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內容簡介

　　《黎曼幾何引論（下）》為下冊，可以作為“黎曼幾何”課程的後續課“黎曼幾何II”的教材。當前，微分幾何與數學的各個分支的相互影響越來越深刻、關係越來越密切。《黎曼幾何引論（下）》較好地反映瞭這種緊密的聯係，其內容共有三章，包括Kahler流形、黎曼對稱空間及主縴維叢上的聯絡。每章末都附有大量的習題，書末並附有習題解答和提示，便於讀者深入學習和自學。
　　《黎曼幾何引論（下）》的選材和敘述都有它獨到之處，與現有的數學文獻相比頗具特色，可作為綜閤大學、師範院校數學係、物理係等相關專業研究生課程或研究生讀者討論班的教材或參考書，也可供從事微分幾何、調和分析，以及數學物理等專門方嚮的研究人員參考。

作者簡介

　　陳維桓，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。1964年畢業於北京大學數學力學係，後師從吳光磊先生讀研究生。長期從事微分幾何方嚮的研究工作和教學工作，開設的課程有“微分幾何”、“微分流形”、“黎曼幾何引論”和“縴維叢的微分幾何”等。已齣版的著作有：《微分幾何講義》（與陳省身閤著），《黎曼幾何選講》（與伍鴻熙閤著），《微分幾何初步》，《微分流形初步》和《極小麯麵》等。
　　
　　李興校，河南師範大學數學係教授，1994年在四川大學獲得博士學位，主要研究方嚮是子流形微分幾何。

內頁插圖

目錄

第八章 Kahler流形
8．1 復嚮量空間
8．2 復流形和近復流形
8．3 復嚮量叢上的聯絡
8．4 Kahler流形的幾何
8．5 全純截麵麯率
8．6 Kahler流形的例子
8．7 陳示性類
習題八

第九章 稱曼對稱空間
9．1 定義和例子
9．2 黎曼對稱空間的性質
9．3 黎曼對稱對
9．4 黎曼對稱空間的例子
9．5 正文對稱李代數
9．6 黎曼對稱空間的麯率張量
習題九

第十章 主縴維叢上的聯絡
10．1 嚮量叢上的聯絡和水平分布
10．2 標架叢和聯絡
10．3 微分縴維叢
10．4 主縴維叢上的聯絡
10．5 主叢上聯絡的麯率
10．6 Yang -Mills場簡介
習題十
習題解答和提示
參考文獻
索引

前言/序言

　　《黎曼幾何引論》上、下兩冊的分工是：上冊作為基礎數學專業研究生課程“黎曼幾何引論”的教材，其主要內容應該、而且能夠在周學時為3、或4的一學期課程中講完，重點是黎曼幾何的基本概念和基本理論，以及大範圍黎曼幾何的主要結果和變分方法的運用；下冊可以作為後續課程“黎曼幾何Ⅱ”的教材，或討論班的學習材料。當前，微分幾何與數學的各個分支的相互影響越來越深刻、關係越來越密切，本書的下冊則體現瞭這種緊密的聯係。例如，Kahler流形是復流形幾何以及代數幾何的主要角色，在本書我們從微分幾何的角度論述瞭Kahler流形上的各種結構的相容性及其幾何意義。黎曼對稱空間是一類特殊的黎曼流形，有相當豐富的對稱性質，與李群和李代數有密切的聯係，它是微分幾何的重要研究對象，也是調和分析等的演繹舞颱。微分幾何在數學各個分支中的主要應用是，它提供瞭一種對於光滑切嚮量場進行微分的結構，所以聯絡是微分幾何的核心內容。本書的第十章從平行移動的角度闡述瞭主叢上的聯絡的由來及其幾何意義。一個約定俗成的準則是，一個數學命題是否屬於微分幾何的範疇，關鍵是看它是否涉及麯率的概念。麯率是圖形或某種空間結構通過微分手段獲得的不變量，是微分幾何中最基本的概念，是衡量空間的某種結構是否平凡的數量特徵。本書各章都要講到各種結構的麯率及其幾何意義為止。
　　翻閱本書不難發現，本書的選材和敘述與現有的數學文獻相比較都有它的獨到之處。本書是作者在北京大學學習微分幾何和長期從事微分幾何教學和研究的經驗總結。在這裏，我們特彆懷念吳光磊教授，因為本書的有些講法齣自吳先生在討論班上的演講。例如，復嚮量空間的對偶空間，嚮量叢上聯絡所誘導的水平分布等等都是吳先生在討論班上曾經講過的內容，凝集瞭他的學習心得。而且，他經常要求我們用最簡潔的語言把概念清晰地錶達齣來。我們在本書所追求的目標之一就是把概念的由來和意義講清楚，而不滿足於它們的形式錶述。數學的概念不隻是術語和公式的堆砌，它們都有發生、發展和推廣的過程。我們試圖努力反映這種發展的過程。例如，第十章的（2。18）式定義的標架叢上的聯絡形式θ是主叢上的聯絡形式的特殊情形，我們還進一步指齣：實際上它是嚮量叢E上的活動標架的相對分量。在這樣理解的基礎上，我們纔能體會到抽象概念的豐富、生動的內涵，而不隻是一堆枯燥的公式。當然，本書隻提供瞭K?hler流形、黎曼對稱空間、主縴維叢上的聯絡的基礎理論，並不是直接從事這些課題的前沿研究，但是它們為有關課題的前沿研究提供瞭堅實的基礎，我們相信這些內容對於從事微分幾何、非綫性分析、調和分析和數學物理研究的工作者是十分有用的。
　　和上冊一樣，李興校教授參與瞭本書的寫作，特彆是本書的習題、答案和提示以及10。6是由他執筆的。本書的寫作得到國傢自然科學基金（項目批準號NSFC10271004）的資助，我們對此錶示衷心的感謝。作者對責任編輯邱淑清老師的卓有成效的辛勤工作錶示感謝。20年多來，她為數學書籍的齣版傾注瞭很多心血，嚴格、細緻的工作作風有口皆碑。藉此機會嚮她錶示崇高的敬意。
　　限於作者的水平，本書中的不足之處肯定是存在的，誠懇地希望讀者能不吝指正。
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