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內容簡介

本書主要內容分為七章，前三章側重於綫性泛函分析中各種空間、極限等基本概念的引入和基本性質的討論；第四、第五章主要介紹瞭有界綫性算子及其組成的空間，講述Banach空間中綫性算子的基本性質，重點講述瞭Hilbert空間的共軛空間，Hilbert空間中的共軛算子。最後兩章是綫性算子的譜理論。譜理論從結構上剖析瞭算子作用的本質特徵，它的處理方式體現瞭數學結構在分析、代數和幾何上的和諧統一。本書沒有引進譜族的概念，從純粹分析的角度介紹瞭綫性算子譜的定義，討論瞭有界綫性算子特彆是自共軛算子、緊算子譜的基本性質。

目錄

緒論
第一章 距離空間
1.1 距離空間的基本概念
1.1.1 距離空間的定義
1.1.2 距離空間的例
1.1.3 距離空間中的收斂
1.2 開集和連續映射
1.2.1 開球、閉球
1.2.2 內點、開集、鄰域
1.2.3 等價的距離、連續映射
1.3 閉集 可分性列緊性
1.3.1 距離空間中的閉集
1.3.2 閉集的結構
1.3.3 可分的距離空間
1.3.4 列緊的距離空間
1.4 完備的距離空間
1.4.1 Cauchy列
1.4.2 完備的距離空間
1.4.3 完備與不完備距離空間的例
1.4.4 距離空間的完備化
1.5 完備距離空間的性質和一些應用
1.5.1 閉球套定理
1.5.2 壓縮映射原理
1.5.3 壓縮映射原理的應用
習題1
第二章 綫性賦範空間
2.1 賦範空間的基本概念
2.1.1 賦範空間和Banach空間的定義
2.1.2 範數的連續性
2.1.3 範數與距離的關係
2.2 完備的賦範空間
2.2.1 連續函數上定義的不同範數
2.2.2 賦範空間的完備化
2.2.3 Lp空間
2.2.4 L∞空間
2.2.5 lp空間
2.3 賦範空間的幾何結構
2.3.1 凸集
2.3.2 子空間
2.3.3 Riesz引理
2.4 有限維的賦範空間
2.4.1 等價的範數
2.4.2 有限維空間
2.4.3 有限維賦範空間的幾何特徵
2.5 賦範空間的進一步性質
2.5.1 賦範空間中的級數
2.5.2 賦範空間的商空間
2.5.3 賦範空間的乘積空間
習題2
第三章 內積空間與Hilbert空間
3.1 內積空間的基本性質
3.1.1 內積空間的定義
3.1.2 由內積生成的範數
3.1.3 內積和相應範數的關係
3.1.4 完備的內積空間
3.2 正交與正交分解
3.2.1 正交的定義
3.2.2 正交補集
3.2.3 最佳逼近
3.2.4 Hilbert空間的正交分解
3.3 正交係和正交基
3.3.1 內積空間中的正交係
3.3.2 正交投影
3.3.3 正交基
3.4 Bessel不等式和正交列的完備性
3.4.1 Bessel不等式
3.4.2 正交列的完備性
3.4.3 標準正交基的例
3.5 可分的Hilbert空間
3.5.1 綫性無關組的正交化算法
3.5.2 可分的Hilbert空間與l2等距同構
習題3
第四章 有界綫性算子
4.1 有界綫性算子與有界綫性泛函
4.1.1 有界綫性算子與有界綫性泛函的定義
4.1.2 有界綫性算子組成的賦範空間
4.1.3 有界綫性算子的例
4.1.4 有界綫性算子範數的計算
4.2 有界綫性算子空間的收斂與完備
4.2.1 有界綫性算子空間中的收斂性
4.2.2 有界綫性算子空間的完備性
4.3 一緻有界原則
4.3.1 Baire綱定理
4.3.2 一緻有界原則
4.3.3 強收斂意義下的完備性
4.3.4 共鳴定理的應用
4.4 開映射定理與逆算子定理
4.4.1 逆算子
4.4.2 開映射定理
4.4.3 逆算子定理
4.5 閉算子與閉圖像定理
4.5.1 閉算子的定義
4.5.2 閉算子的例
4.5.3 閉圖像定理
習題4
第五章 共軛空間和共軛算子
5.1 Hahn-Banach定理
5.1.1 Hahn-Banach定理
5.1.2 Hahn-Banach定理的推論
5.1.3 綫性泛函和閉集分離
5.2 共軛空間
5.2.1 共軛空間的概念
5.2.2 Lp[a，b]的共軛空間（1 5.2.3 C[a，b]的共軛空間
5.2.4 空間c的共軛空間
5.3 Hilbert空間的共軛空間 共軛算子
5.3.1 Riesz錶示定理
5.3.2 Hilbert空間的共軛空間
5.3.3 Hilbert空間上的共軛算子
5.4 自共軛的有界綫性算子
5.4.1 有界自共軛算子的定義、例
5.4.2 自共軛算子的性質
5.4.3 Cartesian分解
5.5 Banach空間上的共軛算子 弱收斂
5.5.1 Banach空間上的共軛算子
5.5.2 自反性
5.5.3 弱收斂
5.5.4 一些具體空間中的弱收斂
習題5
第六章 綫性算子的譜理論
6.1 譜集和正則點集
6.1.1 譜點和正則點的定義
6.1.2 特徵值和特徵元素
6.1.3 閉綫性算子的正則點
6.1.4 存在不是特徵值的譜點
6.2 有界綫性算子的譜集
6.2.1 有界綫性算子的譜集是有界集
6.2.2 有界綫性算子的譜集是閉集
6.2.3 有界綫性算子的譜集非空
6.2.4 有界綫性算子的譜半徑
6.3 有界自共軛綫性算子的譜
6.3.1 有界自共軛綫性算子剩餘譜集是空集
6.3.2 有界自共軛綫性算子譜集的性質
6.3.3 有界自共軛綫性算子譜的分布
習題6
第七章 緊綫性算子的譜分解
7.1 緊綫性算子
7.1.1 緊綫性算子的定義
7.1.2 緊綫性算子的例
7.1.3 緊綫性算子空間
7.1.4 緊算子的有窮秩逼近
7.2 緊綫性算子的譜
7.2.1 緊綫性算子的特徵值
7.2.2 緊綫性算子零空間的結構和連續譜
7.2.3 緊綫性算子像空間的結構和剩餘譜
7.2.4 Riesz-Schauder理論
7.3 緊的自共軛綫性算子的譜
7.3.1 緊的自共軛綫性算子的譜分解
7.3.2 極大極小原理
7.4 投影算子的加權和
7.4.1 投影算子和投影算子的加權和
7.4.2 投影算子加權和的性質
7.4.3 投影算子加權和的譜
7.4.4 緊的自共軛投影算子的加權和
習題7
附錄
附錄Ⅰ 距離空間的緊性
Ⅰ.1 列緊集，完全有界集
Ⅰ.2 緊集
Ⅰ.3 不同空間中緊集的充要條件
Ⅰ.4 弱列緊
附錄Ⅱ 綫性空間
Ⅱ.1 綫性空間的概念
Ⅱ.2 綫性無關和綫性相關
Ⅱ.3 綫性空間的維數與Hilbert基
附錄Ⅲ Lp空間
Ⅲ.1 Lp空間完備性的證明
Ⅲ.2 Lp空間的收斂性
附錄Ⅳ 有界變差函數空間V[a，b]
索引
參考文獻
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