內容簡介

　　我國古代不少數學傢以詩歌抒懷，他們把自己鍾愛的、珍珠般的數 學名題以及博大精深的數學思想方法，編成耐人尋味的詩詞、口訣和歌 謠。《古算詩題探源》精選齣其中的140多首進行詮釋，譯為白話，給齣古今解法! 探究來由（特彆是源頭），縱橫聯想，巧妙引申，並以充滿情趣的生動 描寫、蘊含哲理的精闢議論使一些深奧的數學名題變得通俗易懂、生動 有趣，給人以豐富的數學知識和啓迪，激發讀者對數學的興趣。

目錄

叢書修訂版前言
第一版總序
前言
01算術部分1
1.1納稅算賬1
“算”字的起源
1.2魚兒有幾3
“算術”的起源
1.3蘇武流放4
程大位《算法統宗》
1.4唐僧取經7
梅氏數學世傢
1.5男女捉兔（鷓鴣天，又名思佳客①）9
“數”字的起源
1.6廬山路程11
橫看成嶺側成峰
1.7推車求裏12
1.8兩求斤歌13
楊輝什麼是數學
1.9績麻分布16
1.10紡織分配（西江月）18
筆算簡史
1.11算題對聯19
1.12經商本錢（水仙子）20
1.13船載油鹽21
程大位談數學
1.14買米運費（西江月）22
1.15甲追及乙（西江月）23
吳敬詞題
1.16公公幾歲25
1.17孝女歸傢（西江月）26
最小公倍數
1.18製筆用料28
分數簡史
1.19巧妙分金（西江月）29
四捨五人法簡史
1.20含金幾成31
1.21加銅多少32
1.22雞兔同籠32
1.23計算利息34
古算中的利息題
1.24計算賠償（鷓鴣天，又名思佳客）36
古算的研究原則
1.25—年糧量39
比、比例簡史
1.26糧食互換（梅氣清）40
1.27和麵用油（西江月）42
五道古算詩題
02代數部分45
2.1春日沽①酒45
代數學起源
2.2沽酒待客（西江月）48
十進位值製
2.3牧羊之歌（鳳棲梧）50
2.4利滾利債52
2.5客有幾人53
2.6勤奮讀書55
方程簡史
2.7日行幾裏57
2.8繩索量竿58
2.9盈不足術59
2.10隔牆計算61
七道盈不足詩題
2.11孩童偷瓜（西江月）65
浪淘沙一詞題
2.12和尚幾人66
假設法
2.13巧算筆墨（西江月）69
中國古代數學
2.14甲乙沽酒（西江月）70
2.15官兵分布71
2.16鱉龜有幾（鷓鴣天，又名思佳客）71
2.17隔溝計算（西江月）73
2.18妙算羊數（西江月）75
2.19雞鴨若乾76
2.20酒有幾瓶76
2.21果價幾何77
2.22船載鹽忙78
2.23絹布幾許79
2.24船運公糧80
求根公式簡史
2.25買椽多少81
2.26神奇妙算82
中國剩餘定理
2.27紅燈幾盞（水仙子）88
古代民謠
2.28求一之術90
秦九韶的求一術
2.29妙題妙解93
2.30韆錢百雞95
不定方程
2.31羊宿野村99
2.32孝心迴報100
2.33中國管理數學101
2.34五官問題102
2.35巍巍寶塔103
吳敬
2.36孔明統兵106
2.37齣門望堤107
2.38本利幾何107
2.39竹筒盛米108
等差等比數列簡史
2.40七商分紅110
2.41螞蟻爬竹112
非常規題
03幾何部分115
3.1爭蕩鞦韆（西江月）115
幾何簡史與譯名
3.2鞦韆跳起（西江月）119
誰早發現勾股定理
3.3葭蒲多長（西江月）121
薪盡火傳的詞題
3.4風箏高飛（西江月）123
3.5田中有竹124
硃世傑
3.6門廳高低（西江月）127
3.7田中拴馬（西江月）128
3.8釣魚樂趣129
3.9摺竹抵地（西江月）130
3.10丈量田地131
3.11葛藤纏木133
螺鏇綫的發生
3.12圓材埋壁134
趙州橋與勾股
3.13方斜種糧（鳳棲梧）138
3.14勾股容方139
3.15勾股容圓141
與勾股
3.16直田麵積143
麵（體）積公式起源
3.17矩形田積145
3.18長闊多少146
3.19坡田修平（西江月）146
3.20三斜求積147
等價的海倫公式
3.21和尚算傢150
張遂（一行）
3.22圓中方形（西江月）153
李冶
3.23方形圓徑（西江月）157
天元術和演段術
3.24圓環求周159
3.25環田求周（鳳棲括）161
數學與詩詞
3.26古墳占地（雙揭練）162
3.27丈量田法164
《詳明算法》、割補法
3.28平方帶縱166
限製尺規之因
3.29平分月餅167
3.30用矩之法169
測量傢商高、伏羲
3.31日影測量171
《數理精蘊》與康熙
3.32測量塔高174
三角學測量之始
3.33方城邊長176
3.34編造幻方177
幻方簡史
3.35金磚重量181
細草、羅士琳
3.36垛積問題185
三次方程求根史
3.37方圓倉窖①190
體積起源
3.38圓錐倉窖192
估算糧重
3.39颱體倉窖197
方程
3.40長城牆積202
古代球積公式
3.41穿渠雇工203
3.42金球重量205
3.43金球直徑（駐馬聽）208
數學理論與應用
參考文獻210
後記211

精彩書摘

　　01算術部分
　　1.1納稅算賬本書所有詩詞的標題，大都是著者自己加的，大部分原著文沒有標題。
　　昨日街頭乾事畢，
　　閑來稅局門前立。
　　見一客持三百布，
　　每疋必須稅二尺。
　　貼迴銅錢六百文①，
　　收布一十五半疋。
　　不知每疋賣幾何，
　　隻言每疋長四十②。
　　——程大位《算法統宗》
　　【注釋】①古代1貫=1000文。②這裏1疋=40尺。
　　【譯文】昨天街上辦完事，慢悠悠地走到稅務部門前停下來。看見一客商持300疋布前來納稅，按規定每疋布必須上稅2尺。稅局收去15疋半布作稅款。因多收瞭布，稅局補給他銅錢600文。已知每疋布長40尺，請問每疋布價多少錢。
　　【解法】依題意可知
　　應納稅：300×2=600（尺）
　　稅局實收布：15.5×40=620（尺）
　　稅局多收布：620-600=20（尺）
　　每尺布價：600÷20=30（文）
　　每疋布價：30×40=1200（文）
　　答：每疋布價1200文錢，即一貫二百文。
　　【探源】這是一首經商納稅詩題。
　　兩漢史籍中有關納稅的資料很少。古代最早算書《算數書》（公元前2世紀）中有2題“弧齣關”和“負米”反映秦或更早時候徵收關稅問題；《九章算術》（公元前1世紀）中有4道題（衰分章第3題，均輸章第15，27，28題）反映漢朝嚮商人徵收關稅的問題。資料雖少，但很寶貴。
　　這詩題不是從古算書算題改編而來的，根據可能是當時人們經商納稅的情況。故詩題反映瞭納稅或徵收賦稅的實際情況。可知明代賣布稅率為5%，看來稅賦不重。
　　“算”字的起源
　　中國的“算”字有三種寫法：筭、算、祘。對這幾個字，我國辭典始祖東漢許慎在《說文解字》（成書於公元100年）裏作瞭如下解釋：
　　“筭，長六寸，計曆數者。從竹從弄，言常弄乃不誤也。”這就是說，“筭”（音算，ｓｕàｎ）字是一種六寸長的竹製計算工具，古稱“算籌”（用小竹棍等製成）。這個字是由“竹”和“弄”兩字閤成的，經常擺弄它便可使計算正確無誤。
　　“算，數也。從竹從具，讀若筭。”許慎的意思說，“算”是計算數目的，讀法和“筭”完全相同。
　　“祘”字的齣現比較晚，它是由兩個“示”字閤成的。許慎解釋說：“示，神事也。”這就是說，“示”字有“指示、錶示、透露”等象神的顯示一樣的意思。因為上部“二”是古文的“上”字，下部古為三竪（後來演變成一竪兩點的“小”字），錶示日、月、星。神的顯示是從上麵下來的。從鬼神的字錶明，也多用示（礻）字旁。
　　顯然，古人把“祘”和計算，都與迷信糾纏在一起，與科學背道而馳，不足為訓。
　　“算”字的象形字起源於什麼時候？在甲骨文（在龜甲或獸骨上鎸刻成的文字）或金文（周朝時的文字，鑄在青銅器上的文字，又叫鍾鼎文）中從未發現過這個字。據當代英國著名科學史傢李約瑟（J.Needhan，1900～1995）認為，它的齣現年代可能在公元前3世紀。
　　圖1-1“算”的古體字
　　事實上，“算”字的最早古體字有三種寫法，見圖1-1。“算”字上麵是竹的形象，錶示著竹製算具。下麵為雙手捧著貝幣（殷周時用貝做貨幣）。故我國“算”字的意思就是以算具進行記數、計算、蔔卦的技術或學問。
　　在希臘，“計算”一詞的本意是“石子”、“沙盤”，原意是“沙子”。這反映瞭古希臘人與中國不同的是不用竹做算具，而是用石子計數或在沙盤上劃道運算。
　　1.2魚兒有幾
　　三寸魚兒九裏①溝，口尾相銜②直到頭。
　　試問魚兒多少數，請君對麵說因由。
　　——梅瑴成③《增刪算法統宗》
　　【注釋】①關於裏、步長度的大小隨朝代不同。周代1步=8尺。秦漢至南北朝1步=6尺，1裏=300步；《漢書?食貨誌》載：1裏=300步，
　　1步=6尺。《九章算術》就用此，簡稱秦漢製。約從隋唐改為1步=5尺，1裏=360步。這是舊製以營造尺。②銜，用嘴含。③瑴，音決，jué。
　　【譯文】3寸長的一群小魚兒，它們口尾相接在河裏遊玩，從頭到尾排成瞭9裏長。試問這群魚兒有多少條？請說齣你推算的理由。
　　【解法】因為1裏=360步（唐代以後度量衡）
　　所以9×360=3240（步）
　　因為1步=5尺=50寸
　　所以3240×50=162000（寸）
　　所以162000÷3=54000（條）
　　答：這群活潑可愛的小魚兒共有5.4萬條。
　　【探源】詩言誌，歌抒情，數學詩題很迷人。這道朗朗上口的數學詩題仿佛把我們帶到瞭孩提時代觀賞遊魚的趣景，迴味之餘，油然而生要探討追溯這道詩題源頭的想法。經查，古算傢是根據古算《孫子算經》（公元4世紀）捲下第32題改編的。古代儒傢把重要的經典著作稱為“經”，“數學”叫做“算”，所以把重要的數學著作稱為“算經”。第32題是：“今有九裏渠，三寸魚，頭頭相次。問魚得幾何？答曰：五萬四韆。術曰：置九裏，以三百步乘之，得二韆七百步。又以六尺乘之，得一萬六韆二百尺。上十之，得一十六萬二韆寸。以魚三寸除之，即得。”
　　讀者不難發現，這道詩題完全與《孫子算經》第32題一樣，數據、答案一緻。當然，不同之處是術文（解法）中使用的度量衡是秦漢製，即1裏=300步，1步=6尺。
　　“算術”的起源
　　算術是研究數與數集上的運算的數學分支。算術是最古老的數學分支之一，是數學的起點。
　　算術的産生可追溯到史前時期，如美索不達米亞（今伊拉剋的一部分）和古埃及等在公元前30～前20世紀就産生瞭簡單的算術知識。
　　古希臘人正式提齣的“算術”，實質是數論（研究數的規律，特彆是研究整數性質的數學分支），因為他們曾把數分為“數目學”（即數論）和“計算術”（與今算術意義差不多）。但是，希臘人的“數目學”與哲學相關，備受哲學傢器重，而“算術”（計算術）卻被另眼看待，譏為“低下技術”，備受輕視。這使得希臘算術的成就不及幾何和數論。
　　在我國，“算術”二字至遲在漢代已經常用瞭，例如，《前漢書?律曆誌》記載籌算中有：“其法在算術，宣於天下”。在古算書上，西漢末年（約公元前1世紀）曾有過《許商算術》和《杜忠算術》，可惜早已失傳。但正式使用、留傳至今的這一術語最早見於《九章算術》（公元前1世紀），而算術內容更早齣現在1983~1984年齣土的《算數書》（公元前2世紀）中。我國古代“算術”指整個數學，即數學的總稱，但它與現代算術意義是不同的。
　　在西方，“算術”一詞的拉丁文“Arithmetica”來自希臘文“αριθμητικ�穰恰保�原意是數（ｓｈǔ）和數（ｓｈù）的技術（或學問），這就是說，西方人的“算術”指有關數的運算方法和技巧，不包括代數、幾何等內容，與我國泛指全部數學不同。
　　1.3蘇武流放
　　當年蘇武①去北邊②，
　　不知去瞭幾周年。
　　分明記得天邊月，
　　二百三十五番圓③。
　　——程大位《算法統宗》
　　【注釋】①蘇武（約公元前140～前60年）是漢朝一位官員，天漢元年（公元前100年）被派往匈奴齣任使者，因其他事牽連，被匈奴統帥單於扣留，並叫他投降，蘇武誓死不從。單於把他流放到北方海邊無人居住的地方，讓他飼養公羊，叫他等到公羊生瞭小羊以後再迴來。這哪是可能的？顯然是將他終年流放。單於斷絕供應一切糧草，蘇武隻好挖掘野鼠所儲藏的草籽來吃。後來漢朝與匈奴和親，蘇武纔從荒野被接迴漢朝。由於他節操卓著，被尊稱為“祭酒”（年高望重者），又被封為典屬國。公元前60年，蘇武病逝。②北邊，指今天貝加爾湖畔的大城市——伊爾庫茨剋一帶。③關於月亮圓缺是指人們在地球看到月亮錶麵發亮部分的形狀，這在天文學上叫做月相。主要的月相有4個：朔、上弦、望、下弦。朔日（農曆每月初一），地球上看不到月光；上弦（農曆每月初七或初八）和下弦（農曆每月廿二或廿三），地球上看到的月亮是月牙形；望日（農曆每月十五日，有時是十六或十七日），地球運行到月亮和太陽之間，這天太陽從西方落下去的時候，月亮正好從東方升上來，地球上看見的是圓月。1年=12月，“二百三十五番圓”即235個月。
　　【譯文】當年蘇武流放到北方牧羊，不知去瞭多少周年，隻記得天邊的月亮，已經齣現過235次圓月瞭。
　　【解法】據注可知，這是一道簡單除法問題，
　　235÷12=19712=197
　　餘7為閏月，因為依我國農曆，19年應有7個閏月。故答案不能是19年零7個月。
　　答：蘇武去北方已經有19周年。
　　【探源】這道詩題可能是古算傢根據曆史人物改編的趣詩，不是從古算書算題改編的。
　　程大位《算法統宗》
　　讀者從本書開篇，就知道程大位的名字，但對他的經曆、治學及成就不太瞭解瞭。
　　程大位（1533～1606）
　　程大位（1533～1606）字汝思，號賓渠我國古人幼有名（指幼年時起的乳名，隻供長輩們呼喚），長有字（指20歲時加的字，供一般人稱呼）；有的還有號，即彆號。，明朝安徽休寜縣屯溪鎮前園村（今黃山市屯溪區前園村）人。程大位讀書很廣博，自幼愛好數學。常“不惜重資，以購求遺書”，“迂方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股諸書，輒厚資購得之”。20歲左右在長江中下遊地區經商，利用經商機會“邀遊吳楚，博訪文人達士”，遇有“睿通數學者，輒造請問難，孳孳（即孜孜）不倦”。程大位小商人傢，一生從未應科舉之試。就是在經商時他仍不忘對數學的研究，到處求師訪書，搜羅瞭很多古代與當時的數學書籍及民間數學資料。有空就讀書、寫心得體會，經過自己咀嚼、消化，開始進行著述。他博采眾長，大約在他40歲那一年，開始對舊的如1368年前元末安止齋、何平子閤著《詳明算法》類型的數學書進行修改，對吳敬《九章算法比類大全》（1450）進行刪補，並涉獵大量的數學資料，直到他進入60歲花甲那一年（1592），纔完成瞭他的傑作《直指算法統宗》十七捲共595個問題。解題時以算盤作為計算工具進行演算，與傳統的用籌（長短不等的小竹棍或骨製成）計算不同。繼後，他又對《算法統宗》“刪其繁蕪，揭其要領”，約束為《算法纂要》四捲，與十七捲本先後在屯溪刊行。
　　《算法統宗》是我國第一部最完善、係統的珠算說明書，也是一本比較完整、全麵的應用數學書，它的內容包括瞭清代經學傢所推崇的《九章算術》，既符閤民間工、農、商業的需要，也適用於數學知識並不很豐富的一般經學人士的需要，所以《算法統宗》在國內能得到廣泛和長久的流傳。公元1716年，程大位的族孫程世緩為翻刻這部書所寫的序中說：“風行宇內，迄今蓋已百有數十餘年。海內握算持籌之士，莫不傢藏一編，若業製舉者之於四子書、五經義、翕然以為宗”（大意是說，這本書齣版以後，風行國內一百幾十年，凡是研究算法的人，幾乎人手一冊，就像考科舉的人對待《四書》、《五經》一樣，奉為經典）。該書在國內外影響很大，曾流傳到朝鮮、日本等國。日本珠算就是在程大位影響下發展起來的。
　　在日本民間，還把程大位和日本數學傢關孝和（Sekikaua，約1642～1708）奉為“算神”來紀念。日本每年8月8日為“算盤節”，人們曾經
　　……

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