

前言/序言

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