本書是作者多年來在大學生數學競賽輔導和考研輔導經驗的基礎上編寫而成的．全書共分為13 章，每章包括4 個模塊，即知識要點、典型例題分析、深化訓練以及深化訓練詳解．本書編寫的目的主要有兩個：一是幫助工科類、經管類本科生備考全國大學生數學競賽，使學生能夠在短時間內迅速掌握各種解題方法和技巧，提升學生綜閤分析問題、解決問題的能力；二是為瞭滿足工科類、經管類本科生考研的需要. 在例題和習題選編方麵，精選瞭部分有代錶性的數學競賽真題和考研真題，同時注重例題、習題的創新，按題型分類進行閤理編排，使學生能夠盡快地適應考研題型，從容應對考試.本書既可以作為普通高等院校工科類、經管類本科生參加全國大學生數學競賽的輔導用書，也可以作為工科類、經管類本科生考研深化訓練用書．

作者簡介

劉強博士，教授，博士生導師，現任首都經濟貿易大學統計學院副院長，兼任全國工業統計學教學研究會常務理事及常務副秘書長，北京應用統計學會常務理事，中國商業經濟學會經濟數學研究分會常務理事，北京大數據協會理事等；先後入選北京市中青年骨乾人纔，北京市優秀人纔，北京市中青年拔尖人纔等。長期從事高等教育教學、考研數學、數學競賽、經濟數據分析、復雜數據分析等方麵的教學、科研工作。

目錄

第1章函數 1
1．1 知識要點 1
1．1．1 函數 1
1．1．2 常用不等式 1
1．1．3 反函數 2
1．1．4 復閤函數 2
1．1．5 關於函數錶達式的求解 2
1．1．6 一些常用的三角公式 2
1．1．7 一些常用的代數公式 3
1．2 典型例題分析 4
1．2．1 題型一、函數錶達式的求解與證明 4
1．2．2 題型二、復閤函數問題 6
1．2．3 題型三、函數的四種幾何特性 7
1．3 深化訓練 9
1．4 深化訓練詳解 10
第2章極限與連續 12
2．1 知識要點 12
2．1．1 極限的概念與性質 12
2．1．2 無窮小量與無窮大量 13
2．1．3 四個極限存在準則與兩個重要極限 14
2．1．4 幾個重要的結論 15
2．1．5 施篤茲（O．Stolz）定理 15
2．1．6 柯西（Cauchy）定理 15
2．1．7 關於函數的連續性 16
2．1．8 求極限的常用方法 16
2．2 典型例題分析 16
2．2．1 題型一、利用極限的分析定義求極限 16
2．2．2 題型二、利用初等變換方法求極限 18
2．2．3 題型三、利用四個極限存在準則求極限 19
2．2．4 題型四、利用施篤茲定理求極限 22
2．2．5 題型五、利用兩個重要極限求極限 23
2．2．6 題型六、利用等價無窮小量替換求極限 24
2．2．7 題型七、利用中值定理求極限 25
2．2．8 題型八、利用定積分的定義求極限 28
2．2．9 題型九、函數的連續性問題 29
2．2．10 題型十、連續函數的等式證明問題 32
2．3 深化訓練 33
2．4 深化訓練詳解 36
第3章導數與微分 44
3．1 知識要點 44
3．1．1 導數的概念 44
3．1．2 導數的幾何意義 44
3．1．3 高階導數 45
3．1．4 復閤函數的求導法則 45
3．1．5 反函數求導法則 45
*3．1．6 參數方程所確定的函數的導數 46
3．1．7 幾個重要的結論 46
3．1．8 達布（Darboux）定理 46
3．2 典型例題分析 46
3．2．1 題型一、導數的定義問題 46
3．2．2 題型二、反函數、復閤函數求導問題 48
3．2．3 題型三、導數的幾何意義 49
3．2．4 題型四、利用導數的定義求極限 50
3．2．5 題型五、分段函數的導數問題 51
3．2．6 題型六、高階導數問題 51
3．2．7 題型七、隱函數的求導問題 54
3．2．8 題型八、導數的等式證明問題 54
3．2．9 題型九、導函數的連續性問題 55
*3．2．10 題型十、導數的參數方程問題 56
3．2．11 題型十一、導數的綜閤問題 57
3．3 深化訓練 58
3．4 深化訓練詳解 60
第4章微分中值定理 64
4．1 知識要點 64
4．1．1 中值定理 64
4．1．2 一些常用的麥剋勞林公式 65
4．1．3 一些常用的結論或公式 66
4．2 典型例題分析 66
4．2．1 題型一、利用中值定理證明等式問題 66
4．2．2 題型二、利用中值定理證明不等式問題 69
4．2．3 題型三、利用中值定理證明恒等式 73
4．2．4 題型四、函數的零點、方程的根的問題 74
4．2．5 題型五、利用泰勒公式求極限 75
4．2．6 題型六、利用泰勒公式證明等式 80
4．2．7 題型七、利用泰勒公式證明不等式 80
4．2．8 題型八、泰勒公式的其他應用 82
4．3 深化訓練 82
4．4 深化訓練詳解 84
第5章導數的應用 89
5．1 知識要點 89
5．1．1 洛必達法則 89
5．1．2 函數的單調性 89
5．1．3 函數的極值與最值 89
5．1．4 麯綫的凹凸區間與拐點 89
5．1．5 麯綫的漸近綫 90
5．1．6 函數圖形的描繪 90
*5．1．7 麯率、麯率圓與麯率半徑 90
5．2 典型例題分析 91
5．2．1 題型一、洛必達法則的應用 91
5．2．2 題型二、利用單調性或極值證明不等式 94
5．2．3 題型三、函數的極值問題 96
5．2．4 題型四、函數的零點、方程的根的問題 99
5．2．5 題型五、凹凸性問題 100
5．2．6 題型六、漸近綫問題 100
5．2．7 題型七、函數圖形的描繪 102
5．2．8 題型八、方程的近似解 102
*5．2．9 題型九、麯率問題 103
5．3 深化訓練 104
5．4 深化訓練詳解 105
第6章不定積分 113
6．1 知識要點 113
6．1．1 不定積分的定義與性質 113
6．1．2 換元積分法 113
6．1．3 分部積分法 114
6．1．4 有理函數的積分法 114
6．1．5 三角函數有理式的積分法 114
6．1．6 簡單無理函數的積分法 115
6．1．7 常用積分公式錶 115
6．2 典型例題分析 116
6．2．1 題型一、利用換元法、分部積分法求解不定積分 116
6．2．2 題型二、利用等式求解不定積分 120
6．2．3 題型三、利用三角替換方法求解不定積分 121
6．2．4 題型四、求解三角有理函數的不定積分 123
6．2．5 題型五、遞推公式問題 124
6．2．6 題型六、分段函數問題 125
6．2．7 題型七、隱函數的積分 126
6．3 深化訓練 126
6．4 深化訓練詳解 128
第7章定積分 134
7．1 知識要點 134
7．1．1 定積分的概念 134
7．1．2 定積分的基本性質 135
7．1．3 積分中值定理 135
7．1．4 變上限積分函數 136
7．1．5 定積分的計算 136
7．1．6 反常積分（或廣義積分） 136
7．1．7 函數 137
7．1．8 定積分的應用 137
7．1．9 幾個重要的結論 139
7．2 典型例題分析 140
7．2．1 題型一、定積分的求解 140
7．2．2 題型二、變限積分問題 141
7．2．3 題型三、積分不等式問題 142
7．2．4 題型四、積分等式問題 146
7．2．5 題型五、反常積分問題 148
7．2．6 題型六、積分的應用問題 149
7．2．7 題型七、定積分的其他問題 153
7．3 深化訓練 156
7．4 深化訓練詳解 158
第8章多元函數微分學 166
8．1 知識要點 166
8．1．1 二元函數的極限與連續性 166
8．1．2 偏導數 166
8．1．3 高階偏導數 167
8．1．4 全微分 168
*8．1．5 方嚮導數與梯度 168
8．1．6 多元復閤函數微分法 169
8．1．7 隱函數微分法 169
8．1．8 多元函數的極值 169
8．1．9 條件極值與拉格朗日乘數法 170
8．1．10 多元函數的最值 170
8．2 典型例題分析 170
8．2．1 題型一、多元函數的極限與連續問題 170
8．2．2 題型二、偏導數的概念問題 172
8．2．3 題型三、多元函數的全微分問題 174
*8．2．4 題型四、多元函數的方嚮導數和梯度的求解 176
8．2．5 題型五、多元函數的復閤求導與隱函數求導問題 177
8．2．6 題型六、多元函數的極值和最值問題 183
8．2．7 題型七、多元函數微分學的綜閤問題 185
8．3 深化訓練 187
8．4 深化訓練詳解 189
第9章多元函數積分學 192
9．1 知識要點 192
9．1．1 二重積分的概念 192
9．1．2 二重積分的性質 192
9．1．3 直角坐標係下二重積分的計算 193
9．1．4 極坐標係下二重積分的計算 193
9．1．5 二重積分的對稱性原理 194
*9．1．6 二重積分的換元公式 194
*9．1．7 三重積分的概念 195
*9．1．8 三重積分的計算 195
*9．1．9 三重積分的換元法 196
*9．1．10 三重積分的對稱性原理 196
9．2 典型例題分析 197
9．2．1 題型一、二重積分的概念與性質問題 197
9．2．2 題型二、二重積分的基本計算方法 198
9．2．3 題型三、分段函數的二重積分 200
9．2．4 題型四、利用對稱性原理計算二重積分 201
9．2．5 題型五、二重積分的換元積分法 205
9．2．6 題型六、二重積分的應用問題 206
9．2．7 題型七、二重積分的相關證明 207
9．2．8 題型七、二重積分的綜閤問題 209
*9．2．9 題型八、三重積分的性質與計算 214
9．3 深化訓練 218
9．4 深化訓練詳解 220
第10章常微分方程 224
10．1 知識要點 224
10．1．1 微分方程的基本概念 224
10．1．2 一階微分方程的解法 224
10．1．3 可降階的二階微分方程 225
10．1．4 二階綫性微分方程解的結構 226
10．1．5 二階常係數綫性微分方程的解法 226
*10．1．6 高階綫性微分方程 227
*10．1．7 歐拉方程 227
10．2 典型例題分析 228
10．2．1 題型一、可分離變量微分方程與齊次微分方程的求解 228
10．2．2 題型二、一階綫性微分方程與伯努利方程的解法 229
10．2．3 題型三、全微分方程的解法 231
10．2．4 題型四、可降階的二階微分方程的解法 232
10．2．5 題型五、二階綫性微分方程解的結構 233
10．2．6 題型六、二階常係數綫性微分方程的解法 234
10．2．7 題型七、微分方程的綜閤問題 237
*10．2．8 題型八、微分方程建模問題 242
10．3 深化訓練 245
10．4 深化訓練詳解 247
第11章無窮級數 252
11．1 知識要點 252
11．1．1 數項級數的定義與性質 252
11．1．2 級數斂散性的判彆 253
11．1．3 三個重要的級數 254
11．1．4 函數項級數的概念 254
11．1．5 冪級數的有關概念 255
11．1．6 冪級數的和函數的性質 255
11．1．7 初等函數展開成x?x0的冪級數 256
*11．1．8 函數項級數的一緻收斂性及性質 256
*11．1．9 傅裏葉級數 257
11．2 典型例題分析 259
11．2．1 題型一、正項級數斂散性的判定 259
11．2．2 題型二、任意項級數斂散性的判定 265
11．2．3 題型三、函數項級數收斂域的求解 268
11．2．4 題型四、級數收斂充要條件的應用 269
11．2．5 題型五、求解數項級數的和 273
11．2．6 題型六、冪級數收斂半徑及收斂域的求解 276
11．2．7 題型七、求解冪級數的和函數 278
11．2．8 題型八、函數的冪級數展開 283
*11．2．9 題型九、傅裏葉級數的相關問題 286
11．2．10 題型十、無窮級數的應用問題 287
11．3 深化訓練 288
11．4 深化訓練詳解 291
*第12章空間解析幾何與嚮量代數 302
12．1 知識要點 302
12．1．1 嚮量的概念及綫性運算 302
12．1．2 平麵方程及其相關概念 303
12．1．3 直綫及其錶示 303
12．1．4 麯麵及其錶示 304
12．1．5 空間麯綫 304
12．2 典型例題分析 305
12．2．1 題型一、嚮量的運算問題 305
12．2．2 題型二、空間直綫、平麵方程的求解 305
12．2．3 題型三、討論直綫與平麵的位置關係 307
12．2．4 題型四、鏇轉麯麵方程的求解 308
12．2．5 題型五、空間麯綫、麯麵問題 309
12．3 深化訓練 310
12．4 深化訓練詳解 311
*第13章麯綫積分與麯麵積分 313
13．1 知識要點 313
13．1．1 第一類麯綫積分的概念及計算 313
13．1．2 第二類麯綫積分的概念及計算 314
13．1．3 格林公式及其應用 315
13．1．4 第一類麯麵積分的概念與計算 315
13．1．5 第二類麯麵積分的概念與計算 316
13．1．6 高斯公式與斯托剋斯公式 318
13．2 典型例題分析 319
13．2．1 題型一、第一類麯綫積分的求解 319
13．2．2 題型二、第二類麯綫積分的求解 319
13．2．3 題型三、格林公式的應用 322
13．2．4 題型四、第一類麯麵積分的求解 328
13．2．5 題型五、第二類麯麵積分的求解 332
13．2．6 題型六、高斯公式的應用 332
13．2．7 題型七、斯托剋斯公式的應用 335
13．2．8 題型八、麯綫、麯麵積分的實際應用 336
13．3 深化訓練 338
13．4 深化訓練詳解 340
第二十四屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類） 348
第二十五屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類） 350
第五屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類） 352
第六屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類） 353
第二十四屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類）解答 354
第二十五屆北京市大學生數學競賽試題
（經濟管理類）解答 358
第五屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類）解答 363
第六屆全國大學生數學競賽預賽試題
（非數學類）解答 368
參考文獻 372

前言/序言

前言

為瞭讓學生更好、更快地掌握所學知識，同時結閤工科類、經管類本科生參加數學競賽和報考研究生的需要，應電子工業齣版社的邀請，我們編寫瞭高等院校工科類、經管類數學深化訓練與考研輔導叢書. 該叢書包括《高等數學深化訓練與大學生數學競賽教程》、《高等數學復習指導與深化訓練》、《微積分復習指導與深化訓練》、《綫性代數復習指導與深化訓練》和《概率論與數理統計復習指導與深化訓練》等輔導教材，由首都經濟貿易大學的劉強教授擔任叢書主編.

本書為《高等數學深化訓練與大學生數學競賽教程》分冊. 自1988年第一屆北京市大學生數學競賽舉辦以來，到現在北京市數學競賽已經成功舉辦瞭27屆，每年的數學競賽都吸引瞭北京各大高校眾多優秀學生積極參與．北京市數學競賽也由最初單一的非理科數學競賽演化到現在包括數學專業、非數學專業、經濟管理類，以及高職高專類多層次、多類彆的大型賽事.值得一提的是，自2010年首屆全國大學生數學競賽舉辦以來，到現在已經成功舉辦瞭7屆，全國數學競賽的推齣進一步加快瞭我國大學生數學競賽的發展，極大地激發瞭大學生的數學學習熱情，一方麵數學競賽提高瞭學生的數學學習質量，另一方麵也為學生以後參加考研打下瞭堅實的數學基礎．

本書編寫的主要目有兩個：一是為瞭滿足工科類、經管類本科生參加數學競賽的需要；二是為瞭滿足工科類、經管類學生考研深化訓練的需要.在例題和習題選編方麵，作者結閤多年來數學競賽輔導和考研輔導經驗，精選瞭部分有代錶性的數學競賽真題和考研真題，同時注重例題習題的創新，並進行閤理編排，使學生能夠盡快地適應數學競賽與考研，從容麵對考試.關於教材的定位，從數學競賽的角度來看，本教材主要是針對工科類（非數學專業）和經管類大學生數學競賽而編寫的；從考研的角度來看，本教材能夠滿足數學一和數學三高等數學備考的需要.

全書共分為13章，每章包括4個模塊，即知識要點、典型例題分析、深化訓練、深化訓練詳解．具體模塊內容為：

1．知識要點本模塊對基本概念、基本理論、基本公式等內容進行係統梳理，方便讀者查閱相關內容．

2．典型例題分析本模塊創新性地構思瞭大量有代錶性的例題，並選編瞭部分國內外優秀教材、輔導資料的經典題目，匯集瞭一些有代錶性的數學競賽真題，按照知識結構、解題思路、解題方法等脈絡對典型例題進行瞭係統歸類，通過專題講解，詳細闡述瞭相關問題的解題方法與技巧．

3．深化訓練本模塊精心選編瞭部分具有代錶性的習題以及曆年的數學競賽、考研真題，幫助讀者鞏固強化所學知識，提升讀者學習效果，做到融會貫通和舉一反三．

4．深化訓練詳解本模塊對深化訓練部分給齣瞭詳細的解答過程，部分習題給齣多種解法，以開拓讀者的解題思路，培養讀者的分高等數學深化訓練與大學生數學競賽教程下載 mobi epub pdf txt 電子書

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