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內容簡介

哥德巴赫猜想、孿生素數、素數分布、華林問題，除數問題、圓內整點問題、整數分拆及黎曼猜想等著名數論問題吸引瞭古今無數的數學愛好者。《解析數論基礎》全麵詳細地討論瞭迄今為止研究這些問題的重要的分析方法、理論和結果，介紹瞭它們的曆史及新進展，是研究這些問題必不可少的入門書。

內頁插圖

目錄

目錄
序 i
符號說明 iv
緒論 1
第一章 Fourier變換 17
1. Fourier積分與Fourier變換 17
2. Mellin變換的反轉公式 19
3. Laplace變換的反轉公式20
第二章 求和公式 20
1. Abel分部求和法 22
2. Euler-MacLaurin求和法 24
3. Poisson求和法29
習題 35
第三章 F函數 39
1. 無窮乘積 39
2. F函數的基本性質 43
3. Stirling公式 49
習題 55
第四章 幾個函數論定理 57
1. Jensen定理 57
2. Borel-Caratheodory定理 60
3. Hadamard三圓定理 62
4. Phragmen-Lindelof定理 63
第五章 有窮階整函數 67
1. 有窮階整函數 67
2. 收斂指數與典型乘積 69
3. Hadamard因式分解定理 74
第六章D irichlet級數 79
1. 定義與收斂性 79
2. 唯一性定理 85
3. 常義Dirichlet級數的運算 86
4. 常義Dirichlet級數的Euler乘積錶示 92
5. 常義Dirichlet級數的Perron公式 96
6. 在垂直綫上的階 106
7. 積分均值公式 109
習題 110
第七章 （s）的函數方程與基本性質 123
1. 函數方程（一）（Euler一M acLaurin 求和法） 123
2. 函數方程（二）（復變積分方法） 130
3. 函數方程（三）（Poisson求和法） 134
4. 在s=1附近的性質 137
5. 最簡單的階估計 139
習題 143
第八章 （s）的零點展開式 156
1. （s）的無窮乘積 156
2. （s）和 （s）的零點展開式 157
3. 非顯然零點的簡單性質 160
4. 零點展開式的簡化 162
5. log 164
習題 166
第九章（s）的非顯然零點的個數 168
1. 基本關係式 168
2. 漸近公式（一） 169
3. 漸近公式（二）171
4. S（T）的性質 175
習題. 179
第十章（s）的非零區域 182
1. （1+ it）=0 182
2.非零區域（一）（整體方法） 184
3.非零區域（二）（局部方法） 186
習題 193
第十一章 素數定理 196
1. 問題的提齣和進展 196
2. （x）的錶示式 199
3. 素數定理 202
4. 定理 205
習題 209
第十二章 Riemann的貢獻 216
1. 劃時代的論文 216
2. Riemann猜想 219
3. Riemann猜想的推論及等價命題 222
習題 226
第十三章 Dirichlet特徵 229
1. 定義與基本性質 229
2. 原特徵 236
3. Gauss和 243
4. 簡單的特徵和估計 247
習題 251
第十四章 L（s，x）的函數方程與基本性質 258
1. 定義與最簡單的性質 258
2. 函數方程 260
3. 最簡單的階估計 267
習題 270
第十五章 L（s，x）/L（s，x）的零點展開式 272
1. L（s，x）/L（s，x）的無窮乘積 272
2. L（s，x）/L（s，x）的零點展開式 273
3. 非顯然零點的簡單性質 275
4. logL（s，x） 276
習題 277
第十六章 L（s，x）的非顯然零點的個數 278
1. 基本關係式 278
2. 漸近公式 279
3. 一點說明 280
習題 280
第十七章 L（s，x）的非零區域 281
1. 非零區域（一） 281
2. Page定理 295
3. Siegel定理 299
4. 非零區域（二） 303
習題 304
第十八章 算術數列中的素數定理 307
1. （x，y）的錶示式 307
2，算術數列中的素數定理 313
習題 317
第十九章 綫性素變數三角和估計 319
1. Bxaorpaaob方法 320
2. Vaughan方法 327
3. 零點密度方法 332
4 . 復變積分法 337
5. 小q情形的估計 344
習題 347
第二一十章 Goldbach猜想 353
1. Goldbach問題中的圓法 354
2. 三素數定理（非實效方法） 358
3. 三素數定理（實效方法） 364
4. Goldbach數 368
習題 376
第二十一章 Weyl指數和估計（一）（van der Corput方法） 379
1. 基本關係式 380
2. 基本估計式 387
3. 基本不等式 390
4. Weyl和估計 393
5. 反轉公式 395
6. 指數對理論 403
習題 410
第二十二章 Weyl指數和估計（二）（BHHorpaAoB方法） 412
1. 指數和的均值估計 412
2. Weyl和估計（a） 424
3. Weyl和估計（b） 428
習題 435
第二十三章 （s）與L（s，x）的漸近公式 442
1. （s，a）的漸近公式（一）442
2. L（s，x）的漸近公式.447
3. （s，a）的漸近公式（二） 452
4. （s，a）的漸近公式（三）461
5. 另一種類型的漸近公式 472
習題 475
第二十四章 （s）與L（s，x）的階估計 477
1. （ s，a）的階估計 477
2. L（s，x）的階估計 485
習題 491
第二十五章 （s）與L（s，x）的積分均值定理 492
1. （ s，a）的二次積分均值定理（一） 493
2. （ s，a）的二次積分均值定理（二） 502
3. L（s，x）的二次積分均值定理 509
4. （s）的四次積分均值定理 512
習題 520
第二十六章Waring 問題 522
1. Waring 問題中的圓法 525
2. 基本區間上的積分的漸近公式 526
3. 完整三角和估計 531
4. 奇異級數 536
5. 奇異積分 541
6. 餘區間上的積分的估計 542
7. 解數的漸近公式 543
8. G（k）的上界估計的改進 544
習題 548
第二十七章 Dirichlet除數問題 558
1. 問題與研究方法 558
2. 第一種方法 561
3. 第二種方法 568
習題 573
第二十八章 大篩法 577
1. 大篩法的分析形式 578
2. Gallagher方法 579
3. M01原理的應用（一） 582
4. 對偶原理的應用（二） 590
5. 大篩法的算術形式 600
6. Brun-Titchm arsh定理的改進 607
習題 615
第二十九章D irichlet多項式的均值估計 621
1. 大篩法型的特徵和估計 621
2. Dirichlet多項式的混閤型均值估計 629
3. （s）與L（s ，x）的四次均值估計 636
4. Halasz方法 643
習題 650
第三十章 零點分布（一） 652
1. 方法概述 653
2. 零點密度定理 660
3. 零點密度定理的改進 665
4. 函數的零點密度定理的進一步改進 668
5. 小區間中的素數分布 673
習題 677
第三十一章 算術數列中素數的平均分布 678
1. 問題的轉化 679
2. 第一個證明（零點密度方法） 683
3. 第二個證明（復變積分法）685
4. 第三個證明（Vaughan方法）690
習題 696
第三十二章 篩法 698
1. 基本知識 698
2. 組閤篩法的基本原理 710
3. 最簡單的Brun篩法 716
4. Brun篩法 722
5. Rosser篩法 732
6. Selberg上界篩法765
習題 787
第三十三章 零點分布（二） 801
1. 一個漸近公式 802
2. JAHIHHK零點密度定理 819
3. Deuring-Heilbronn現象 842
第三十四章 算術數列中的最小素數 856
1.問題的轉化 857
2.定理的證明 860
第三十五章Dedekindn函數867
1. 函數方程（一） 867
2. Dedekind和 874
3. 函數G（z，s） 879
4. 函數方程（二） 887
習題 890
第三十六章 無限製分拆函數 892
1. 無限製分拆函數p（n） 892
2. p（n）的上界及下界估計 896
3. p（n）的漸近公式 900
4. p（n）的級數展開式 907
參考書目 913

前言/序言

　　我們的老師閔嗣鶴教授50年代曾在北京大學數學力學係為數屆大學生、研究生講授解析數論，並把講課內容整理補充，寫成瞭《數論的方法，上、下冊》（科學齣版社，1958，1981）一書。這是國內第一本解析數論基礎教材，為在我國開展解析數論的研究和培養人纔方麵起瞭很大作用.近三十年來，解析數論得到瞭很大的發展，形成瞭一些新的分支（如Diophantus逼近，超越數論，模形式等），國際上也齣版瞭一些內容和側重麵不同的解析數論基礎書與專著。近年來國內熱心於學習研究解析數論的人也愈來愈多，因此，為瞭適應這種進展和讀者的需要，齣版一些解析數論各分支的基礎教材就是十分必要的瞭.1983年在王元同誌和科學齣版社的建議下，.我們就著手寫一本能夠比較全麵地介紹解析數論的基本方法、基本問題和基本理論，並反映它的近代發展的基礎教材。
　　從1978年至今，我們在山東大學和北京大學數學係為大學生、研究生開設瞭多屆解析數論課和討論班，編寫瞭講義，逐步積纍瞭各方麵的內容，這本書就是在這樣的基礎上整理、補充而成的.本書內容是這樣安排的：（一）第一至六章是必要的分析與函數論方麵的預備知識，這些內容在大學課程中一般是不講的；（二）以後各章介紹基本的研究方法，主要包括以下幾部分：（1）Riemann（函數與DirichletL函數的基本理論（第七至十七章，第二十三至二十五章），Dedekind，7函數的基本理論（第三十五章）；（2）復變積分法（第六章§5）；（3）指數和方法（第十九，二十一，二十二章及第二十六章§3）；（4）圓法（第二十，二十六，三十六章）；（5）大篩法，函數與L函數的零點分布（第二十八，二十九，三十，三十三章）；（6）篩法（第三十二章）；（三）討論瞭一些主要問題：（1）素數分布（第十一，十八，三十一，三十四章，第二十八章§6，及第三十二章§6定理8）；（2）Goldbach猜想與孿生素數猜想（第二十，三十二章）；（3）Waring問題（第二十六章）；（4）Dirichlet除數問題（第二十七章）；（5）無限製整數分拆問題（第三十六章）.本書不包括Kloostermann指數和及最近由此得到的解析數論的一些新結果，因為這些內容要涉及與傳統的解析數論方法截然不同的一個十分重要的領域，但這是一個值得注意的進展.通過這八年的教學實踐，我們認為本書所包含的內容可以為研究生在傳統解析數論方麵打下一個相當堅實的基礎，並能比較容易地閱讀文獻和獨立地進行研究工作.當然，對於隻要求知道一點解析數論最基本知識的讀者，選讀第一至二十及三十二章的部分內容就足夠瞭。
　　同通常編寫基礎書所遵循的原則一樣，我們重點是討論各種基本方法，以及應用於著名經典問題所得到的基本結果.當同一個內容有不同的重要處理方法時，我們將把這些方法及所得結果都加以介紹（例如，在第十九章中介紹瞭估計綫性素變數指數和的五種方法；在第二十一，二十二章中分彆介紹瞭估計Weyl指數和的兩種方法；在第三十一章中介紹瞭證明算術級數中素數分布的均值定理的三種方法；以及第三十二章中介紹瞭各種篩法）。
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