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內容簡介

　　本書講述瞭Grünwald Letnikov型、Riemann Liouville型、Caputo型及Weyl型四種分數階微分、分數階積分的定義、性質、運算法則及分數階微積分建模的案例，討論瞭分數階微分方程的初邊值問題、隨機分數階微分方程初值問題和隨機級數在非綫性波方程初值隨機化中的應用.
　　本書可作為高等院校理工科高年級本科生、研究生的教材或教師的教學參考書，也可供從事相關理論研究的科技工作者閱讀使用.

內頁插圖

目錄

第1章緒論
1.1分數階微積分的創立與發展簡介
1.2幾類特殊函數及變換
1.2.1Gamma函數
1.2.2Beta函數
1.2.3Laplace變換
1.2.4Fourier變換
1.3Mittag�睱effler函數及其性質
1.3.1Mittag�睱effler函數定義
1.3.2兩參數Mittag�睱effler函數的Laplace變換
1.3.3Mittag�睱effler函數的求導公式
習題1
第2章Grünwald�睱etnikov型分數階微積分
2.1G�睱型分數階微積分的定義
2.1.1整數階導數的差分近似遞推
2.1.2G�睱意義下整數階微分與積分的統一形式
2.1.3G�睱型分數階微積分的定義
2.2G�睱型分數階微積分的性質
2.3G�睱型分數階微積分的數學建模
2.3.1一般能量信號的G�睱型分數階微分模型
2.3.2圖像增強與去噪的G�睱型分數階微分與積分濾波器
構造模型
2.3.3計算時間分數階導數的G�睱定義下的差分模型
2.4G�睱型分數階微積分計算的數學實驗
習題2
第3章Riemann�睱iouville型分數階微積分
3.1R�睱型分數階微積分的定義與性質
3.1.1左R�睱型分數階微積分
3.1.2左R�睱型分數階微積分算子的性質
3.1.3R�睱型分數階微積分的中值定理
3.1.4右R�睱型分數階微積分的概念
3.1.5常用R�睱意義下的左（右）12階導數與12階積分
3.2R�睱型分數階微積分積分變換與廣義分數階導數
3.2.1R�睱型分數階微積分的積分變換
3.2.2廣義分數階導數與R�睱型分數階積分
3.3G�睱型與R�睱型分數階微積分之間的關係
3.4R�睱型分數階微積分的物理解釋與數學建模及實驗
3.4.1R�睱型分數階微積分的一種物理解釋
3.4.2控製係統中R�睱型分數階微分模型
3.4.3耳石器官廣義分數階黏彈性動力學模型
3.4.4計算時間分數階導數的R�睱定義下的差分模型
3.5R�睱型分數階微積分計算的數學實驗
習題3
第4章Caputo型分數階微積分
4.1Caputo型分數階導數的定義
4.2Caputo型分數階導數的性質
4.3G�睱型、R�睱型分數階微積分與Caputo型分數階導數之間的關係
4.3.1G�睱型定義與Caputo型定義之間的關係
4.3.2R�睱型定義與Caputo型定義之間的關係
4.4Caputo型分數階導數的數學建模
4.4.1Caputo型分數階Lagrange函數的Euler�睱agrange
數學模型
4.4.2計算時間分數階導數的Caputo型差分模型
4.5Caputo型分數階導數計算的數學實驗
習題4
第5章Weyl型分數階微積分
5.1Weyl型分數階微積分的定義
5.1.1速降函數的概念及性質
5.1.2Weyl型分數階微積分的定義
5.2Weyl型分數階微積分的性質
5.3Weyl型分數階微積分的數學建模
5.4Weyl型分數階微積分計算的數學實驗
習題5
第6章分數階微分方程
6.1分數階微分方程模型
6.2分數階微分方程的Green函數和Laplace變換求法
6.2.1Laplace變換求解分數階微分方程
6.2.2序列分數階導數
6.2.3Green函數法求解分數階微分方程
6.3分數階微分方程的初值問題
6.3.1綫性R�睱型分數階微分方程的初值問題
6.3.2非綫性R�睱型分數階微分方程的初值問題
6.3.3Caputo型分數階微分方程初值問題
6.4分數階微分方程的兩點邊值問題
6.4.1綫性分數階微分方程兩點邊值問題
6.4.2分數階非綫性微分方程邊值問題
6.5分數階發展方程的初值問題
6.5.1抽象分數階綫性微分方程初值問題
6.5.2抽象分數階發展方程初值問題
習題6
第7章隨機分數階微分方程
7.1隨機分析基礎
7.1.1Brown運動
7.1.2Ito積分的定義與性質
7.1.3Ito公式
7.1.4停時
7.1.5鞅的概念與性質
7.1.6常用的不等式
7.1.7分數Brown運動及其隨機積分
7.2半綫性隨機分數階微分方程
7.3隨機分數階積分�參⒎址匠�
7.4Hilbert空間中的隨機分數階Volterra方程
7.5隨機分數階振動方程
7.6幾類抽象隨機分數階微分方程的適定性
7.6.1Caputo型分數階隨機微分方程
7.6.2帶Caputo型分數階導數的隨機分數階微分方程
7.6.3分數Brown運動驅動的隨機微分方程
習題7
第8章初值隨機化及其應用
8.1隨機級數的定義與性質
8.1.1Banach空間中的隨機級數
8.1.2Hilbert空間中的隨機級數
8.1.3正項隨機級數
8.2隨機級數的Lp正則性
8.3超臨界波方程初值隨機化的Cauchy問題
8.4幾類非綫性發展方程初值隨機化的Cauchy問題
8.4.1分數階不可壓Navier�睸tokes方程初值隨機化的
Cauchy問題
8.4.2非綫性Schr�塪inger方程初值隨機化的Cauchy問題
習題參考答案
參考文獻

前言/序言

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