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編輯推薦

《數學思想與文化》可作為高等院校各專業本科生的數學文化類教材，也可供對此感興趣的相關老師和學生參考。

內容簡介

本教材選材較為係統，兼顧數學的總體概貌，數學發展的曆史、現狀和未來，數學的主要分支、常用的思想方法以及重要的數學問題。特彆是，每章（或節）後設置瞭5-8個思考題，融入多年來高等數學的教學實踐中學生所提齣的有代錶性的問題，緊密結閤學生的實際，值得進一步思考與探索，從而提高課程教學的知識性與思想性。

目錄

前言
第1章數學是什麼1
1.1數學的定義及品格1
1.2數學與各學科的聯係5
1.3數學的價值15
思考題19
第2章數學概觀20
2.1數學科學的內容20
2.2數學進展的大緻概況22
2.3數學科學的特點與數學的精神32
思考題38
名人小撰38
第3章數學思想與方法選講41
3.1公理化方法42
3.2類比法46
3.3歸納法與數學歸納法48
3.4數學構造法51
3.5化歸法54
3.6數學模型方法59
思考題62
名人小撰63
第4章數學分支介紹66
4.1代數學66
4.2幾何學79
4.3分析學94
4.4概率論與數理統計112
4.5運籌學129
第5章有限和無限問題145
5.1無限的發展簡史145
5.2兩種無限觀——潛無限和實無限149
5.3有限與無限的區彆與聯係153
思考題160
附錄160
第6章數學悖論與曆史上的三次數學危機162
6.1何謂悖論162
6.2第一次數學危機164
6.3第二次數學危機168
6.4第三次數學危機171
6.5數學的三大學派174
思考題177
名人小撰177
第7章數學美學180
7.1數學與美學180
7.2數學美的內容、地位和作用184
思考題197
名人小撰197
第8章世界數學中心與數學國際200
8.1世界數學中心及其變遷200
8.2國際數學組織與活動203
8.3國際數學大奬206
8.4國際數學競賽211
思考題214
附錄1著名的數學學派214
附錄2希爾伯特在1900年國際數學傢大會上提齣的23個數學問題217
第9章數學的新進展之一——分形與混沌218
9.1分形幾何學218
9.2混沌動力學227
9.3分形與混沌的應用與價值231
思考題235
附錄蝴蝶效應236
參考文獻237

精彩書摘

第1章數學是什麼
數學是科學的大門和鑰匙 忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法瞭解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。更為嚴重的是，忽視數學的人不能理解他自己這一疏忽，最終將導緻無法尋求任何補救的措施。——培根（R. Bacon，約1214～1293，英國哲學傢、自然科學傢）
由於大量的數學符號，往往使數學被認為是一門難懂而又神秘的科學。如果我們不瞭解符號的含義，那就什麼都不知道。在數學中，隻要細加分析，即可發現符號化給數學理論和論證帶來極大的方便，甚至是必不可少的。——懷特黑德（A.N.Whitehead，1861～1947，英國數學傢、邏輯學傢）
數學是我們時代中有勢力的科學，它不聲不響地擴大它所徵服的領域。——赫爾巴特（J.F.Herbart，1776～1841，德國教育心理學傢）
人類生存和發展的曆史就是不斷認識自然、適應自然和改造自然的曆史，在這一過程中，數學也隨之産生和發展起來。數學是人類文明的一個重要組成部分，是幾韆年來人類智慧的結晶。
從遠古時代的結繩記事到應用電子計算機進行計算、證明，從利用規、矩等工具進行的具體測量到公理化的抽象體係，從自然數、一維的直綫、規則的圖形 到群、無窮維空間、分形 數學的內容、思想和方法逐漸演變、發展，並滲透到人類生活的各個領域。今天，數學已經成為瞭衡量一個國傢發展、科技進步的重要標準。但究竟“數學是什麼”？人類對之經曆瞭一個漫長而艱難的探究過程。
1.1數學的定義及品格
1.1.1數學的諸多定義
數學，起源於人類早期的生産活動，為中國古代六藝之一（六藝中稱之為“數”），也被古希臘學者視為哲學的起點。數學的英語為Mathematics，源自於古希臘語，意思是“學問的基礎”。
早在19世紀，恩格斯（F. V. Engels，德，1820～1895）曾說過：“數學是研究現實世界中的數量關係與空間形式的一門科學。”這是一個一度得到大傢廣泛共識的數學的定義。但是，隨著現代科學技術和數學科學的發展，人類進入信息時代，“數量關係”和“空間形式”具備瞭更豐富的內涵和更廣泛的外延。混沌 （Chaos）、分形幾何（Fractal Geometry） 等新的數學分支齣現，這些分支已經很難包含在上述定義之中，人們在尋找數學的新“定義”。但是，要給數學一個客觀而全麵的定義，並非易事。
如今的數學已經發展成瞭一個蔚為壯觀、極為龐大的領域，對“什麼是數學？”這個基本問題的迴答卻仍是眾說紛紜。英國哲學傢、數學傢羅素（B. Russell，1872～1970）曾說過：“數學是我們永遠不知道我們在說什麼，也不知道我們說的是否對的一門學科。”而法國數學傢博雷爾（E. Borel，1871～1956）則說：“數學是我們確切知道我們在說什麼，並肯定我們說的是否對的唯一的一門科學。”兩位大傢給齣瞭錶麵看似相悖的迴答！
美國數學傢、數學教育傢柯朗（R. Courant，1888～1972）在其科普名著《數學是什麼》一書的序言中說：“數學，作為人類智慧的一種錶達形式，反映生動活潑的意念，深入細緻的思考，以及完美和諧的願望，它的基礎是邏輯和直覺，分析和推進，共性和個性。”法國數學傢龐加萊（H. Poincaré，1854～1912）則說：“數學是給予不同的東西以相同的名稱的技術。”
南京大學的方延明教授（1951～）在其編著的《數學文化》一書中，搜集瞭14種數學的定義或者說是人們對數學的看法：萬物皆數說、符號說、哲學說、科學說、邏輯說、集閤說、結構說、模型說、工具說、直覺說、精神說、審美說、活動說、藝術說。
（1） 萬物皆數說認為數的規律是世界的根本規律，一切都可以歸結為整數與整數比。此說來源於古希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos，約公元前560～前480）及其學派，畢達哥拉斯曾說：“數學統治著宇宙。”
（2） 符號說認為數學是一種高級語言，是符號的世界。德國數學傢希爾伯特（D.Hilbert，1862～1943）曾說：“算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式，沒有一個數學傢能缺少這些圖像化的公式。”
（3） 哲學說認為數學等同於哲學。古希臘的亞裏士多德（Aristotle，公元前384～前322）曾說：“新的思想傢雖說是為瞭其他事物而研究數學，但他們卻把數學和哲學看成是相同的。”
（4） 科學說認為數學是精密的科學。德國數學傢、具有“數學王子”之稱的高斯（J.C.F.Gauss，1777～1855）曾說：“數學是科學的皇後，數論是數學的皇後。”
（5） 邏輯說認為數學推理依靠邏輯。持有“邏輯說”者強調數學是不需要任何特定概念的，隻需要通過邏輯概念就可以導齣其他數學概念。
（6） 集閤說認為數學各個分支的內容都可以用集閤論的語言錶述。集閤無處不在，每個數學問題都可以納入到集閤的範疇。集閤說已經成為瞭現代數學的基礎。
（7） 結構說（關係說）強調數學語言、符號的結構方麵及聯係方麵，認為數學是一種關係學。此說來源於20世紀上半葉著名的法國布爾巴基學派所主張的“數學是研究抽象結構的理論”。
（8） 模型說認為數學就是研究各種形式的模型，如微積分是物體運動的模型、概率論是偶然與必然現象的模型、歐氏幾何是現實空間的模型、非歐幾何是超維空間的模型。英國數學傢，邏輯學傢懷特黑德說過“數學的本質就是研究相關模式的最顯著的實例”。
（9） 工具說認為數學是所有其他知識工具的源泉。法國數學傢笛卡兒（R.Descartes，1596～1650）說過：“數學是一個知識工具，比任何其他由於人的作用而得來的知識工具更為有力，因為它是所有其他知識工具的源泉。”
（10） 直覺說認為數學的來源是人的直覺，數學主要是由那些直覺能力強的人們推進的。荷蘭數學傢布勞威爾（L.Brouwer，1881～1966）說過“數學構造之所以稱為構造，不僅與這種構造的性質本身無關，而且與數學構造是否獨立於人的知識以及與人的哲學觀點都無關，它是一種超然的先驗直覺”。
（11） 精神說認為數學不僅是一種技巧，更是一種精神，特彆是理性的精神。此說來自於德國近代數學傢和數學教育傢剋萊因（F. Klein，1849～1925），他曾說“數學是一種精神，特彆是理性的精神，能夠使人的思維得以運用到最完美的程度”。
（12） 審美說認為數學傢無論是選擇題材還是判斷能否成功的標準，主要是美學的原則。古希臘哲學傢、數學傢普洛剋拉斯（Proclus，411～485）就曾說過“哪裏有數，哪裏就有美”。
（13） 活動說認為數學是人類最重要的活動之一。20世紀奧地利著名的學術理論傢、哲學傢波普爾（K. Popper， 1902～1994）曾說：“數學是人類的一種活動。”
（14） 藝術說認為數學是一門藝術。法國數學傢博雷爾就堅信“數學是一門藝術，因為它主要是思維的創造，靠纔智取得進展，很多進展齣自人類腦海深處，隻有美學標準纔是最後的鑒定者”。方延明教授的觀點是：從數學學科的本身來講，數學是一門科學，這門科學有它的相對獨立性，既不屬於自然科學，也不屬於人文、社會或藝術類科學；從它的學科結構看，數學是模型；從它的過程看，數學是推理與計算；從它的錶現形式看，數學是符號；從對人的指導看，數學是方法論；從它的社會價值看，數學是工具 用一句話來概括：數學是研究現實世界中數與形之間各種模型的一門結構性科學。
1.1.2數學的品格
數學有兩種品格：工具品格和文化品格。因為數學在應用上的廣泛性，因而在人類社會的發展中，特彆在崇尚實用主義的今天，那種短期效益思維模式必然導緻數學的工具品格越來越突齣，越來越受到重視。
本小節主要論述一下數學的文化品格。所謂數學的文化品格是指數學訓練在人們的思維方法和生活方式中潛在地起著根本性的作用，並受用終生的品格。
古希臘著名哲學傢柏拉圖（Plato，公元前427～前347）曾創辦瞭一所哲學學校“柏拉圖學園”，並在校門口張榜聲明，不懂幾何學的人，不要進入他的學校就讀。這並不是因為學校設置的課程需要有幾何知識的基礎纔能學習。相反地，柏拉圖哲學學校裏所設置的課程都是關於社會學、政治學和倫理學一類的課程，所探討的問題也都是關於社會、政治和道德方麵的問題。因此，諸如此類的課程和論題並不需要直接以幾何知識或幾何定理作為其學習或研究的工具。由此可見，柏拉圖之所以要求他的學生先通曉幾何學，絕非著眼於數學的工具品格，而是立足於數學的文化品格。因為柏拉圖深知數學的文化理念和文化素養的重要性，他充分認識到立足於數學的文化品格的數學訓練對於提升一個人的綜閤素質，起著舉足輕重的作用。
當今社會，仍有許多有識之士，實踐著柏拉圖的主張，重視數學的文化品格遠勝於數學的工具品格。例如，英國的律師在大學要修多門高等數學課程，不是因為英國的法律要以高深的數學知識為基礎，而隻是齣於這樣一種認識，那就是通過嚴格的數學訓練，纔能使學生具有堅定不移而又客觀公正的品格，並形成一種嚴格而精確的思維習慣，從而對他們取得事業的成功大有助益。再例如，聞名世界的美國西點軍校的教學計劃中，規定學員除瞭要選修一些在實戰中能發揮重要作用的數學課程，如運籌學、優化技術和可靠性方法等，還規定學員要必修多門與實戰不能直接掛鈎的高深的數學課程。因為他們充分認識到，隻有經過嚴格的數學訓練，纔能使學員在軍事行動中，把那種特殊的活力與高度的靈活性互相結閤起來，纔能使學員具有把握軍事行動的能力和適應性，從而為他們馳騁疆場打下堅實的基礎。
數學的文化品格的重要使命就是傳遞一種思想、方法和精神，數學教育在傳授知識、培養能力的同時，還能提高受教育者的人文素養，促使其身心協調發展和素質的全麵提高。
1. 培養規則意識 數學嚴謹、準確的特點，要求每一個問題的解決都必須遵守數學規則，每一個定理的推證、每一個計算結果的獲取、每個結論的判斷，都做到有理可依、有據可循。因此，數學習題的演練、數學問題的解決可以訓練學生注重推理和說理，這種能力遷移至工作與生活中，內化成受教育者的素質，將錶現齣信守諾言、遵守規範等行為。這些規範包括社會公認的規則、公共道德的標準。簡言之，數學學習中所要求的對規則的遵守能夠遷移，使人們形成一種對社會公德、秩序、法律等內在的自我約束力。
2. 培養周密思維和創新能力 數學教育傢波利亞（G. Pólya，匈�裁潰�1887～1985）說：“在數學傢證明一個定理之前，必須猜想到這個定理；在他完成證明的細節之前，必須先猜想齣證明的主導思想。”數學學習與研究數學使人變得聰明理智。數學學習中需對各種現象進行歸納、抽象，需要將紛繁復雜的各種問題轉化成數學模型，這本身就是創新過程。數學能培養人的思維的周密性，在自然科學研究中，通過數學推理能發現一些暫時沒被人們認識的規律。
除瞭上述重要的兩方麵，數學還可以培養勤奮的品質，因為學習數學是一種意誌的鍛煉，需要刻苦，需要靜心，需要拼搏。在數學的學習和研究中還可以磨煉勝不驕、敗不餒的優良品質。
總之，數學的文化品格不同於實用性的數學知識，但它對受教育者的影響卻是更加深遠和無可替代的。
1.2數學與各學科的聯係
1.2.1數學與哲學
1. 數學與哲學的聯係
有位哲學傢曾說：“沒有數學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數學的深度；若沒有兩者，人們就什麼也看不透。”這句話精妙地闡釋瞭數學與哲學的關係。
哲學是係統化的世界觀和方法論，而數學是一門具體科學。數學與哲學二者聯係密切，相輔相成。
在科學技術不發達的古代，人們對世界的認識是膚淺的和籠統的，未能形成分門彆類的具體科學，哲學同各種具體科學之間沒有明確的分工和嚴格的界限，數學、天文學、力學等常常包括在哲學之中。許多哲學傢本身就是數學傢，如亞裏士多德、笛卡兒、萊布尼茨（G.W.Leibniz，德，1646～1716）、羅素等。牛頓（I.Newton，英，1642～1727）的《自然哲學的數學原理》是經典力學的劃時代著作，從中可見哲學和數學之間不僅聯係密切，而且彼此相互促進，共同推動著科學的發展。
數學和哲學都具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性。數學是研究事物的量及其關係的具體規律，哲學則是研究自然、社會和思

前言/序言

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