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內容簡介

　　微積分作為整個數理知識體係的基石，不僅對後續諸多數理知識體係的研習具有基礎性的意義，而且微積分知識體係自身就為認識世界提供瞭係統的思想與方法。
　　《微積分講稿：高維微積分》主要針對嚮量值映照建立微分學與積分學，另包括級數。高維微分學主要包括：點列的極限、嚮量值映照的極限、嚮量值映照的可微性與導數、多元函數的分析性質、多元函數的無限小分析方法、多元函數與嚮量值映照的有限增量公式與估計、隱映照定理及其應用、逆映照定理及其應用等。高維積分學主要包括：麯綫、麯麵上積分的建立、閉方塊上Riemann積分的Darboux分析與Lebesgue定理、Fubini定理與體積分換元公式、廣義積分與含有參變量的積分、Gauss-Ostrogradskii公式、Green公式、Stokes公式與場論基礎等。級數主要包括：數項級數、函數項級數、冪級數、Fourier級數等。
　　《微積分講稿：高維微積分》按知識點劃分各份講稿（對應於章），每一講稿包括：（1）理論闡述，按知識要素展開，並體現分析的圖示化過程；（2）應用事例，歸類相關方法使其可適用於一類問題，而非僅是例題的羅列；（3）拓廣深化，緻力於將相關思想與方法聯係於其他知識體係，為專題性研究以及理論聯係實際提供事例。藉此，本講稿兼具理論教程、課程輔導以及拓廣深化這三方麵的功能。講稿撰寫上注重體現知識體係的脈絡結構、邏輯發展、思想方法；為便於閱讀，在寫作上注重演繹推導過程完整，應用事例豐富。
　　《微積分講稿：高維微積分》可作為力學、物理學、數學、航空宇航科學與技術、材料科學、計算機科學等相關專業的本科生與研究生的微積分教程，亦可作為相關科學與技術研究的參考。

內頁插圖

目錄

前言
符號錶

第一部分 高維微分學
第一章 嚮量值映照的背景
§1．1 知識要素
§1．1．1 嚮量值映照
§1．1．2 範數與距離
§1．1．3 Euclid空間中的點列
§1．2 應用事例
§1．2．1 極坐標係
§1．2．2 柱坐標係
§1．2．3 球坐標係
§1．2．4 橢圓柱坐標係
§1．2．5 雙極柱坐標係
§1．3 拓廣深化
§1．4 建立路徑
第二章 嚮量值映照的極限
§2．1 知識要素
§2．1．1 嚮量值映照極限的定義
§2．1．2 嚮量值映照極限的分析性質
§2．1．3 嚮量值映照極限的計算方法
§2．1．4 Euclid空間中點集拓撲基礎
§2．2 應用事例
§2．2．1 基於路徑分析
§2．2．2 基於極坐標分析
§2．2．3 纍次極限
§2．3 建立路徑
第三章 嚮量值映照的可微性與導數的計算方法
§3．1 知識要素
§3．1．1 嚮量值映照的可微性定義
§3．1．2 方嚮導數
§3．1．3 高階偏導數
§3．1．4 導數計算的充分性方法
§3．1．5 導數計算的極限分析方法
§3．2 應用事例
§3．2．1 導數計算的充分性方法
§3．2．2 導數計算的極限分析方法
§3．2．3 矩陣形式的鏈式求導
§3．3 拓廣深化
§3．3．1 單參數嚮量值映照的變化率
§3．3．2 單參數單位正交基的變化率
§3．3．3 速度與加速度等閤成原理
§3．3．4 角速度與角速度閤成原理
§3．3．5 單位正交基下速度與加速度的錶示
§3．4 建立路徑
第四章 基於直綫單參數化的相關分析結論
§4．1 知識要素
§4．1．1 直綫單參數化
§4．1．2 多元函數可微性的一個充分性條件
§4．1．3 多元函數混閤偏導數可以交換次序的一個充分性條件
§4．2 建立路徑
第五章 無限小分析方法
§5．1 知識要素
§5．1．1 基於直綫單參數化獲得無限小增量公式
§5．1．2 多項式逼近的唯一性
§5．1．3 獲得多元高階多項式逼近的實際方法
§5．1．4 自由最值問題
§5．1．5 多元函數展開至二階的幾何意義
§5．2 應用事例
§5．2．1 自由最值問題
§5．2．2 獲得復雜函數的多元高階多項式逼近
§5．3 建立路徑
第六章 有限增量公式或估計
§6．1 知識要素
§6．1．1 基於直綫單參數化的多元函數的有限增量公式
§6．1．2 基於麯綫單參數化的多元函數的有限增量估計
§6．1．3 基於麯綫單參數化的嚮量值映照的有限增量估計
§6．2 建立路徑
第七章 麯綫嚮量值映照
§7．1 知識要素
§7．1．1 麯綫的切嚮量與切綫
§7．1．2 麯綫的局部標架與其運動方程
§7．1．3 麯綫的局部參數化
§7．2 應用事例
§7．3 建立路徑
第八章 麯麵嚮量值映照
§8．1 知識要素
§8．1．1 麯麵的切平麵與法嚮量
§8．1．2 麯麵的基本形式
§8．1．3 麯麵的 Gauss麯率與平均麯率
§8．1．4 麯麵的局部標架與其運動方程
§8．1．5 麯麵的法截綫與主法截綫
§8．1．6 麯麵的局部參數化
§8．2 應用事例
§8．2．1 二維Monge型麯麵的Gauss麯率及平均麯率
§8．2．2 鏇成麯麵的Gauss麯率及平均麯率
§8．3 建立路徑
第九章 隱映照定理
§9．1 知識要素
§9．1．1 Euclid空間中閉集上的壓縮映照定理
§9．1．2 由壓縮映照定理獲得隱映照定理
§9．1．3 隱函數導數的計算方法
§9．2 應用事例
§9．2．1 隱函數的導數計算
§9．2．2 隱映照的導數計算
§9．3 拓廣深化
§9．3．1 基於壓縮映照定理研究動力係統的解的存在性
§9．3．2 基於壓縮映照定理研究動力係統的解對初值的連續依賴性
§9．4 建立路徑
第十章 隱映照定理的應用（麯綫與麯麵的隱式錶示）
§10．1 知識要素
§10．1．1 隱映照定理
§10．1．2 麯綫的隱式錶示
§10．1．3 麯麵的隱式錶示
§10．2 應用事例
§10．2．1 麯綫的隱式錶示
§10．2．2 麯麵的隱式錶示
§10．3 建立路徑
第十一章 隱映照定理的應用（約束上的最值問題）
第十二章 逆映照定理與微分同胚
第十三章 隱映照定理與逆映照定理的綜閤應用

第二部分 高維積分學
第十四章 積分應用理論
第十五章 積分分析理論（Darboux和分析）
第十六章 積分分析理論（Lebesgue定理）
第十七章 計算理論（Fubini定理）
第十八章 計算理論（體積分換元公式）
第十九章 廣義積分與含參變量的積分
第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
第二十一章 Green公式
第二十二章 Stokes公式
第二十三章 場論基礎

第三部分 級數
第二十四章 正項數項級數
第二十五章 一般數項級數
第二十六章 函數項級數
第二十七章 冪級數
第二十八章 Fourier級數

名詞索引
插圖目錄
參考文獻

前言/序言

　　可作為一種世界觀的數理觀點
　　我國著名學者談鎬生先生認為：“按照近代觀點，物理、化學、天體物理、地球物理、生物物理可以全部歸納為物理科學。力學是物理科學的、數學又是所有學科的共同工具，力學和數學原是科學發展史上的孿生子，因此，可以形象地認為，物理科學是一根梁，力學和數學是它的兩根支柱。”俄羅斯著名學者V.I.Arnold在其《論數學教育》中開門見山地指齣：“數學是物理的一部分；物理是自然科學，且是實驗科學；數學是物理中‘做實驗’比較‘便宜’的那部分。”
　　結閤筆者就相關數理知識體係的持續性研習，在教學與研究中逐漸明晰瞭一種可作為世界觀的數理觀點——歸納為基於堅實數理基礎之上的“融會貫通”與“觸類旁通”，以此實現“學問”嚮“能力”的進階；錶現為按數量方式，認知自然世界與非自然世界的一種具有統一性的世界觀。數理觀點基於力學、數學、物理學等學科所屬的相關知識體係，這些知識體係不僅內在緊密相連、不可分割，而且在認知世界的過程中需要各知識體係之間的相互協作。現今的大學設有力學類、數學類、物理類專業，藉此傳播相關的知識體係，這可能源於具體組織教學時對相關知識的側重。然而，這些知識本質上並非孤立，數理觀點可以力學、數學、物理學作為核心知識體係，可融閤化學、計算機科學、材料科學、生物學、醫學，甚至經濟學、管理學、社會學等學科，藉此為認識自然與非自然世界提供係統的思想與方法。
　　作為高等院校的職業教師，筆者將教學認識為兩個方麵：“知識體係自身的研究”與“知識體係傳播的研究”；並且立足於基於知識體係自身的研究，以驅動知識體係傳播的研究，以下按“知識體係研究”、“傳播方法研究”這兩方麵進行概述。
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