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內容簡介

　　《抽象代數1：代數學基礎》力求深入淺齣、循序漸進，以利於學生掌握抽象代數課程的精髓。
　　《抽象代數1：代數學基礎》還特彆注意與其他課程，如高等代數與解析幾何、微分幾何、李代數、有限群錶示和抽象代數Ⅱ等的聯係，加強學生對數學整體的把握。
　　《抽象代數1：代數學基礎》基本逐節配有習題，既可幫助讀者鞏固和拓廣教材講述的內容，又可進行科學研究能力的初步培養。

內頁插圖

目錄

前言

第1章 基本概念
1．1 二元運算與同餘關係
1．2 幺半群群
1．3 子群與商群
1．4 環與域
1．5 同態與同構
1．6 模
1．7 同態基本定理
1．8 循環群

第2章 環
2．1 分式域
2．2 多項式環
2．3 對稱多項式
2．4 唯一析因環
2．5 主理想整環與Euclid環
2．6 域上一元多項式
2．7 唯一析因環的多項式環
2．8 素理想與極大理想

第3章 域
3．1 域的單擴張
3．2 有限擴張
3．3 分裂域正規擴張
3．4 可分多項式完備域
3．5 可分擴張本原元素
3．6 代數學基本定理

第4章 群
4．1 群的生成組
4．2 群在集閤上的作用
4．3 Sylow子群
4．4 有限單群
4．5 群的直積
4．6 可解群與冪零群
4．7 Jordan-Holder定理
4．8 自由幺半群與自由群
4．9 點群

第5章 模
5．1 自由模
5．2 模的直和
5．3 主理想整環上的有限生成模
5．4 主理想整環上的有限生成扭模
5．5 主理想整環上有限生成模的應用
5．6 主理想整環上的矩陣

第6章 Galois理論
6．1 Galois基本理論
6．2 一個方程的群
6．3 分圓域二項方程
6．4 有限域
6．5 方程的根式解
6．6 圓規直尺作圖

參考文獻
索引

前言/序言

　　從1984年開始，我為南開大學數學係本科生講授抽象代數.特彆根據陳省身先生的倡議，南開大學於1986年創辦瞭數學試點班，並對該試點班的教學進行瞭許多改革，其中一個重要的改革是加強抽象代數的教學，教學時間由一個學期改為兩個學期，教學內容則要求係統和完整.1992年齣版的《代數學基礎》和之後齣版的《南開大學數學教學叢書》都是這個試點班的教材。
　　《代數學基礎》-書除南開大學數學係一直使用外，還有一些其他學校也在使用，有的學校還將其作為研究生課程的教材使用，十多年過去，情況有瞭很大的不同.雖然我在此書齣版後不再講授這門課程，但書中有一些問題慢慢得到瞭解答，這些是需要修改和補充的.這本書當時印得很少（復印的不少），現在已經買不到瞭，但是仍不斷有讀者來詢問何處可以買到，陳良雲、史毅茜和白瑞蒲三位老師三四年前就建議、敦促我再版此書，而且主動為書的再版做瞭大量工作，因此，此書的再版應是他們的功勞，科學齣版社一如既往地積極支持我們，願意齣版此書.為瞭不辜負讀者、三位老師和齣版社的希望，我決定再版此書，當然新版書是我與陳良雲、史毅茜、白瑞蒲三位老師共同閤作完成的。
　　由於在學校這門課程的名稱是“抽象代數”或“近世代數”，雖然這兩個名稱未必完全確切，但習慣成自然，也不必去計較，遵從這種習慣，我們將新書命名為《抽象代數》，由於擴充瞭很多內容，新的《抽象代數》分為兩本：第1本是《抽象代數I-代數學基礎》，基本保持瞭原書的結構與內容；第二本是《抽象代數II-結閤代數》，包括結閤代數、張量代數、Clifford代數和有限群錶示等四部分內容，這些內容在代數學中也是基本的，在其他分支中又經常要用，但是在抽象代數課程中往往被“忽略”，實在應該給予它們在抽象代數中相應的地位。
　　源遠流長的代數學，曆來在整個自然科學基礎之一的數學中占有極為重要的地位，今天它仍在蓬勃發展中，它對數學以及整個自然科學和社會科學的影響與日俱增，是數學中最有生機與活力的一個分支，
　　但是，當我們迴顧那漫長麯摺的曆史時，卻發現代數學在很長一段時期的發展竟是極其緩慢的.初等代數學是研究數和文字的代數運算（加法、減法、乘法、除法、乘方、開方）的理論和方法，其主要研究對象是多項式方程和多項式方程組的解.其研究方法是高度計算性的.16世紀，復數的引進是數學史一個重要的轉摺.初等代數學相繼解決瞭2次、3次與4次方程求解問題.這些方程的解都可用係數的四則運算與根式運算來給齣，即可用根式解這些方程.初等代數也因此而達到高峰.但是，當時的數學傢們繼續探索5次與5次以上方程的解，也試圖用根式解齣這些方程，經過200餘年，並無重要進展，這裏包括許多著名數學傢，如L.Euler（1707～1783），A.T.Vandermonde（1735～1796），J.L.Lagrange（1736～1813），P.Ruffini（1765～1822）等.直到19世紀，代數學的發展纔有瞭轉機。
　　1799年，C.F.Gauss（1777～1855）證明瞭代數學基本定理，因此獲得博士學位，他將多項式的根與復平麵上的點對應，從而證明瞭多項式根的存在.這裏Gauss將復數與平麵上的點一一對應，使用“復數”這個名詞，對以後數學都有很大影響.另一個重要的事情是他的方法.與以前不同的是，Gauss不是去計算一個根，而是證明根的存在，這個方法開創瞭探討數學中存在性的新途徑.1801年，Gauss在《算術研究》中將等分圓周與二項方程（xp-1=0，p為素數）聯係起來，並建立瞭二項方程的理論.1824年，N.H.Abel（1802～1829）解決瞭用根式求解5次方程不可能性問題.Abel還研究瞭一類可以用根式解的方程，後人發現這是具有交換的Galois群的方程，但是用根式解高次方程的問題並未完全解決。
　　1829年5月，E.Galois（1811-1832）寫齣瞭代數方程可解性的論文，1830年2月修改後交法國科學院，由於審稿人去世，手稿遺失.1831年，他再次修改論文，交法國科學院，這次並未得到應有的公正評價.1832年，Galois在決鬥前夕寫瞭絕筆信，整理瞭他的手稿，概述瞭他得到的主要成果.Galois不幸死於這場決鬥.1846年，即Galois逝世14年後，他的部分論文纔得以發錶.1870年，C.Jordan（1838～1922）全麵介紹瞭Galois的思想.Galois在探討可用根式求解的方程時，用瞭根的置換的概念，實際上，他已提齣瞭群的概念，用此理論徹底解決瞭用根式求解高次方程的問題，並由此發展瞭一整套關於群和域的理論-Galois理論。
　　自從19世紀Galois建立群論之後，代數學有瞭突破性的進展，主要是群、環、域及Galois理論的建立與發展，無疑這些理論當時處於數學發展的前沿，人們就把它們稱為“近世代數（modernalgebra）”.這些理論與以往的代數，即初等代數相比，抽象性更為突齣，如更著重於數學體係結構的研究，因而又被稱為“抽象代數（abstractalgebra）”。
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