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內容簡介

《擴散方程計算方法》介紹擴散方程的計算方法，重點介紹作者近十年來取得的研究進展。內容包括:擴散方程幾類常見的有限體積格式；扭麯網格上具有保正性和保持離散極值原理的有限體積格式；非綫性迭代方法和並行計算格式等。

目錄

第1章 擴散方程的有限體積格式簡介 1
1.1可允許網格上的有限體積格式 1
1.2多點通量逼近方法 2
1.3支撐算子方法 7
1.3.1局部支撐算子方法 7
1.3.2有通量錶達式的支撐算子方法 10
1.4菱形格式 13
1.5非綫性格式 18
1.6格式構造思路 20
第2章 網格節點加權平均九點格式 23
2.1九點格式的推導 23
2.2一般擴散方程的九點格式 26
2.3網格節點值的計算公式 28
2.3.1光滑係數問題 28
2.3.2間斷係數問題 29
2.4九點格式的切嚮差計算 35
2.4.1九點格式切嚮差計算的基本思想 35
2.4.2加權係數的計算公式 36
2.4.3嚴重扭麯情形 38
2.4.4自適應方法 40
2.5九點格式的理論結果 41
2.5.1穩定性分析 42
2.5.2收斂性分析 44
2.6非定常擴散方程的九點格式 45
2.7數值算例 47
2.7.1各嚮異性光滑係數問題 47
2.7.2間斷係數問題 48
2.7.3自適應切嚮差格式算例 49
第3章 單元中心-節點型格式 53
3.1光滑係數問題的格式構造 53
3.2格式的收斂性 57
3.3非定常擴散方程的格式 60
3.4間斷係數問題的格式 62
3.5解耦格式 66
3.5.1基本網格上的格式 66
3.5.2節點未知量的計算方法 68
3.5.3格式的收斂性 72
3.6數值算例 72
3.6.1光滑係數問題 72
3.6.2間斷係數問題 73
3.6.3解耦格式的數值結果 74
3.6.4綫性拋物問題 75
第4章 非匹配網格上的守恒格式 76
4.1構造格式的一般方法 76
4.2非匹配網格邊上輔助未知量的重構 78
4.2.1自適應模闆方法 78
4.2.2通量平衡點方法 80
4.2.3切嚮導數的近似 81
4.3非匹配網格節點處輔助未知量的重構 82
4.3.1懸點處未知量的重構 82
4.3.2簡單加權平均法 85
4.3.3最小二乘法 85
4.4數值算例 86
4.4.1光滑各嚮異性問題 87
4.4.2垂直斷層問題 88
4.4.3常係數及間斷係數問題 89
4.4.4間斷各嚮異性問題 91
第5章 守恒的非負性修正方法 94
5.1非負性修正方法一 94
5.1.1任意多邊形網格上的菱形格式 94
5.1.2Picard迭代方法 96
5.1.3保持局部守恒的強製數值解非負的算法 96
5.1.4初始迭代步的值 99
5.1.5非負性算法的計算流程 99
5.2非負性修正方法二 99
5.2.1守恒的遇負置零算法 100
5.2.2GCENZ算法的精度分析 102
5.2.3GCENZ算法的流程 103
5.3非負性修正方法三 104
5.3.1結構網格剖分計算區域 104
5.3.2一維情形的修補方法 105
5.3.3兩維情形的修正方法 107
5.3.4算法的執行步驟 108
5.4數值算例 109
第6章 保正格式 116
6.1自適應節點型保正格式 116
6.1.1問題與記號 116
6.1.2格式構造 117
6.1.3Robin邊界條件 121
6.1.4特殊情形 123
6.1.5離散係統 125
6.1.6保正性 126
6.2自適應邊中點型保正格式 127
6.3模闆固定型保正格式 130
6.3.1多邊形網格上的格式 130
6.3.2四邊形網格上的格式 133
6.4完全保正格式 136
6.4.1格式構造 136
6.4.2邊中點未知量的消去方法 137
6.4.3節點未知量的消去方法 138
6.4.4迭代求解方法 142
6.5邊中點未知量的消去方法 142
6.6數值算例 145
6.6.1精度 145
6.6.2保正性 148
6.6.3強間斷全張量問題 149
第7章 保持離散極值原理的格式 151
7.1自適應保極值原理格式 151
7.1.1單邊法嚮通量 151
7.1.2守恒法嚮通量 153
7.1.3格式及其求解方法 159
7.2極值原理和存在性 160
7.2.1極值原理 160
7.2.2存在性 161
7.3數值算例 163
7.3.1極值原理 163
7.3.2精度 165
第8章 非綫性迭代方法 167
8.1Picard迭代 167
8.2Picard-Newton迭代 170
8.2.1迭代格式設計 170
8.2.2理論分析 172
8.2.3Picard-Newton方法與Newton方法的區彆 181
8.3時間步長控製 184
8.4數值算例 186
8.4.1△u/u方法的結果 188
8.4.2CFL方法的結果 191
8.4.3無導數的Picard-Newton迭代方法 193
第9章 綫性問題的並行差分格式 195
9.1DFF-Ⅰ並行格式的穩定性 195
9.1.1穩定性的概念 195
9.1.2DFF-Ⅰ並行差分格式的穩定性分析 196
9.2拋物型方程移動界麵的並行差分格式 201
9.2.1並行格式1 202
9.2.2並行格式2 202
9.3一維二階精度無條件穩定格式的構造 203
9.3.1並行格式3 204
9.3.2並行格式4 205
9.4一維格式的理論分析 206
9.4.1格式的穩定性 206
9.4.2格式的收斂性 210
9.5二維二階精度無條件穩定格式的構造 212
9.5.1並行格式5 213
9.5.2並行格式6 215
9.6二維格式的理論分析 217
9.6.1格式的穩定性 217
9.6.2格式的收斂性 221
9.7數值算例 224
9.7.1DFF-Ⅰ格式的算例 224
9.7.2移動界麵並行格式的算例 226
9.7.3並行格式3的算例 227
9.7.4並行格式5的算例 228
第10章 非綫性問題的並行格式 230
10.1方程和記號 230
10.2並行格式的構造 231
10.3先驗估計、存在性與收斂性 234
10.4穩定性和唯一性 237
10.5數值算例 239
第11章 守恒型並行離散格式 242
11.1一維守恒型並行格式 242
11.1.1基於界麵顯式通量的守恒並行格式 243
11.1.2基於界麵預估的守恒型並行格式 243
11.1.3基於界麵守恒修正的並行格式 249
11.1.4第二種界麵守恒修正方式 253
11.1.5非綫性並行迭代格式 254
11.1.6守恒型並行迭代格式 255
11.1.7基於界麵守恒修正的並行迭代格式 256
11.2二維守恒型並行格式的設計方法 258
11.2.1九點格式及其迭代方法 260
11.2.2守恒型並行迭代算法 262
11.2.3在內界麵處采用Dirichlet邊界條件 263
11.2.4在內界麵處采用Neumann邊界條件 264
11.2.5守恒型並行算法步驟 264
11.3數值算例 265
11.3.1守恒型並行格式的算例 265
11.3.2守恒並行九點格式的算例 266
參考文獻 269
索引 273
《信息與計算科學叢書》已齣版書目 274

精彩書摘

第1章 擴散方程的有限體積格式簡介
本章簡要介紹幾種常用的有限體積格式，包括可允許網格上的有限體積格式、多點通量逼近方法、支撐算子方法、菱形格式和非綫性格式等。
1.1 可允許網格上的有限體積格式
下麵介紹可允許網格上的離散格式。
首先給齣可允許網格的定義。
定義1.1.1(可允許網格) Ω為R2的有界多邊形區域。Ω的可允許有限體積網格為三元族(T;E;P)，其中T為一族“控製體積”，它們是Ω中有限個凸多邊形，E為R2上一族包含於Ω中的綫段，P為Ω中的一族點。
(T;E;P)具有如下性質:
從直觀上來說，可允許網格是這樣一種網格剖分，其相鄰單元中心連綫與公共邊垂直。
例如Vorono網格就是一種可允許網格。
對二維四邊形網格，J由6個單元的標號組成，見圖1.1。所得的方法稱為多點通量逼近方法[2]。
下麵考慮錶達式(1.4)中的傳遞係數的計算。
考慮圖1.1中由實綫所示的網格。假設擴散係數在每個單元(控製體)上為常數，u的值定義在單元中心。通過連接單元中心和單元邊的中點，可以得到一個對偶網格，見圖1.1中虛綫所示的網格。有時為瞭區彆起見將實綫所示的網格稱為主網格或基本網格。對偶網格稱為相互影響區域。在二維情況，對偶網格將網格邊分為兩部分，每一個部分稱為子邊。
多點通量逼近方法就是使得相互影響區域中的單元之間的局部影響決定所有子邊的傳遞係數。一旦所有子邊上的傳遞係數都被確定，則可以通過組閤子邊的貢獻而得到單元邊上的傳遞係數。對圖1.2所示的四邊形網格，子邊PQ和QR構成單元邊PR。一個單元邊的傳遞係數來源於兩個相鄰的相互影響區域的貢獻。
在一個相互影響區域內，有以下條件成立:越過子邊的溫度和通量連續。
假設在相互影響區域的每個單元上溫度可通過綫性函數描述。然而，不可能要求溫度和通量在相互影響區域的所有子邊上連續。例如，在4個單元中分彆對溫度作綫性近似，將導緻4￡3=12個自由度。在4條子邊上的通量連續將給齣4個條件，在每條子邊上的溫度連續條件將給齣8個條件。另外，綫性函數必須考慮單元中心值，這又將給齣4個條件。因此，總共有16個條件和12個自由度。為此，隻要求溫度在每條邊的中點連續。在圖1.3中，邊中點是指點A，B，C和D。從而對12個自由度隻有12個條件。以上給齣的方法稱為O方法。還可以選擇其他的連續性條件以及其他的連續點。
圖1.3相互影響區域(單元中心為1，2，3，4，邊中點為A;B;C;D)
注意到傳遞係數僅僅依賴於網格幾何和擴散係數，從而傳遞係數的計算可以作為一個預處理提前計算。
需要計算梯度rUj和法嚮量ni，該法嚮量的長度為所在子邊的長度。
在每個單元j上，假定溫度Uj為綫性函數，從而可以寫成
Uj(x)=rUj￠(x.xj0)+uj0;(1.6)
其中uj0是在單元j0的中心xj0處的值。梯度可以方便地由單元j的子邊上的連續點1xjk上的溫度的值決定。連續點和單元中心如圖1.4所示。
1.2多點通量逼近方法
下麵給齣二維情形的連續性條件。如圖1.3所示，在相互影響區域有4個單元，4條子邊。要求溫度u在點A，B，C，D連續，並記u(A)=1u1，u(B)=1u2，u(C)=1u3，u(D)=1u4。單元j的單元中心值記為uj(16j64)。對每個子邊OA，OB，OC和OD，利用方程(1.10)及以上單元中心值和單元邊中點值的記號，4條子邊上的通量連續條件可寫為
下麵將用單元中心值u=[u1;u2;u3;u4]T來錶示單元邊中點處的值v=[1u1，1u2，1u3，1u4]T。方程(1.12)中每個等式的左右兩邊分彆給齣瞭子邊上的法嚮通量。例如，左邊能寫成Cv.Du，其中C和D為4￡4的矩陣。從而可以得到通過4條子邊的通量

前言/序言

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