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內容簡介

　　《現代數學譯叢·Backlund變換和Darboux變換：幾何與孤立子理論中的應用》大量介紹瞭麯麵的經典微分幾何同現代孤立子理論的聯係。 對於從十九世紀和二十世紀初著名的幾何學傢如Bianchi，Backlund，Eisenhart關於保持某些特殊類型的麯麵的幾何性質不變的變換，作者提供瞭大量文獻。《現代數學譯叢·Backlund變換和Darboux變換：幾何與孤立子理論中的應用》以大量的篇幅介紹瞭Backlund-Darboux變換？它們的非綫性疊加原理以及在孤立子理論中的重要性。《現代數學譯叢·Backlund變換和Darboux變換：幾何與孤立子理論中的應用》的宗旨是介紹這些變換以及麯麵的經典微分幾何同孤立子理論中的非綫性方程的聯係。從幾何角度來看， 孤立子方程來源於在Backlund-Darboux變換下不變的各種麯麵的Gauss-Mainardi-Codazzi方程組。

目錄

譯者序
序言
前言與摘要
第1章 僞球麯麵經典Backlund變換和Bianchi方程組
1.1 雙麯麯麵的Gauss-Weingarten方程組僞球麯麵和sine-Gordon方程
1.2 Sine-Gordon方程的經典Backlund變換
1.3 Bianchi的可換性定理和多孤立子解的生成
1.3.1 Bianchi的可換性定理
1.3.2 物理應用
1.4 僞球孤立子麯麵和呼吸子
1.4.1 僞球麵
1.4.2 僞球螺鏇麵
1.4.3 雙孤立子麯麵
1.4.4 呼吸子
1.4.5 靜態呼吸子麯麵
1.5 平行麯麵和類Weingarten麯麵上的誘導Backlund變換
1.5.1 常平均麯率麯麵和Bonnet定理
1.5.2 一個導齣的Backlund變換
1.6 Bianchi方程組及其自Backlund變換
1.6.1 雙麯麯麵及其球錶示
1.6.2 雙麯麯麵的個Backlund變換
1.6.3 Bianchi方程組

第2章 麯綫和麯麵的運動及其同孤立子的聯係
2.1 常撓率和常麯率麯綫的運動以及同sine-Gordon方程的聯係
2.1.1 常撓率不可伸長麯綫的運動
2.1.2 常麯率不可伸長麯綫的運動
2.2 sine-Gordon方程的個2x2綫性錶示
2.3 僞球麯麵的運動Weingarten方程組及其Backlund變換
2.3.1 非簡諧格點模型的連續極限
2.3.2 Weingarten方程組-
2.3.3 Backlund變換
2.4 mKdV方程運動麯綫與孤立子麯麵錶示以及孤立子Weingarten方程組
2.4.1 mKdV方程
2.4.2 Dini麯麵的運動
2.4.3 三元正交Weingarten係統

第3章 Tzitzeica麯麵共軛網與Toda格
3.1 Tzitzeica麯麵及其同可積氣體動力學方程組的聯係
3.1.1 Tzitzeica方程和仿射球方程
3.1.2 氣體動力學中的仿射球方程
3.2 Tzitzeica麯麵的構造及其Backlund變換
3.3 Laplace-Darboux變換二維Toda格和共軛網
3.3.1 Laplace-Darboux變換
3.3.2 Laplace-Darboux變換的重復作用和二維roda格
3.3.3 二維Toda格它的綫性錶示和Backlund變換
3.3.4 共軛網
第4章 Hasimoto麯麵與非綫性Schrodinger方程它們的幾何及相關的孤立子方程
4.1 從法嚮運動與非綫性Schrodinger方程以及Heisenberg自鏇方程
4.1.1 單孤立子NLS麯麵
4.1.2 幾何性質
4.1.3 Heisenberg自鏇方程
4.2 Pohlmeyer-Lund-Regge模型同SIT方程組和SRS方程組的聯係以及同NLS方程的相容性
4.2.1 Pohlmeyer-Lund-Regge模型
4.2.2 與SIT方程組的聯係
4.2.3 與SRS方程組的聯係
4.2.4 Maxwell-Bloch方程組與NLS方程的相容性
4.3 NLS方程的幾何與自Backlund變換
4.3.1 非綫性Schrodinger方程
4.3.2 自Backlund變換

第5章 等溫麯麵Calapso方程和Zoomeron方程
5.1 等溫麯麵的Gauss-Mainardi-Codazzi方程組Calapso萬程以及對偶等溫麯麵
5.2 R2中等溫麯麵的幾何
5.2.1 共軛坐標和正交坐標
5.2.2 等溫麯麵
5.2.3 特殊情形以及推廣
5.3 嚮量Calapso方程組及其標量Lax對
5.3.1 嚮量Calapso方程組
5.3.2 標量Lax對
5.3.3 約化
5.4 基本變換
5.4.1 平行網與梳狀變換
5.4.2 徑嚮變換
5.4.3 基本變換
5.5 等溫麯麵的Backlund變換
5.5.1 共軛坐標係的基本變換
5.5.2 Ribaucour變換
5.5.3 等溫麯麵的Backlund變換
5.6 可換性定理及其幾何意義
5.6.1 共軛網的可換性定理與平麵性
5.6.2 正交共軛網的可換性定理與共圓性
5.6.3 等溫麯麵的可換性定理與常交比性
5.7 嚮量Calapso方程組顯式的可換性定理
5.7.1 Ribaucour變換與Moutard變換的關係-
5.7.2 可換性定理
5.8 特殊的等溫麯麵單孤立子麯麵與四次圓紋麯麵
5.8.1 單孤立子等溫麯麵
5.8.2 由Moutard變換生成的族解
5.8.3 Dupin四次圓紋麯麵

第6章 孤立子麯麵的般性質以及規範變換和反嚮變換的作用
6.1 AKNS 2×2譜問題
6.1.1 僞球麯麵的位置嚮量
6.1.2 su（2）綫性錶示及其相關的孤立子麯麵：rq時的AKNS係統
6.2 NLS特徵函數梯隊幾何性質和Miura變換
6.2.1 作為特徵函數方程解的孤立子麯麵的位置嚮量
6.2.2 Serret-Frenet方程和NLS梯隊
6.3 反嚮變換和圈孤立子
6.3.1 反嚮變換和圈孤立子方程
6.3.2 圈孤立子
6.4 Dym梯隊mKdV梯隊KdV梯隊及其聯係
6.4.1 反嚮變換下的不變性以及類平麵麯綫運動
6.4.2 Dym梯隊mKdV梯隊和KdV梯隊
6.4.3 可換性定理
6.4.4 mKdV梯隊的幾何導齣-
6.5 常麯率麯綫的從法嚮運動和推廣的Dym麯麵
6.5.1 常麯率麯綫
6.5.2 推廣的Dym麯麵和su（2）綫性錶示
6.5.3 CC理想錶示-
6.5.4 推廣的Dym方程和m2KdV方程的矩陣Darboux變換和Backlund變換
6.5.5 孤立子麯麵
6.6 常撓率麯綫的從法嚮運動與推廣的sine-Gordon方程組
6.6.1 推廣的sine-Gordon方程組
6.6.2 基本形式和su（2）綫性錶示
6.6.3 Backlund變換
6.6.4 Bianchi變換的類似和對偶麯麵

第7章 Backlund變換與Darboux短陣的聯係
7.1 僞球麯麵和非綫性Schrodinger麯麵的聯係
7.1.1 僞球麯麵
7.1.2 NLS麯麵
7.2 AKNS係統的Darboux矩陣誘導Backlund變換以及常距離性質
7.2.1 基本矩陣Darboux變換
7.2.2 su（2）約束下的不變性
7.2.3 滿足r=-q的AKNS梯隊及其基本Backlund變換
7.2.4 常距離性質
7.3 Darboux變換的重復作用及般的可換性定理
7.3.1 矩陣Darboux變換的重復作用
7.3.2 -般的可換性定理

第8章 Bianchi方程組和Ernst方程組它們的Backlund變換和可換性定理
8.1 Bianchi麯麵和Sym-Tafel公式的應用
8.2 非等譜綫性錶示的矩陣Darboux變換
8.3 su（2）約束的不變性和距離性質
8.4 廣義相對論中的Ernst方程
8.4.1 綫性錶示
8.4.2 對偶“Ernst方程”
8.5 Ehlers變換和Matzner-Misner變換
8.6 Neugebauer變換和Harrison Backlund變換
8.7 Ernst方程的矩陣Darboux變換
8.8 Ernst方程及其對偶方程的可換性定理以及同Bianchi方程的聯係

第9章 射影極小麯麵和等溫漸近麯麵
9.1 射影微分幾何中Gauss-Mainardi-Codazzi方程組的類比
9.2 射影極小麯麵Godeaux-Rozet麯麵和Demoulin麯麵
9.3 綫性錶示
9.3.1 Wilczynski四麵體和4x4綫性錶示
9.3.2 Pliicker對應和6x6綫性錶示
9.4 作為周期Toda格的Demoulin方程組
9.5 射影極小麯麵的Backlund變換
9.5.1 so（33）綫性袁示的不變性
9.5.2 s/（4）綫性錶示的不變性
9.6 單孤立子Demoulin麯麵
9.7 等溫漸近麯麵和靜態mNVN方程
9.7.1 靜態mNVN方程
9.7.2 靜態NVN方程
9.8 等溫漸近麯麵的Backlund變換
9.8.1 mNVN方程的不變性
9.8.2 NVN方程的不變性和等溫漸近麯麵的Backlund變換

附錄A su（2）與so（3）的同構
附錄B CC-理想
附錄C 傳記
參考文獻
補充參考文獻
緻謝
《現代數學譯叢》已齣版書目

精彩書摘

　　《現代數學譯叢·Backlund變換和Darboux變換：幾何與孤立子理論中的應用》：
　　第1章 僞球麯麵，經典Backlund變換和Bianchi方程組
　　最早對負常全麯率麯麵進行的顯式研究可以追溯到1838年Minding的工作[261]，他的重要定理指齣，具有相同麯率的這些麯麵之間是等距的，即可使得它們上麵的點建立起保持度量的一一對應.後來，Beltramj[281稱這類麯麵為僞球麯麵並使之與Lobachevski的非歐幾何建立瞭重要的聯係。1862年，Bour[541研究瞭漸近坐標下僞球麯麵的Gauss方程的相容性條件，並從中首次導齣瞭sine-Gordon方程.1879年，Bianchj[31]在他取得任教資格的論文中指齣瞭僞球麯麵的幾何構造.Backlund[21]於1883年引入瞭一個關鍵性的參數使得可以構造一係列僞球麯麵，推廣瞭Bianchi的工作.然後Bianchj[321又於1885年將僞球麯麵的Backlund變換與sine-Gordon方程的一個漂亮的變換聯係起來，這就是sine-Gordon方程的Backlund變換，它包含瞭以前Darboux已建立的一個不含參數的結果[94].Backlund變換在孤立子理論中有重要的應用，在它和與之相關的Darboux交換[92]下的不變性齣現於所有孤立子方程中.Bianchi與Darboux對麯麵幾何的貢獻，特彆是Backlund變換保持某些幾何性質不變的特性後來被陳省身[77]？Sym[3851等研究，本書關心的主要就是Backlund變換和Darboux變換？它們的幾何起源以及在現代孤立子理論中的應用。1.1雙麯麯麵的Gauss-Weingarten方程組，僞球麯麵和slne-Gordon方程
　　本節中，我們將僞球麯麵放在一類更廣泛的雙麯麯麵的框架下來研究，這類雙麯麯麵由Bianchi通過一個非綫性係統給齣[37].關於麯綫和麯麵微分幾何的背景知識可以在標準的教科書，如do Carmo[1081或Struick[3521的書中找到，後一本書中有著關於曆史的豐富材料，
　　我們用r=r（u，v）錶示R3中麯麵∑上一點P的位置嚮量，那麼嚮量ru在P點與∑相切，當這兩個嚮量綫性無關時，
　　決定瞭∑的單位法嚮量.∑的第一基本形式和第二基本形式分彆為
　　其中
　　Bonnet的一個經典結果[53]錶明這六個量{E，E G；e，9）在除瞭允許作剛體運動外唯一決定瞭麯麵∑。∑的Gauss方程組1[352]是
　　Weingarten方程組是
　　其中
　　（1.4）式中的是Christoffel記號，它們由
　　給齣，其中是
　　中的係數，
　　這裏，我們用瞭Einstein求和約定，即對重復指標求和。將相容性條件應用於綫性的Gauss方程組（1.4）就得到非綫性的Mainardi-Codazzi方程組
　　或等價的方程組
　　以及Gauss的“絕妙定理”（Theorema egregium）.由此“絕妙定理”，Gauss（全）麯
　　可以僅用E，F，G錶示齣來，在Liouville錶示下，有
　　從物理觀點來看，Gauss的“絕妙定理”錶明麯麵∑在無伸縮地彎麯時全麯率保持不變，
　　如果∑的全麯率為負，即∑是一個雙麯麯麵，那麼可以取∑上的漸近麯綫作
　　為參數麯綫.這時，e=g-0，Mainardi-Codazzi方程組（1.10）成為
　　參數麯綫之間的夾角u滿足
　　由於E，G>O，可以不妨設
　　這時第一？第二基本形式成為
　　Mainardi-Codazzi方程組（1.11）成為
　　Gauss-Mainardi-Codazzi方程組（1.21）-（1.23）是一組非綫性方程組，它最初由Bianchj[37]建立.它在孤立子理論中的重要性先後被Cenkl[741和Levi，Sym[2341注意到，他們添加一個約束條件Pu？-0使得係統變為孤立子係統.後麵將討論這個問題。在為常數且.如果在∑上取漸近麯綫的弧長為參後.第一？第二基本形式成為而（1.23）式成為著名的方程
　　到二十世紀，sine-Gordon方程醒目地齣現在物理學的許多領域中（見文獻[311]）. Seeger等[201， 345， 346]首先發現sine-Gordon方程的經典Backlund變換在晶體位錯理論中有重要的應用.在Frenkel和Kontorova的位錯理論框架下，他們用經典Backlund變換得到瞭“特徵運動”的疊加，對現在所稱的帶有紐結型位錯的呼吸子的相互作用既作瞭理論分析，又繪齣瞭它們的圖像[345].Zabusky和Kruskal[3891於1965年對Korteweg-de Vries方程所發現的典型的孤立子特性，包括在相互作用後速度與形狀保持不變以及相移的存在，在1953年的這篇重要文章中對sine-Gordon方程都已提及.z在這以後，僞球麯麵的幾何同其他孤立子方程的聯係相繼被發現[26，78，79，141， 190， 292， 294， 321， 363]。Lamb[223]和Barnard[231發現，sine-Gordon方程Backlund交換的非綫性疊加原理可應用於超短光脈衝的傳輸理論中，特彆是，他們從理論上得到瞭Gibbs和Slusher[1501在實驗中發現的銣蒸氣中孤立子的分裂現象.經典Backlund變換也在長Josephson結的理論中得到瞭應用[344]。前麵給齣瞭研究Backlund變換以及它在sine-Gordon方程上的具體應用的曆史原因，其中既有理論上的，又有應用上的.下麵將看到，這個Backlund變換事實上對應於由Bianchi和Lie給齣的一個變換的共軛作用，這個Lie對稱在Bianchi變換中引入瞭一個關鍵的Backlun，d參數，使得變換可以反復進行，從而生成物理上所稱的多孤立子解.於是，Backlund參數有瞭重要的物理解釋。1.2 Sine-Gordon方程的經典Backlund變換
　　Sine-Gordon方程的Backlund變換最早在僞球麯麵上用簡單的幾何方法構造齣來，對於初始僞球麯麵∑上的一點P，按下麵要介紹的Backlund變換方法作齣綫段PP'，使得PP'的長度為常值並且PP'與∑在P點相切，那麼當P取遍∑時，P7全體構成與∑的全麯率相同的另一個僞球麯麵∑7.這個過裎可以反復進行下去，生成同初始種子麯麵∑有相同全麯率的一係列僞球麯麵。∑是具有全麯率的僞球麯麵，∑上的一點用位置嚮量錶示，這裏v是漸近麯綫的弧長參數.在這個參數化下和N都是單位嚮量，不過ru和r不一定正交.因此，更方便的方法是引入一個標準正交嚮量組{A，B，C），這裏從Gauss-Weingarten方程組（1.26），（1.27）得到A，B，C關於u，v的導數，即這個綫性方程組相容的充要條件是u滿足sine-Gordon方程（1.25）。
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