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內容簡介

　　《基礎代數學選講》定位在“抽象代數”的基礎之上，對相對基礎的“多項式代數”和“綫性代數”作齣高觀點和高能力下的審視，給齣必要的、自然的、適當的加寬和加深，以夯實學生的知識基礎，提高學生的數學素養。《基礎代數學選講》共分8講，內容包括：數域上的多項式，（並涉及由其定義的）多項式函數，綫性相關性（綫性代數的核心概念），關於綫性空間和綫性變換的其他基本事項（聯係更一般的模和模同態概念），綫性空間的直和分解（模的特殊情形），初等變換，初等矩陣與矩陣的等價標準形的應用開發，矩陣分塊運算的應用開發，自然數集與數學歸納法，非Klein意義上的“高觀點下的初等數學”。全書語言簡練，邏輯嚴密，注重培養學生的邏輯推理和抽象思維能力。
　　《基礎代數學選講》可作為高等院校數學類專業師生的教材，也可供其他科研工作者參考。

內頁插圖

目錄

前言
第1講 數域上的多項式，（並涉及由其定義的）多項式函數
1．1 關於不可約多項式的一個基本事實與若乾特殊的不可約多項式
1．1．1 基本事實
1．1．2 一類特殊的不可約多項式
1．1．3 另一類特殊的不可約多項式
1．1．4 矩陣的最小多項式
1．2 非負多項式的一個特徵
1．3 關於多項式的Fermat大定理的一個初等證明
1．3．1 關於整數的Fermat大定理
1．3．2 關於多項式的Fermat大定理
1．4 關於一元多項式的若乾注記
1．4．1 帶餘除法
1．4．2 餘數定理的幾種證明方法
1．4．3 零點-因子定理及其應用
1．4．4 多項式的最大（小）公因（倍）式
1．5 對稱與初等對稱多元多項式
1．5．1 多元多項式
1．5．2 對稱和初等對稱多項式
習題1

第2講 綫性相關性（綫性代數的核心概念）
2．1 涉及綫性相關性的幾組基本事實
2，2替換定理及其等價刻畫
2．3 涉及綫性變換（綫性映射）的綫性相關性
2．4 涉及內積的（即Euclid空間裏的）綫性相關性
2．5 關於矩陣秩概念的開發（I）
2．6 從嚮量組的綫性相關性到子空間組的綫性相關性（詳見第4講）
習題2

第3講 關於綫性空間和綫性變換的其他基本事項（聯係更一般的模和模同態概念）
3．1 模（綫性空間）公理間的獨立性及其他
3．1．1 模公理間的獨立性
3．1．2 模的Abel群
3．1．3 綫性空間上的綫性變換
3．2 綫性空間關於綫性變換的不變子空間
3．3 n維綫性空間中n-無關無限子集的若乾特徵及其存在性
3．4 n變數可逆綫性齊次代換的兩種幾何解釋及其聯係
3．4．1 解釋為域F上n維綫性空間上的綫性變換
3．4．2 A可逆時，式（3．5 ）又可解釋為域F上n維綫性空間上的坐標變換
3．4．3 A可逆時，式（3．5 ）的上兩種解釋的聯係
3．5 綫性映射（函數）與其錶示矩陣（嚮量）（“矩陣秩概念的開發（Ⅱ）”，用綫性函數給齣3．3 節的一個補充）
3．5．1 綫性映射與其錶示矩陣
3．5．2 矩陣秩概念的開發（兒）
3．5．3 用綫性函數給齣3．3 節的一個補充
3．6 對偶空間與“矩陣秩概念的開發（III）”
3．6．1 對偶空間與對偶基底
3．6．2 對偶綫性映射與矩陣秩概念的開發（III）
3．6．3 空間與其對偶空間的對偶性
3．6．4 綫性空間與其對偶空間的聯係
3．7 對稱雙綫性度量空間與綫性方程組可解的幾何解釋
3．8 Euclid空間與綫性方程組的最小二乘法
3．8．1 Euclid空間的基本概念和基本事實
3．8．2 嚮量到子空間的距離與綫性方程組的最小二乘法
3．9 具有對角形錶示矩陣的綫性變換
3．10 多重綫性函數和行列式的（一種）公理化定義
3．10．1 d-行列式的定義及性質
3．10．2 d-行列式恰為通常的行列式
3．10．3 d-行列式（作為行列式的公理化定義）的直接應用
3．11 多重綫性函數和Binet-Cauchy公式
3．12 若乾例題
習題3

第4講 綫性空間的直和分解（模的特殊情形）
4．1 綫性空間的（內）直和與外直和
4．1．1 綫性空間的（內）直和與外直和
4．1．2 用直和給齣3．3 節的另外兩個補充
4．2 綫性空間涉及綫性變換的若乾直和結構
……
第5講 初等變換，初等矩陣與矩陣的等價標準形的應用開發
第6講 矩陣分塊運算的應用開發
第7講 自然數集與數學歸納法
第8講 非Klein意義上的“高觀點下的初等數學”
參考文獻
索引

前言/序言

　　高校數學類專業為該專業本科生高年級開設的“代數學選講”課程，平行於“分析學選講”和“幾何學選講”等非傳統課程。據悉，國內各類高校中的大多數數學類專業已穩定開設此類課程二十餘年，中國科學技術大學龔舁教授生前就曾開設過“微積分學選講”和“綫性代數選講”等課程；哈爾濱工業大學吳從炘教授也多次為本科生高年級開設“分析學選講”課程（科學齣版社2011年齣版的《一元微積分深化引論》就是他開設此類課程的結晶之一），海外高校數學類本科的“××一學文獻選讀”類課程早已是本科高年級的傳統課程，其內容除自編外，還有引自相關文獻的，學生也承擔某些內容的報告，這類課程強調課堂討論。筆者認為，上述海內外兩種課程的共性，就應該是我們本書的寫作“宗旨”。本書為葉“數學選講”課程所編著，其素材大部分來源於作者在蘭州大學、雲南大學和西南大學開設“代數學選講”十餘次的手稿，其中也有部分內容是在國內近五十所院校為青年教師、研究生和七個數學基地班的學生，以及五次全國性高校教學研討班做過的係列演講內容。該課程位於若乾代數學基礎課程（諸如“高等代數”“抽象代數”）之後。它的開設宗旨定位在，對相對基礎的內容做齣高觀點和高能力下的審視，給齣必要的、自然的、適當的加寬和加深，以夯實學生的知識基礎，提高學生的數學修養（特彆是邏輯推理能力和抽象思維能力，這兩種能力是代數學尤其善於承擔培養的修養側麵），這對學生步入社會工作，或者繼續深造，都至關重要。
　　“基礎代數學選講”主要涉及代數學中最基礎的“多項式代數”和“綫性代數”（聯係到上述宗旨，這裏的審視是在“抽象代數學”觀點下的）。目前，所見到的選講類教材多局限於習題的分類解答，僅有微觀處理，並無宏觀審視，有濃厚的考研應試教育色彩，不吻閤於上述宗旨。這裏除瞭緊扣我們的宗旨，在內容上也處處展示著我們幾十年來在代數學教學上的研究成果，對內容的加寬和加深也本著必要、自然和適當的原則，在內容的整閤過程中，“高等代數”教材裏的已有事實，在需要時，也予以羅列，但一般地，不再提供證明過程，凡此種種，讀者皆能從本書各講、節的標題上見其一斑。
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