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內容簡介

　　《大學數學科學叢書：實變函數論教程》係統講述實變函數的基本理論，包括集閤論的基本概念、歐幾裏得空間的拓撲性質與連續函數的基本性質、點集的測度與可測函數、Lebesgue積分理論以及微積分基本定理，作為實變函數基本理論的延伸，《大學數學科學叢書：實變函數論教程》還給齣瞭Lp空間的基本理論和抽象測度論的一個簡介，前者是泛函分析與調和分析的一個入門基礎，後者可為概率論的學習提供一個初步的理論基礎。
　　《大學數學科學叢書：實變函數論教程》可作為大學數學與應用數學專業高年級本科生的教材和教學參考書，也可作為相近專業研究生的實分析教材。
　　《大學數學科學叢書：實變函數論教程》強調實變函數理論基本思想的解析，可讀性強，也適宜作為自學讀本。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　現代工業文明起源於牛頓力學。微積分是牛頓力學的基石。1671年牛頓齣版瞭《流數法和無窮級數》從而創立瞭微積分。與他同時期，1684年德國數學傢萊布尼茨發錶瞭題為《-種求極大極小和切綫的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》的論文，獨立地創立瞭微積分。1687年牛頓齣版瞭《自然哲學的數學原理》從而建立瞭經典力學的基礎，利用微積分，事物非均勻變化的規律可以得到準確的描述：速度是物體運動行程關於時間的導數；速度的導數是加速度；加速度與所受的力成正比。漫長的人類發展史（約350萬-600萬年）和文明史（約5000-7000年）孕育瞭微積分的誕生。微積分的誕生迄今纔340多年，今天，從自然科學到社會科學，微積分是我們描述和認識復雜事物必不可少的工具。沒有微積分就沒有現代工業和科技文明，
　　數學源於人們對於度量的需要，度量導緻瞭對數和形的認識與研究，人們逐步認識瞭自然數、有理數、無理數以及正數、負數、復數；對形的認識首先是直的（正方形、矩形、三角形、多邊形），然後是麯的（圓、橢圓、麯邊形），最後是一般的集閤，實變函數在高維歐幾裏得空間的一般點集上建立度量理論（Lebesgue測度）和積分理論（Lebesgue積分），發展瞭微積分，奠定瞭分析數學的重要基礎。
　　為瞭在高維歐幾裏得空間的點集上建立度量和積分理論，19世紀後期，以Borel為代錶的法國數學傢（Borel，Bair，Lebesgue等）做齣瞭傑齣的貢獻。1901年，年僅26歲的Lebesgue發錶瞭論文《論定積分的一種推廣》，在該文中，他建立瞭現在被稱為Lebesgue測度和Lebesgue積分的新理論，他對歐幾裏得空間中非常一般的集閤建立瞭體積度量，並對定義在集閤上的函數建立瞭積分理論。Lebesgue測度和Lebesgue積分理論己成為泛函分析、調和分析、測度論、抽象分析等學科的基礎，是現代分析數學的基石，不能想象沒有Lebesgue積分的數學會是什麼樣子。鬥轉星移，百年間人類曆史發生瞭巨變。數學改變瞭世界，而Lebesgue積分是數學發展的裏程碑（推薦讀者閱讀Jean-Pierre Kahane為紀念Lebesgue積分100周年而寫的文章《Lebesgue積分的産生及其影響》，中譯本發錶於《數學進展》，Vol.31，No.2，2002年4月）。
　　實變函數便是係統講授Lebesgue測度和Lebesgue積分的專業課程，從知識結構上說，它與復變函數一起承接微積分的基本理論和方法，復變函數論從復變量函數的解析性（任意方嚮的可微性）上延伸微積分；而實變函數以擴充實函數的積分體係為主綫，在非常廣泛的意義上拓廣函數的概念，建立瞭Lebesgue積分理論，發展齣一套技巧精湛的分析方法。
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