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內容簡介

本手冊包含三部分內容：高等數學(微積分)、綫性代數、概率論與數理統計．歸納總結瞭三部分內容中的定義、定理、公式、法則和方法．為便於讀者學習和使用，在內容的編排順序上與同濟大學版高等數學保持一緻；在目錄上列齣瞭手冊中的重點條目；在每一章的最後，提供瞭本章知識點之間的關聯網絡．本手冊對正在學習高等數學、綫性代數、概率論與數理統計和復習準備考研究生的讀者都有極大參考價值；此外，對於曾經學過大學數學課程，並希望在短時間內迅速復習和迴憶大學數學內容的讀者也具有重要的參考價值．

目錄

第1章函數極限連續1
§1��1映射與函數1
集閤1
常用數集1
鄰域1
映射2
函數3
函數的基本特性6
基本初等函數8
初等函數12
§1��2數列的極限及其性質13
數列13
數列極限13

數列的有界性14
收斂數列的性質14
§1��3函數的極限及其性質15
極限定義（x→x0）15
極限定義（x→∞）16
函數極限的性質17
§1��4無窮小與無窮大19
無窮小19
無窮小與函數極限關係19
無窮大19
無窮大與無窮小關係20
§1��5極限運算法則20
無窮小運算法則20
極限的四則運算法則20
§1��6極限存在準則兩個重要極限21
夾逼準則21
單調數列22
單調有界準則22
兩個重要極限22
§1��7無窮小的比較23
無窮小的比較23
常用等價無窮小23

等價無窮小的充要條件24
無窮小的等價代換24
§1��8函數的連續性與間斷點25
函數在一點處連續定義25
函數在開區間上連續26
函數在閉區間上連續26
函數的間斷點定義26
第一類間斷點27
第二類間斷點27
連續函數的和、差、積、
商的連續性27
反函數的連續性28
復閤函數的極限運算法則28
復閤函數的連續性29
基本初等函數的連續性29
初等函數的連續性29
閉區間上連續函數的性質29
本章知識點及其關聯網絡30
第2章導數與微分31
§２��1導數概念31
導數定義31
導數定義式的不同形式32
左導數定義32
右導數定義32
單側導數32
函數在一點可導的
充要條件32
導數幾何意義32
切綫與法綫33
開區間內可導33
閉區間上可導33
導函數定義33
可導性與連續性的關係33
高階導數定義34
§2��2函數的求導法則34
導數四則運算法則34
反函數求導法則35
復閤函數求導法則35
隱函數求導法則35
對數求導法則36
參數方程求導法則37
常數和基本初等函數的導數公式39
常用高階導數公式39
相關變化率40
§2��3函數微分概念與微分運算法則41
微分定義41
可微的充分必要條件42
函數在任意點的微分42
基本初等函數的微分公式42
函數和、差、積、商的微分
法則44
復閤函數微分法則44
本章知識點及其關聯網絡45
第3章微分中值定理與導數應用46
§3��1微分中值定理46
費馬引理46
羅爾定理46
拉格朗日中值定理46
拉格朗日中值定理推論46
柯西中值定理46
泰勒公式47
§3��2導數應用49
極限的未定式49
洛必達法則49
函數單調性判彆法則51
函數凹凸性定義51
函數拐點定義52
函數凹凸性判彆法53
函數極值定義53
函數極值的必要條件53
函數極值第一充分條件53
函數極值第二充分條件54
函數極值第三充分條件54
麯綫的漸近綫54
麯綫的弧微分公式55
麯率公式56
本章知識點及其關聯網絡57
第4章不定積分58
§4��1不定積分的概念與性質58
原函數定義58
不定積分定義58
積分麯綫59
不定積分性質59
§4��2不定積分的計算方法59
直接積分法60
換元積分法60
分部積分法61
基本積分公式61
§4��3特殊函數的不定積分63
(1)有理函數的積分63
有理函數63
有理函數真分式的部分分
式之和公式64
有理函數積分法65
(2)三角函數有理式的積分65
三角函數有理式65
三角函數有理式積分法65
(3)簡單無理函數的積分66
簡單無理函數66
簡單無理函數積分法66
常見的無法用初等函數
錶示的不定積分66
本章知識點及其關聯網絡67
第5章定積分68
§5��1定積分的概念與性質68
定積分定義68
可積的充分條件69
關於定積分的兩點規定70
定積分性質70
§5��2微積分基本公式72
積分上限函數定義72
積分上限函數的性質73
牛頓�怖巢寄嶙裙�式73
§5��3定積分的計算74
定積分的換元積分法74
定積分的分部積分法75
定積分的幾個常用結果75
§5��4反常積分76
無窮限的反常積分定義76
無窮限反常積分的計算78
無界函數反常積分的定義79
無界函數反常積分的計算80
本章知識點及其關聯網絡82
第6章定積分應用83
§6��1定積分元素法83
定積分元素法83
§6��2幾何應用84
(1)平麵圖形麵積84
直角坐標係中平麵圖
形麵積84
極坐標係中平麵圖形麵積85
(2)空間體的體積86
鏇轉體的體積86
平行截麵麵積已知的
空間體的體積86
(3)平麵麯綫弧長87
平麵麯綫弧長的定義87
麯綫弧長公式88
§6��3物理應用89
變力沿直綫做功89
水壓力90
引力91
§6��4平均值94
函數的平均值94
函數的均方根94
本章知識點及其關聯網絡95
第7章空間解析幾何與嚮量代數96
§7��1空間直角坐標係96
空間直角坐標係96
空間點的坐標97
空間兩點間的距離公式98
§7��2空間嚮量及其運算98
嚮量98
空間點M的嚮徑98
自由嚮量99
嚮量a與b相等99
嚮量a與b平行99
嚮量的模99
單位嚮量99
嚮量加法99
嚮量加法的運算算律100
負嚮量101
嚮量的差101
嚮量與數的乘法101
嚮量與數的乘法運算算律101
嚮量平行的充分必要條件102
非零嚮量的單位化102
§7��3嚮量的坐標102
嚮量坐標102
嚮量加法、減法和數乘運
算的坐標錶示102
嚮量a//b的坐標錶示103
嚮量模的坐標錶示103
兩嚮量的夾角103
嚮量的方嚮角103
嚮量的方嚮餘弦及其性質103
嚮量在軸上的投影104
投影定理104
投影性質104
§7��4數量積嚮量積混閤積105
(1)嚮量的數量積105
數量積定義105
數量積的性質106
數量積的運算算律106
數量積的坐標錶示106
兩個嚮量夾角餘弦
的坐標錶示106
(2)嚮量的嚮量積107
嚮量積定義107
嚮量積的性質107
嚮量積的運算算律107
嚮量積的坐標錶示107
(3)嚮量的混閤積108
混閤積的定義108
混閤積的坐標錶示108
混閤積的幾何意義108
§7��5空間麯麵及其方程109
麯麵方程的概念109
鏇轉麯麵109
鏇轉麯麵方程109
柱麵110
空間麯麵的參數方程111
二次麯麵111
二次麯麵方程111
§7��6空間麯綫及其方程112
空間麯綫112
空間麯綫的一般方程112
空間麯綫的參數方程112
空間麯綫在坐標麵
上的投影113
§7��7平麵及其方程113
平麵的法嚮量113
平麵的一般方程113
平麵的點法式方程113
平麵的截距式方程114
平麵的兩點式方程114
平麵束方程114
兩平麵的夾角114
兩平麵垂直的條件115
兩平麵平行的條件115
平麵外一點到平麵的距離115
§7��8空間直綫及其方程115
直綫的方嚮嚮量115
空間直綫的一般方程115
空間直綫的對稱式方程116
空間直綫的參數方程116
兩直綫的夾角116
兩直綫夾角的餘弦公式117
直綫與平麵的夾角117
直綫與平麵夾角的公式117
直綫外一點到直綫的距離117
本章知識點及其關聯網絡118
第8章多元函數微分法及其應用119
§8��1多元函數的基本概念119
坐標平麵119
平麵點集119
平麵上兩點間的距離119
平麵上點P0的δ鄰域120
平麵上點P0
的去心δ鄰域120
內點120
外點120
邊界點與邊界120
聚點121
開集121
閉集121
連通集121
區域(或開區域)121
閉區域122
有界點集和無界點集122
二元函數定義122
n元函數定義122
二元函數極限定義123
二元函數連續定義123
二元函數間斷點定義124
多元連續函數的和、差、
積、商的連續性124
多元連續函數的復閤
函數的連續性124
多元初等函數的概念124
多元初等函數的連續性124
有界閉區域上連續
函數的性質125
§8��2偏導數126
二元函數偏導數定義126
二元函數偏導數的
幾何意義127
二元函數高階偏導數概念128
二階混閤偏導與求導順
序無關的條件129
§8��3全微分129
二元函數的偏增量與
偏微分的概念129
二元函數的全增量與全
微分的定義129
全微分存在的必要條件130
全微分存在的充分條件130
n元函數全微分的錶達式131
§8��4多元復閤函數的求導法則131
中間變量均為一元函
數的情形131
中間變量均為多元函
數的情形132
中間變量既有一元函數又
有多元函數的情形133
全微分形式的不變性133
§8��5隱函數的求導公式134
單一方程情形134
方程組情形135
多元反函數求導公式136
§8��6微分在幾何上的應用139
空間麯綫的切綫概念139
空間麯綫的切嚮量140
空間麯綫的切綫方程140
空間麯綫的法平麵
及其方程140
其他形式的空間麯綫方程
的切綫與法平麵方程140
麯麵的切平麵和法
綫的概念142
麯麵法嚮量的概念142
麯麵的切平麵與法綫方程143
麯麵法嚮量的方嚮餘弦144
二元函數全微分
的幾何意義145
§8��7方嚮導數與梯度145
方嚮導數定義145
方嚮導數的存在條件
和計算公式146
梯度的概念146
梯度與方嚮導數的關係147
§8��8多元函數的極值及其求法148
二元函數極值的定義148
極值的必要條件149
極值的充分條件149
條件極值與無條件極值150
拉格朗日乘子法150
本章知識點及其關聯網絡①(多元函數微分法)152
本章知識點及其關聯網絡②(多元函數微分法應用)153
第9章重積分154
§9��1二重積分的概念與性質154
二重積分定義154
二重積分性質155
§9��2二重積分的計算法 157
直角坐標係中二重
積分的計算157
極坐標係中二重
積分的計算159
二重積分換元定理161
§9��3三重積分162
三重積分定義162
三重積分性質163
直角坐標係中三重
積分的計算163
柱坐標係中三重積
分的計算166
球坐標係中三重積
分的計算168
§9��4重積分應用171
(1)幾何應用171
麯麵麵積171
(2)物理應用172
質心坐標172
轉動慣量174
引力175
本章知識點及其關聯網絡178
第10章麯綫積分與麯麵積分179
§10��1對弧長的麯綫積分179
對弧長麯綫積分的定義179
對弧長麯綫積分存在
的充分條件180
對弧長麯綫積分的性質180
對弧長麯綫積分的
計算公式182
對弧長麯綫積分的
計算步驟183
§10��2對坐標的麯綫積分183
對坐標麯綫積分的定義183
對坐標麯綫積分的
嚮量錶達式185
對坐標麯綫積分存
在的充分條件185
對坐標麯綫積分的性質186
對坐標麯綫積分的
計算公式186
對坐標麯綫積分的
計算步驟188
兩類麯綫積分之間的聯係189
§10��3格林公式190
單連通域與復連通域190
平麵區域邊界的正方嚮190
格林公式190
麯綫積分與路徑無
關的概念191
麯綫積分與路徑無
關的等價條件191
麯綫積分與路徑無關
的充分必要條件191
二元函數全微分求
積的概念192
二元函數全微分求積
的條件與方法192
§10��4麯綫積分的應用194
(1)幾何應用194
弧長的計算194
柱麵的麵積195
(2)物理應用195
綫狀物體的質量195
綫狀物體的質心196
綫狀物體的轉動慣量197
變力沿麯綫作功197
§10��5對麵積的麯麵積分198
對麵積麯麵積分的定義198
對麵積麯麵積分存
在的充分條件199
對麵積麯麵積分的性質199
對麵積麯麵積分的計算
步驟和計算公式200
§10��6對坐標的麯麵積分202
有嚮麯麵的概念202
有嚮麯麵的方嚮202
有嚮麯麵在坐標
麵上的投影203
對坐標麯麵積分的定義203
對坐標麯麵積分存在
的充分條件205
對坐標麯麵積分的性質205
對坐標麯麵積分的計算
步驟和計算公式207
兩類麯麵積分之間的聯係208
§10��7高斯公式通量和散度209
高斯公式209
通量和散度210
§10��8斯托剋斯公式環流量和鏇度210
斯托剋斯公式210
環流量和鏇度211
§10��9麯麵積分的應用212
(1)幾何應用212
空間麯麵麵積212
(2)物理應用212
麯麵狀物體的質量212
麯麵狀物體的質心213
麵狀物體的轉動慣量213
本章知識點及其關聯網絡①(麯綫積分)214
本章知識點及其關聯網絡②(麯麵積分)215
第11章無窮級數216
§11��1常數項級數的概念和性質216
常數項級數定義216
級數的前n項和數列216
級數收斂和發散定義216
級數餘項定義217
收斂級數的基本性質 217
級數收斂的必要條件218
柯西審斂原理218
§11��2常數項級數的審斂法218
正項級數定義218
正項級數收斂的充
分必要條件218
正項級數的比較審斂法219
正項級數的比較
審斂法推論219
三個重要級數的斂散性220
正項級數比較審斂法
的極限形式220
正項級數的極限審斂法221
正項級數的比值
審斂法（ 達朗貝爾
( D’Alembert) 判彆法）221
正項級數的根值
審斂法（柯西
(Cauchy) 判彆法）222
交錯級數定義222
交錯級數審斂法
（萊布尼茲定理）222
絕對收斂和條件收斂222
絕對收斂級數的性質223
§11��3冪級數224
函數項級數定義224
函數項級數的收
斂域和發散域224
函數項級數的和
函數及餘項225
冪級數226
阿貝爾（Abel）定理226
阿貝爾（Abel）定理推論226
冪級數的收斂半徑、
收斂區間和收斂域 226
冪級數收斂半徑的求法227
冪級數的四則運算227
冪級數和函數的性質229
泰勒級數230
麥剋勞林級數231
函數展成泰勒級數231
常用函數的麥剋勞林級數231
§11��4函數項級數的一緻收斂性232
函數項級數的一緻收斂性232
函數項級數一緻收
斂性的判彆法（維
爾斯特拉斯
（Weierstrass）判彆法）233
一緻收斂級數的性質233
冪級數的一緻收斂性235
§11��5復數項級數和歐拉公式235
復數項級數235
復數項級數的收斂性236

復數項級數的絕對收斂性236
歐拉（Euler）公式236
§11��6傅裏葉級數237
三角級數237
傅裏葉級數237
收斂定理（狄利
剋雷（Dirichler）
充分條件）237
奇函數與偶函數的
傅裏葉係數238
正弦級數238
餘弦級數238
以2l為周期的函數的
傅裏葉級數239
本章知識點及其關聯網絡 ①(數項級數)241
本章知識點及其關聯網絡②（冪級數、傅裏葉級數）242
第12章微分方程243
§12��1微分方程的基本概念243
微分方程定義243
微分方程的階243
n階微分方程的一般形式243
微分方程的解243
微分方程的初始條件244
微分方程的通解和特解244
微分方程的積分麯綫244
§12��2一階微分方程244
可分離變量的微分
方程及其解法244
齊次方程及其解法244
一階綫性微分方程245
一階綫性齊次微分
方程的通解245
一階綫性非齊次微分
方程的通解246
伯努利方程246
伯努利方程解法246
全微分方程247
全微分方程解法247
積分因子247
§12��3高階可降階微分方程248
y(n)=f(x)型的
微分方程248
y″=f(x,y′)型的微
分方程248
y″=f(y,y′)型的微分方程248
§12��4高階綫性微分方程249
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