本書是《解題研究》的姊妹篇，專門針對數學常規問題，講述解題所需的知識、方法、技巧等，揭示解題所應追求的簡潔性和趣味性。本書適閤進行常規數學教與學活動的師生閱讀。本書分為三個部分：基礎部分（60節），提高部分（50節），附錄.基礎部分的問題，內容較淺，解法比較簡單.提高部分，內容較深，解法比較復雜。附錄搜集作者在《學數學》雜誌上發錶的一些文章。

作者簡介

單墫，我國著名數學傳播、普及和數學競賽的專傢。1964年畢業於揚州師範學院數學係，在中學、大學任教四十多年。
1983年獲理科博士學位（我國首批18名博士之一），1991年當選全國“優秀教師”，1991年7月起享受政府特殊津貼，1992年評為國傢有突齣貢獻的中青年專傢。1995年評為省“優秀學科帶頭人”。
單墫教授曾任南京師範大學數學係主任，中國數學奧林匹剋委員會委員、教練組組長，國傢教委理科試驗班專傢組組長，南京數學學會理事長。
單墫教授主要從事數論與組閤方麵的研究，很多成果達到國際先進水平。
1989年作為中國數學奧林匹剋代錶隊副領隊、主教練，1990年作為領隊，率隊參賽IMO均獲總分第1，為我國數學競賽事業作為很大貢獻。

內頁插圖

基礎部分
1 溶液濃度
2 力求簡單
3 整數好算
4 從何切入
5 立方體的展開
6 階乘好大啊！
7 又見階乘
8 等比的值
9 最簡單的證法
10 彆沒事找事
11 如願以償
12 化為互質
13 是平方數
14 唯有一個
15 條件太多
16 五人閤作
17 1的變形
18 變為同分母
19 盯緊分母
20 瞄準目標
21 沒有根式
22 一個恒等式
23 配方更好
24 又用配方
25 無需花招
26 何需套路
27 弄巧成拙
28 一次函數
29 變更原點
30 列錶更好
31 盡信書，不如無書
32 用判彆式？
33 三次根式
34 不可忽視
35 不解風情
36 根的正負
37 函數單調
38 先定範圍
39 中點距離
40 先抓西瓜
41 拼圖遊戲
42 知識障
43 麵積之比
44 六邊形麵積
45 芝麻，開門
46 尋找條件
47 改造題目
48 排定大小
49 第六種證法
50 老封編的題
51 倒立而行
52 座位相鄰
53 復數，並不復雜
54 取數
55 多項式
56 中位數
57 一座雄關
58 復數又來瞭
59 子集族個數
60 集閤個數
未帶地圖的旅人

提高部分
61 葉中豪的題
62 薑霽恒的題
63 外心的對稱點
64 西摩鬆綫
65 對稱性
66 有與沒有
67 三分之一
68 一道競賽題的推廣
69 新編幾何題
70 相交的圓
71 兩圓相切
72 又是兩圓相切
73 無窮多個平方數
74 難親數列
75 蒼蠅、蠅魂
76 幽靈數列
77 沿數軸前進
78 侶伴數列
79 代數式的值
80 冪和的不等式
81 整數逼近
82 標準化
83 兩組正整數
84 整數組數
85 多個函數
86 一個多項式
87 乘積的項數
88 上要封頂
89 柳暗花明
90 完全剩餘係相加
91 添加元素
92 數論函數
93 廉潔不廉潔
94 四進製
95 差分再來
96 復數的模
97 遞推與歸納
98 不動點
99 又一個函數
100 元素、集閤
101 功不唐捐
102 元素的和
103 集閤、映射
104 好子集
105 元素的和相等
106 暗示
107 元數的最大值
108 小孩買糖
109 圖的染色
110 友好的賽事
眼界與品味

附錄
1 代數問題應當用代數解法
2 近在眼前
3 相似形、透視形、位似形
4 一題五解
5 兩道2013年江蘇高考題
6 三次函數與中心對稱
7 談談提高解題能力
8 解首屆“學數學”邀請賽的感想
9 Mobius函數
10 再談提高解題能力
11 也談一道競賽題的純幾何解法
12 兩道高考題
13 每道題做三遍
14 一同做2015年江蘇省數學高考試題
15 Ramanujam的一個恒等式
16 解第30屆中國數學奧林匹剋試題
17 簡評第二屆“學數學”數學奧林匹剋邀請賽（鞦季賽）
18 談第55屆國際數學奧林匹剋試題的解法
19 做第三屆“學數學”邀請賽（春季賽）的試題

精彩書摘

1. 溶液濃度
問題：A瓶裝180毫升濃度為35.5%的某種溶液，B瓶裝120毫升濃度為67.2%的同種溶液。從A、B取齣等量的溶液，然後分彆倒入B、A.混閤後兩瓶溶液恰好相等。問各取齣多少毫升溶液？
甲：這個濃度問題，我會做。
師：那你就做一做。
乙：這題我也會做。
師：我把數據改一改，35.5%、67.2%分彆改為32.5%、58.4%.你做做看。
過瞭一會，兩人都做好瞭。
甲：答案是72毫升。
乙：我的答案也是72毫升。
甲：題目數據不同，怎麼答案恰好一樣，太巧瞭。
師：看看你們怎麼做的。
甲：我用算術方法。
乙：我用代數方法。
師：進入中學，用代數方法更多，我們先看看乙的做法。
乙：設各取齣x毫升，則
(180-x)×35.5%+x·67.2%180=(120-x)×67.2%+x·35.5%120
然後去分母整理，最後得齣結果。
甲：不見得比算術方法好。
乙：老師怎麼做的？師：我的方法和你的差不多。同樣設取齣x毫升.但將題目中的數據改成字母：A瓶有a毫升濃度為p的溶液，B瓶有b毫升濃度為q的溶液(p≠q)。
甲：那麼方程就是
(a-x)p+xqa=(b-x)q+xpb
去分母整理得
(a+b)(p-q)x=ab(p-q)
因為p≠q，所以
x=aba+b.(1)
在a=180,b=120時，x=72。
乙：這比數的計算簡單。
甲：不論p、q為什麼值，答案都是(1)。
師：代數就是用字母代替數.用字母代替數後，不但計算簡單（避免瞭繁瑣的數值計算），而且具有一般性，容易看到規律.學習代數後，就應當自覺地用字母代替數，力求得齣一般的結果。
所謂好的解法，就是簡單而又一般的解法。
評注：引入字母後，數學發生瞭巨大的變化。研究的對象不僅是數，而且還有字母。字母可以代錶數（起初就是這樣），也可以不代錶數（比如代錶嚮量、矩陣等等）。字母自成體係（或稱為係統），可以有各種運算與規則（比如矩陣可以定義乘法，滿足結閤律，卻不滿足交換律）。
2. 力求簡單
問題酒精與水的溶液中，酒精∶溶液總量=k∶m.如果再加x個單位的水或者去掉x個單位的酒精（x≠0），那麼得到的酒精∶溶液總量的比都相同。求這新的比的數值。
師：還是濃度問題。
甲：不妨設原溶液中有k個單位酒精，(m-k)個單位水。由題意
km+x=k-xm-x(1)
去分母，整理得
x(x+m-2k)=0(2)
所以
x=2k-m(3)
代入（1）的左邊得新比的值為
km+x=k2k=12
乙：我設新比為r，則
k=(m+x)r(4)
k=(m-x)r+x(5)
(4)-(5)得
2xr=x(6)
所以
r=12.
師：不求x，直接得齣r。等二種解法稍簡單一些。
甲：還有其它解法嗎？
師：題意，在兩種情況，酒精與溶液總量的比相等。其中第二種情比第一種，酒精少x個單位，水也少x個單位，即總量少2x個單位。如果將酒精為x個單位，溶液總量為2x個單位的溶液加到第二種情況的溶液中，那麼就變為第一種情況，而濃度（酒精與溶液問題的比）不變。所以加入，濃度與它們也相同，即濃度為x2x=12。
乙：這種解法更加簡單。
師：其實這種解法與你們的解法並無實質的差異，隻不過省去瞭一些形式上的演算.但省去形式上的演算，更多地用腦思考，對發展思維能力是有益的。
很多數學會議休息時，數學傢們邊喝咖啡邊討論問題。這時不可能進行紙麵上的演算，更需要直接剖析問題的本質。
數學傢Erd s曾說：數學傢是將咖啡轉變成定理的機器”。

前言/序言

這本《解題漫談》與已齣版的《解題研究》、《我怎樣解題》，屬於解題係列，精神是一緻的：以自己解過的題為例子，加以分析與討論，著重描述探究的過程，闡述我們怎樣解題。
本書分為三個部分：基礎部分（60節），提高部分（48節），附錄。
基礎部分的問題，內容較淺，解法比較簡單.提高部分，內容較深，解法比較復雜.附錄搜集我在《學數學》雜誌上發錶的一些文章。
怎樣提高解題能力？這是一個大傢關心的問題。
首先，自己得解一定數量的題，其中有一些稍難的，需要動腦筋，不能依樣畫葫蘆的題。
解題是一種實踐性的智力活動，必須勤練纔能嫻熟，嫻熟纔能生巧。
有人說：“做瞭很多題，解題能力仍未提高。為什麼？”
這多半是由於沒有及時做好總結。
每次做完一道不太簡單的題，一定要迴顧一遍.弄清：需要哪些步驟？哪些是必須的？哪些是多餘的（可以去掉）？哪些步驟是關鍵步驟？有無其它解法？能否解得更好？
這種總結工作，正是提高解題能力的最重要的一環。
如果有朋友在一起討論更好。
最近在網上看到一個帖子，說不喜歡我，因為我“老是指齣彆人的解有錯”，“說彆人的解不好。”
我想瞭一想，的確寫過幾篇糾錯的文章。但數學是一門科學.科學就要求真，就要糾錯。
鑰匙不僅要明辨是非，弄清對錯，還應當精益求益，尋求最佳的解法，隻有這樣，解題能力纔能得到提高。
所以我還得寫一些文章，寫一些書皮，談解題中的問題。有錯誤就得糾正，有不妥就應當指齣，這教師與人為善的態度。當然，不要進行人身攻擊，貶低彆人。好像打球，衝著球（問題）去，而不是衝著人去。
對於自己的錯誤，當然更不能寬容。寫這本書頗費功夫，改瞭多次，反復琢磨能不能把解答做得更好一些。但現在年齡大瞭，精力不夠，常有照顧不周的地方，請讀者與朋友多加批評。
基礎部分
基礎部分的問題比較容易，乃至的知識較少（很多隻需要實踐的數學）。
基礎極為重要.基礎未打好就忙於提高，就如在沙灘上建築高樓，也像楷書還未學好，就去寫狂草，當然不易成功。據我觀察，不少高三學生，實踐基礎並未打好。即使是參加競賽的選手，也有一些人需要加固基礎。
良好的解題習慣應當在打基礎時養成（不良習慣也應在這時及早糾正）。
遇到問題，要認真讀題，弄清已知與求證（或求），不僅要瞭解其意義，記在胸中，還要知道相關知識，如已知三角形是直角三角形，就應知道兩個銳角互餘，斜邊中綫是斜邊的一邊，勾股定理，…，如果求證四邊形是平行四邊形，就應考慮兩組對邊平行、兩組對邊相等、一組對邊平行且相等、對角綫互相平分、……等有關的判定定理。
在這一部分，我們要介紹一些基本的技巧與手法，也介紹一些基本的解題方法。每道題都加以分析、討論與總結。