黎曼幾何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在線閱讀 2026

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Luther Pfahler Eisenhart 編

圖書標籤:

• 黎曼幾何
• 微分幾何
• 流形
• 拓撲學
• 數學
• 幾何學
• 高等數學
• 麯綫麯麵
• 張量分析
• 數學物理

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037498

版次：1

商品编码：10914297

包装：平装

开本：24开

出版时间：2011-07-01

用纸：胶版纸

页数：306

內容簡介

目錄

前言/序言

歐幾裏得之後的空間：一場深入拓撲與微分流形的探索 緒論：超越平坦的直覺 自古希臘人建立起歐幾裏得幾何體係以來，人類對空間的理解似乎被鎖定在平直的三維世界中。這條清晰、直觀的道路統治瞭物理學和工程學數韆年。然而，隨著對宇宙深層結構的探究深入，尤其是當我們將目光投嚮更為精細的尺度或更高維度的抽象時，這種歐幾裏得的直覺開始崩塌。我們迫切需要一種新的數學工具，一種能夠描述彎麯、扭麯、局部平坦但整體卻呈現復雜拓撲結構的“空間”。 本書旨在提供這樣一套工具，它不再滿足於簡單的點、綫、麵，而是將“空間”本身視為一個動態的、可微分的實體。我們跨越瞭純粹的拓撲學界限，進入瞭微分幾何的廣闊領域。本書的重點在於構建和理解一個微分流形的概念框架，這是現代數學和理論物理學的基石之一。 第一部分：拓撲學的基石與流形的孕育 在進入微分結構之前，我們必須夯實拓撲學的地基。拓撲學，常被稱為“橡皮泥幾何學”，關注的是空間在連續形變下保持不變的性質。 第一章：連續性與度量空間的迴顧 我們從復習拓撲學的基礎概念開始：集閤、拓撲、開集、閉集、鄰域以及緊緻性與連通性。在此基礎上，我們引入度量空間的概念。度量（距離函數）是我們理解空間“大小”和“鄰近性”的第一個工具。雖然拓撲結構不依賴於度量，但度量為我們引入後續的微分概念提供瞭必要的分析基礎。我們將詳細探討完備性（Completeness）的重要性，例如巴拿赫空間，它們是無限維幾何研究的起點。 第二章：流形的定義與基本實例 流形（Manifold）是本書的核心對象。一個 $n$ 維流形可以被粗略地描述為：在足夠小的鄰域內，它看起來像 $mathbb{R}^n$ 的空間。我們嚴格定義瞭拓撲流形，包括局部坐標係（圖/Chart）、開復蓋（Atlas）以及最重要的——轉移映射（Transition Maps）。轉移映射的性質決定瞭流形的結構。如果轉移映射是連續的，我們得到一個拓撲流形；如果它們是可微的，我們得到瞭一個微分流形。 本書將詳細分析關鍵的低維流形實例： 麯綫與麯麵： 從圓周 $S^1$ 到球麵 $S^2$ 和環麵 $T^2$。我們將探索二維流形的拓撲不變量，如虧格（Genus）。 更高維度的球麵 $S^n$： 球麵不僅僅是一個錶麵，它是一個具有深刻代數拓撲意義的對象。我們將初步觸及球麵上的奇異性問題。 實射影空間 $mathbb{R}P^n$ 和復射影空間 $mathbb{C}P^n$： 這些空間在代數幾何和拓撲中扮演核心角色，它們的構造揭示瞭空間如何通過“粘閤”綫或平麵形成更復雜的結構。 第三章：拓撲不變量與分類 為瞭區分不同的流形，我們需要找到在同胚映射下保持不變的量——拓撲不變量。我們將重點研究： 基本群（Fundamental Group）： 衡量一個流形“洞”的數量。我們計算 $S^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$，並討論非平凡流形（如環麵）的基本群結構。 覆蓋空間（Covering Spaces）： 這是一個將低維拓撲提升到更高維度（或更復雜結構）的強大技術。通過分析 $mathbb{R}$ 如何覆蓋 $S^1$，我們能更深入地理解 $S^1$ 的結構。 第二部分：微分結構：切空間與張量場 拓撲流形隻告訴我們空間是“連續”的，但要進行微積分、研究麯率和測地綫，我們需要微分結構。 第四章：光滑性與切空間 我們引入光滑流形的嚴格定義，要求轉移映射是無窮可微的 ($C^{infty}$)。在此基礎上，我們發展齣微分幾何的核心工具：切空間 ($T_pM$)。 嚮量場的定義： 切空間是流形上每一點的“切麵”，它捕捉瞭在該點所有可能的瞬時方嚮和變化率。我們從麯綫上的速度嚮量開始，推廣到整個流形上的光滑嚮量場。 切叢（Tangent Bundle）： 將所有點的切空間集閤起來，形成一個更大的流形——切叢 $TM$，這是研究微分幾何的第一個“孿生”結構。 第五章：張量、微分形式與外導數 要進行積分和微分運算，我們需要超越嚮量的範疇，引入張量。 張量場： 從協變（對偶）嚮量場（1-形式）到更一般的 $(k, l)$ 型張量場。我們闡述張量如何在坐標變換下保持其幾何意義不變。 外代數與楔積： 介紹微分 $k$-形式 ($Omega^k(M)$)。楔積（Wedge Product）是定義體積和積分形式的基礎，它賦予瞭高階微分形式反對稱的結構。 外微分（Exterior Differentiation）： 這是微分的核心操作 $d$，它推廣瞭梯度、散度和鏇度的概念。我們詳細分析 $d$ 算子的基本性質，特彆是 $d^2=0$ 的重要性，這是推廣微積分基本定理的關鍵。 第六章：積分與德拉姆上同調 微分形式的強大之處在於它們能被積分。 流形上的積分： 如何在彎麯空間上定義對 $k$-形式的積分。 斯托剋斯定理（Stokes' Theorem）： 本章的高潮是將微積分基本定理推廣到任意維度的流形上的普適公式。這個定理簡潔地統一瞭格林、高斯和牛頓-萊布尼茨定理。 德拉姆上同調（de Rham Cohomology）： 利用 $d^2=0$ 的事實，我們定義瞭上同調群 $H^k_{dR}(M)$。這是將拓撲信息（如“洞”）編碼到分析對象（微分形式）中的橋梁。我們展示封閉形式不一定是恰當形式（即存在“洞”）。 第三部分：黎曼幾何的入口：度量與麯率 雖然前兩部分奠定瞭微分流形的基礎，但要談論長度、角度和麯率，我們需要在流形上植入一個黎曼度量。 第七章：黎曼度量與長度 黎曼度量張量 $g$： 在每個切空間上定義一個正定的內積。這個度量 $g$ 允許我們在流形上測量嚮量的長度和夾角。 誘導度量與測地綫： 通過黎曼度量，我們可以計算流形上麯綫的長度，並引齣測地綫（Geodesics）的概念——空間中“最短的路徑”。我們推導齣測地綫方程，它們是測地綫在彎麯空間中的運動規律。 第八章：聯絡與麯率的幾何 在麯綫上，我們知道如何平行移動一個嚮量（保持方嚮不變）。但在彎麯流形上，一個嚮量從一點移動到鄰近點時，其方嚮如何保持“平行”？這就需要一個聯絡。 仿射聯絡與協變導數： 引入 $ abla$ 算子，用於定義沿麯綫的嚮量平行移動。 黎曼幾何的核心： 我們定義瞭 黎曼幾何 特有的概念：度量兼容性（$ abla g = 0$）和無撓性（Torsion-free）。 裏奇張量與麯率張量： 檢驗一個聯絡是否“保持平行”的理想狀態（即平坦），就是研究其麯率。裏奇麯率張量 $R$ 衡量瞭麯麵在無窮小鄰域內偏離平坦的程度。我們將分析二維麯麵的高斯麯率，並引入高斯絕妙定理，展示麯率是如何被內蘊地編碼在流形本身中的。 本書在引入這些核心概念後，為讀者提供瞭深入研究愛因斯坦場方程（需要利用裏奇張量）或更高級的縴維叢理論（如主叢和嚮量叢）的堅實基礎，但將這些應用留給後續的專業探討。我們聚焦於如何從最基本的拓撲概念齣發，係統地構建起一個可以進行微積分和幾何測量的數學框架。

评分☆☆☆☆☆

這本書為我打開瞭一個全新的數學視角，讓我看到瞭數學在描述自然界中的強大力量。它不僅僅是抽象的符號遊戲，而是能夠真實地反映我們所處宇宙的幾何本質。書中關於麯率張量如何刻畫空間彎麯程度的講解，讓我仿佛能夠“觸摸”到時空的變形。我被書中對黎曼幾何在廣義相對論中的應用的精彩闡釋所深深吸引，這讓我意識到，那些晦澀的數學公式背後，隱藏著對宇宙最深刻的理解。作者的寫作風格，帶著一種獨特的哲學韻味，他不僅僅是在陳述事實，更是在引導讀者去思考數學與現實世界之間的聯係。讀這本書的過程，就像是在進行一場智力上的跋涉，每一次攻剋難關，都能感受到數學的魅力和力量。它讓我對物理學和宇宙學有瞭更深刻的理解，也讓我對數學的抽象之美有瞭更深的敬畏。

评分☆☆☆☆☆

這本書如同一場精妙的數學“偵探小說”，每一個定理、每一個證明都像是一個等待被解開的謎團。作者用一種極其精巧的方式，將那些原本看似獨立的概念串聯起來，構建起一個宏大而和諧的數學體係。我尤其著迷於書中對麯率和測地綫之間關係的深刻探討，這讓我看到瞭數學內部邏輯的強大自洽性。作者的講解風格，時而嚴謹得如同外科手術般精確，時而又富含洞察力，能夠穿透錶象直達本質。閱讀這本書，需要一種高度的專注和分析能力，你需要不斷地在概念和公式之間建立聯係，纔能真正理解其中的精髓。它讓我體會到瞭數學之美，不僅僅在於其形式的優雅，更在於其能夠揭示事物本質的深邃力量。這是一本值得反復品味的書，每一次重讀，都能從中發現新的奧秘。

评分☆☆☆☆☆

這本書就像一座精美的數學迷宮，讓我徹底迷失其中，但又沉醉其中無法自拔。剛翻開時，那些抽象的概念和復雜的符號像一層迷霧，讓我有些望而卻步。然而，隨著一頁頁地深入，我仿佛被引領著穿梭於一個由麯麵、測地綫和麯率編織而成的奇妙世界。作者巧妙地將直觀的幾何圖像與嚴謹的代數工具相結閤，使得那些原本難以想象的高維空間變得觸手可及。書中對張量、聯絡、麯率張量等核心概念的講解，如同為我打開瞭一扇通往更深層次數學理解的大門。我尤其欣賞作者在闡述這些概念時所展現齣的細緻入微，他不僅給齣瞭嚴格的定義，更通過豐富的例子和類比，讓我能夠深刻體會其幾何意義。讀這本書的過程，與其說是在學習，不如說是在經曆一場智力上的探險，每一次剋服一個難點，都帶來巨大的成就感。它讓我重新認識瞭空間，不再僅僅是熟悉的歐幾裏得三維空間，而是充滿瞭無限可能與復雜性的黎曼流形。

评分☆☆☆☆☆

這是一本挑戰極限的數學著作，需要讀者具備相當的數學功底，並且有耐心去細嚼慢咽。如果你期望找到一本輕鬆易懂的入門讀物，那麼這本書可能不是你的首選。然而，對於那些渴望深入理解現代幾何學核心的學者和學生來說，它無疑是一座寶藏。作者在處理一些最核心的數學概念時，展現齣瞭驚人的清晰度和深度，盡管過程依然充滿挑戰。我反復閱讀瞭關於黎曼流形上的微分算子以及它們與幾何結構的深刻聯係的章節，每一次閱讀都有新的體會。書中的證明嚴謹而又不失優雅，讓我能夠追蹤作者的思路，一步步走嚮結論。它不僅僅是一本教材，更是一份對數學之美的緻敬。讀這本書，需要一種沉靜的心態，需要一種不畏艱難、勇於探索的精神，但一旦你剋服瞭最初的障礙，你所獲得的將是無與倫比的數學洞見。

评分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，就像是在一次精心策劃的哲學思辨之旅。它不僅僅是在教授數學公式和定理，更是在引導讀者去思考“空間”本身的本質。“距離”不再僅僅是簡單的尺子丈量，而是由流形的內在性質決定的，這種“內在地”的度量方式，徹底顛覆瞭我原有的空間觀。書中關於測地綫的討論，讓我得以窺見宇宙中最“自然”的路徑，它們是如何在彎麯的時空中“伸展”自身的。作者的敘述風格，時而如同一位睿智的老者，娓娓道來，引人入勝；時而又像一位嚴謹的學者，一絲不苟，不容置疑。我被書中對微分幾何深刻洞察所深深吸引，每一次對麯率的深入剖析，都讓我對世界的運作方式有瞭更進一步的理解。讀完這本書，我感覺自己看待周圍的世界，都多瞭一層由數學織就的濾鏡，那些日常的景象，似乎都蘊含著更深層的幾何結構。

评分☆☆☆☆☆

1 The General Topology of Dynamical Systems, Ethan Akin (1993, ISBN 978-0-8218-4932-3)[1]

评分☆☆☆☆☆

一本相当不错的数学书，推荐！

评分☆☆☆☆☆

在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限

评分☆☆☆☆☆

经典的一般书，不过印刷不太好，其实母本本书应该印刷也不太好。

评分☆☆☆☆☆

4 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Russell A. Gordon (1994, ISBN 978-0-8218-3805-1)

评分☆☆☆☆☆

买来收藏之用。，书一般般吧。 是1925年的书，字体不好看。

评分☆☆☆☆☆

全英文估计是他买错了

评分☆☆☆☆☆

在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限

评分☆☆☆☆☆

买来收藏之用。，书一般般吧。 是1925年的书，字体不好看。