量子關聯的數學刻畫 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

☆☆☆☆☆

郭鈺著 著

圖書標籤:

• 量子力學
• 量子信息
• 數學物理
• 關聯
• 糾纏
• 算子代數
• 希爾伯特空間
• 量子計算
• 拓撲學
• 非交換幾何

店铺： 文轩网教育考试专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030494344

商品编码：25573397838

出版时间：2016-07-01

作  者:郭鈺 著 著作 定  價:98 齣 版 社:科學齣版社 齣版日期:2016年07月01日 頁  數:271 裝  幀:平裝 ISBN:9787030494344 ●前言
●第1章預備知識
●1.1量子力學基本假設
●1.2量子信息概述
●1.3偏跡與約化態
●1.4Schmidt分解
●1.5量子操作
●1.6量子糾纏
●1.7PPT判據
●1.8Bell不等式與提純
●1.9注記
●第2章無限維兩體純態的糾纏判據
●2.1PHC判據
●2.2純態的重排判據
●2.3無限維係統的CHSH不等式
●2.4純態可分的若乾等價條件
●2.5注記
●第3章無限維兩體量子態的RCCN判據
●3.1有限維係統的RCCN判據
●3.2有限維重排運算的若乾等價定義
●部分目錄

內容簡介

量子糾纏是存在於復閤量子係統子係統之間的一種量子關聯。近年來,人們發現在沒有糾纏的情況下仍然有量子關聯存在。近30多年來,以量子關聯態為載體的信息處理技術在理論和實驗上都取得瞭重要突破。本書主要從數學角度介紹著者近年來對量子關聯的研究成果。內容包括量子信息基礎理論，糾纏判據，糾纏度，不同於糾纏的若乾量子關聯，不可擴張基以及各種量子關聯在量子信道作用下的演化規律刻畫等。

量子糾纏的數學描述：一種超越經典直覺的框架 本書深入探討瞭量子信息論中的核心概念——量子糾纏，並對其進行瞭嚴格的數學刻畫。我們不聚焦於量子物理的具體實驗或應用，而是緻力於構建和分析支撐量子信息理論的數學結構，為理解和量化糾纏現象提供精確的工具。 第一部分：基礎預備與綫性代數迴顧 本部分旨在為後續復雜的數學討論打下堅實的基礎。首先，我們重溫瞭必要的綫性代數知識，重點關注有限維復嚮量空間（希爾伯特空間）上的算符理論。我們詳細討論瞭自伴隨算符（厄米特算符）、酉算符的性質及其在量子態演化中的作用。 接著，引入瞭量子信息論中的基本數學對象：量子態。對於一個由$d$維係統組成的復閤係統，我們使用張量積$otimes$來構造總的希爾伯特空間。純態錶示為歸一化的嚮量$|psi angle$，而混閤態則由密度算符$ ho$來描述。我們深入分析瞭密度算符的性質，包括其半正定性、跡為一的特性，以及如何通過馮·諾依依曼熵（Von Neumann Entropy）來衡量一個純態的“純度”。 第二部分：可分性與糾纏的初步界定 本部分的核心是區分量子力學中至關重要的兩個概念：可分態與糾纏態。對於一個復閤係統$A otimes B$，如果其密度算符可以錶示為子係統純態張量積的凸組閤，即 $$ ho_{AB} = sum_i p_i ho_A^i otimes ho_B^i, quad sum p_i = 1, p_i ge 0$$ 則稱該態是可分的（Separable）。反之，則稱為糾纏的（Entangled）。 我們著重分析瞭判斷可分性的數學挑戰。對於二分係統（兩個子係統），貝爾不等式的失效是糾纏存在的充分非必要條件。我們詳細推導瞭貝爾態（Bell States）的數學形式，並展示瞭它們如何無法被寫成可分態的疊加。 更進一步，我們引入瞭正規化偏跡（Partial Tracing）的數學運算，這是判斷糾纏性的關鍵工具。對於一個一般狀態$ ho_{AB}$，其子係統$A$上的約化密度矩陣定義為： $$ ho_A = ext{Tr}_B( ho_{AB}) = sum_k (langle k|_B ho_{AB} |k angle_B)$$ 我們證明瞭，如果一個態是可分的，那麼其所有約化密度矩陣都必須是純態（若所有分量均為純態）。 第三部分：糾纏的量化度量——糾纏熵 如何量化“有多少”糾纏是本理論的核心難題之一。本部分聚焦於信息論中對糾纏最自然和最常用的度量：糾纏熵。 對於一個純態$|psi angle_{AB}$，子係統$A$上的馮·諾依曼熵被定義為： $$E(psi) = S( ho_A) = - ext{Tr}( ho_A log_2 ho_A)$$ 其中$ ho_A = ext{Tr}_B(|psi anglelanglepsi|)$。我們論證瞭這種熵度量滿足糾纏度量的基本要求：對於可分態，糾纏熵為零；對於最大糾纏態（如貝爾態），熵達到最大值$log_2 d_A$。 然而，對於混閤態，糾纏熵不再是誠實的度量，因為可分態也可以具有非零的馮·諾依曼熵。因此，我們引入瞭更嚴格的數學量度： 1. 糾纏資源理論（Entanglement Resource Theory）：從數學上定義瞭“免費操作”——局部操作和經典通信（LOCC）。 2. 糾纏見證者（Entanglement Witnesses）：引入瞭半正定綫性算符$W$，使得對於所有可分態$ ho_{sep}$，都有$ ext{Tr}(W ho_{sep}) le 0$，而對於糾纏態，$ ext{Tr}(W ho_{ent}) > 0$。這提供瞭一種判彆糾纏的有效數學方法。 第四部分：糾纏的代數結構與矩陣乘積態 本部分將討論糾纏態在張量積空間中的具體代數錶示。 我們研究瞭糾纏度量的凸性：糾纏度量必須是凹函數（Concave）。這使得尋找最小糾纏態（即最大可分態的邊界）成為一個優化問題。 此外，本書詳細分析瞭矩陣乘積態（Matrix Product States, MPS）在綫錶示糾纏態中的作用。對於一維係統鏈，任意純態都可以錶示為MPS： $$|psi angle = sum_{i_1, i_2, dots, i_L} ext{Tr}(A^{[1]}_{i_1} A^{[2]}_{i_2} cdots A^{[L]}_{i_L}) |i_1 i_2 cdots i_L angle$$ 其中$A^{[k]}_{i_k}$是秩為$chi$的張量。我們證明瞭，MPS的張量秩$chi$直接限製瞭係統內部的最大糾纏度（通過糾纏熵的二分量割裂來衡量）。這種錶示法在計算物理和張量網絡理論中提供瞭強大的數學框架。 第五部分：糾纏的幾何與拓撲視角 最後，我們從高維幾何的角度審視糾纏。我們探討瞭糾纏流形（Entanglement Manifolds）：所有具有特定糾纏度（例如，特定糾纏熵）的純態構成的子集。這些流形通常是非綫性的，其麯率和拓撲性質反映瞭態空間中糾纏的分布。 我們簡要介紹瞭糾纏見證者的代數幾何，特彆是對於高維係統，糾纏和可分性的邊界往往由復雜的超麯麵定義。這種幾何視角幫助我們理解糾纏的“密度”以及係統維度對可分集閤的擴張影響。 本書通過嚴謹的數學推導和結構分析，旨在提供一個全麵、深入理解量子糾纏數學本質的參考框架，完全避開物理實驗的細節，專注於理論結構本身。

评分☆☆☆☆☆

最讓我感到驚喜的是作者在討論高維量子係統的錶示法時所采用的視角。傳統教材往往會側重於矩陣的直觀操作，但這本書卻巧妙地引入瞭代數幾何中的某些構造，用以描述和分類那些難以可視化的多體糾纏態。例如，在分析張量積空間（Tensor Product Space）的結構時，作者引入瞭“Schur-Weyl對偶性”的觀點，這使得原本晦澀的對稱群錶示理論與量子態的構建緊密地聯係瞭起來。我仿佛看到瞭一個宏大的數學體係正在緩緩展開，它不僅解釋瞭“為什麼”某些態是糾纏的，更描繪瞭“如何”在數學上構造齣這些態的完整傢族。這種從底層數學結構齣發，反嚮構建物理模型的方法論，極大地拓寬瞭我對量子力學本質的認識，它不再僅僅是一套描述粒子行為的規則，而是一門深刻的結構科學。

评分☆☆☆☆☆

我必須指齣，這本書的“數學味”非常濃鬱，如果你期待的是充滿生動比喻和生活化類比的輕鬆閱讀體驗，那麼你可能會感到吃力。它的每一頁都充滿瞭公式和符號，如同在閱讀一份精心繪製的數學藍圖。我記得在解讀“量子度量”（Quantum Metrics）那一章時，作者詳細闡述瞭如何利用Fubini-Study度量來量化不同量子態之間的“距離”，這種處理方式是極其純粹的幾何學思想在量子領域中的體現。作者非常擅長使用“結構同態”（Structure Homomorphism）這樣的抽象概念來統一不同層次的物理描述。盡管閱讀過程需要極高的專注力，但每當攻剋一個復雜的定理或證明時，那種智力上的滿足感是無與倫比的。這本書仿佛在邀請讀者進行一場高強度的智力馬拉鬆，考驗的不僅是知識儲備，更是邏輯推理的耐力。

评分☆☆☆☆☆

這本書的另一大亮點在於其對“量子計算”實際應用的數學準備工作做得非常充分。在深入討論算法之前，作者花費瞭相當大的篇幅來構建一個完備的計算模型基礎，特彆是針對量子綫路的建模，它被嚴格地定義為酉算子（Unitary Operators）在特定張量積空間上的作用。這種基礎的夯實，使得後續對Shor算法或Grover搜索算法的分析，不再是簡單的步驟羅列，而是深入到瞭其內在的數學復雜度分析。例如，在討論量子並行性時，作者並沒有簡單地停留在“同時計算”的描述上，而是將其與經典計算中難以實現的傅裏葉變換在指數維空間中的高效性聯係起來，這完全是站在代數拓撲和離散群論的視角來審視計算的潛能。整本書從理論的深海中緩緩浮現，最終將我們帶到瞭一個堅實的、可計算的數學基座之上，為任何想要深入研究量子算法設計的人提供瞭無可替代的數學工具箱。

评分☆☆☆☆☆

這部書的封麵設計頗具匠心，那種深邃的藍色調配上簡潔的幾何圖形，立刻就讓人聯想到瞭那些既抽象又充滿內在聯係的科學概念。我記得當時在書店裏被它吸引，很大程度上是因為標題本身帶來的那種深邃感。“數學刻畫”這個詞匯，讓原本就神秘的“量子關聯”一下子變得似乎觸手可及，仿佛作者要為我們揭開隱藏在量子現象背後的精妙結構。我立刻翻開瞭前言，作者開篇就提齣瞭一個宏大的問題，關於如何用代數的語言去描述那些在宏觀世界中難以想象的糾纏態。整本書的敘事節奏把握得極好，從基礎的綫性代數和希爾伯特空間迴顧開始，穩步過渡到更復雜的張量網絡錶示。我特彆欣賞作者在講解新概念時，總是能穿插一些曆史背景，讓人明白這些數學工具是如何一步步被發展齣來以解決物理難題的。讀完第一部分，我感覺自己對量子信息理論的基石有瞭非常紮實的理解，這不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維方式的重塑，讓我開始用更嚴謹、更結構化的眼光去看待物理現象。

评分☆☆☆☆☆

這本書的論述風格極其嚴謹，與其說是科普讀物，不如說是一本麵嚮研究生的專業教材。我尤其關注它在非定域性測試（如貝爾不等式）的數學形式化處理上所花費的篇幅。作者沒有停留在簡單的不等式展示，而是深入探討瞭將這些不等式嵌入到更廣闊的凸集理論框架中，這對於理解量子邊緣的“非經典性”至關重要。在涉及到信息論和復雜性理論交叉的部分時，行文的密度陡然增大，需要讀者具備較強的代數幾何基礎纔能跟上作者的推導步伐。我不得不承認，有些章節我需要反復閱讀，對照著輔助教材進行學習。但正是這種近乎苛刻的精確性，使得這本書在學術界具有很高的參考價值。每當遇到一個證明的關鍵步驟，作者都會清晰地標明所依據的定理，這極大地減少瞭閱讀過程中的睏惑，體現瞭作者對讀者學習路徑的深切關懷，即使內容本身非常硬核。