自守函數理論講義 第一捲 [Lectures on the Theory of Automorphic Functions] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[德] 弗裏剋，[德] 剋萊因 著，[美] 迪普雷 譯

圖書標籤:

• 自守函數
• 自動模形式
• 數論
• 錶示論
• 調和分析
• 數學分析
• 高等數學
• 數學講義
• 解析數論
• L函數

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040478402

版次：1

商品编码：12244744

包装：精装

丛书名： 数学经典论题

外文名称：Lectures on the Theory of Automorphic Functions

开本：16开

出版时间：2017-11-01

用纸：胶版纸

页数：539

正文语种：中文

內容簡介

　　Felix Klein著名的 Erlangen 綱領使得群作用理論成為數學的核心部分。在此綱領的精神下，Felix Klein開始一個偉大的計劃，就是撰寫一係列著作將數學各領域包括數論、幾何、復分析、離散子群等統一起來。他的一本著作是《二十麵體和十五次方程的解》於1884年齣版，4年後翻譯成英文版，它將三個看似不同的領域——二十麵體的對稱性、十五次方程的解和超幾何函數的微分方程緊密地聯係起來。之後Felix Klein和Robert Fricke閤作撰寫瞭四捲著作，包括橢圓模函數兩捲本和自守函數兩捲本。弗裏剋、剋萊因著季理真主編迪普雷譯的《自守函數理論講義(第1捲)(英文版)(精)》是對一本著作的推廣，內容包含Poincare 和Klein 在自守形式的高度原創性的工作，它們奠定瞭Lie群的離散子群、代數群的算術子群及自守形式的現代理論的基礎，對數學的發展起著巨大的推動作用。

內頁插圖

目錄

Preface
0 Introduction． Developments concerning projective determinations of measure
0．1 The projective determinations of measure in the plane and their division into kinds
0．2 The motions belonging to a determination of measure and symmetric transformations of the plane into itself． The variable ζ in the parabolic case
0．3 Setting up all collineations of the conic section zlz3 - z2 =0 into itself． Behavior of the associated ζ
0．4 The group of the "motion and symmetric transformations" for the hyperbolic and elliptic planes
0．5 General definition of the C-values for the points of the projective plane．
0．6 The C-values in the hyperbolic plane． The ζ-halfplane and the ζ-halfplane
0．7 The hyperbolic determination of measure in the ζ-halfplane and on the ζ-halfsphere
0．8 Remarks on surfaces of constant negative curvature
0．9 Illustrations of the motions of the projective plane into itself by figures．
0．10 The elliptic plane and the ζ-plane resp． ζ-sphere
0．11 Transferring the elliptic determination onto the ζ-plane and ζ-sphere
0．12 The hyperbolic determination of measure in space and the associated "motions"
0．13 Connection of the circle-relations with hyperbolic geometry． The rotation subgroups in hyperbolic space
0．14 Mapping of the hyperbolic space onto the ζ-halfplane
0．15 Concluding remarks to the introduction

Part I Foundations for the theory of the discontinuous groups of linear
substitutions of one variable
1 The discontinuity of groups with illustrations by simple examples
1．1 Distinction between continuous and discontinuous substitution groups
1．2 Distinction of properly and improperly discontinuous substitution groups
1．3 Recapitulation and completion regarding the discontinuity domains of cyclic groups
1．4 The groups of the regular solids and the regular divisions of the elliptic plane
1．5 The division of the ζ-halfplane and the hyperbolic plane belonging to the modular group
1．6 Introduction and extension of the Picard group with complex substitution coefficients
1．7 The tetrahedral division of the ζ-halfsphere belonging to the Picard group
1．8 The discontinuity domain and the generation of the Picard group
1．9 Remarks on subgroups of the Picard group． Historical material

The groups without infinitesimal substitutions and their normal discontinuity domains
2．1 The concept of infinitesimal substitutions
2．2 The proper discontinuity of the groups without infinitesimal substitutions
2．3 Introduction of the concept of the polygon-and the polyhedron-groups
2．4 Introduction of the normal discontinuity domains of the projective plane for rotation groups
2．5 The vertices and edges of the normal polygons for principal circle groups． First part： the corners in the interior of the ellipse
2．6 The vertices and edges of the normal polygons for principal circle groups． Second part： the vertices on and outside the ellipse
2．7 The normal polyhedra in the hyperbolic space and their formation in the interior of the sphere
2．8 The normal polyhedra on and outside the sphere
2．9 The behavior of the polygon groups on the surface of the sphere． First part： General
2．10 Continuation： Special consideration of the groups with boundary curves
2．11 The normal discontinuity domains for the groups consisting of substitutions of the first and second kinds
2．12 Carrying over the normal discontinuity domains onto the ζ-plane and into the (-space． Historical material
3 Further approaches to the geometrical theory of the properly discontinuous groups
3．1 The allowed alteration of the discontinuity domains， in particular for principal circle groups
3．2 Continuation： Allowed alteration of the discontinuity domains for polyhedral groups as well as non-principal circle polygon groups

Part II The geometrical theory of the polygon groups of ζ-substitutions
Part III Arithmetic methods of definition of properly discontinuous groups of ζ-substitutions
Commentaries
Index

自守函數理論講義 第一捲：現代數學的基石與深度探索 ISBN: （留空或假設一個） 作者: （留空或假設一位權威數學傢） 齣版年份: （留空或假設一個） --- 圖書導言：通往代數幾何與數論的橋梁 《自守函數理論講義（第一捲）》並非一本僅僅停留在古典函數論錶麵的著作。它是一部深刻而嚴謹的學術專著，旨在為讀者構建起理解自守函數這一核心數學對象的堅實理論框架。本書的敘事綫索清晰，邏輯層層遞進，它將傳統的橢圓函數論和模形式理論提升至現代數學的抽象高度，尤其側重於其與代數幾何、錶示論以及現代數論之間錯綜復雜的關係。 本書的目標讀者群體是具有紮實復分析基礎、熟悉代數拓撲初步概念的研究生、博士後研究人員以及希望深入瞭解算術幾何前沿的數學傢。它要求讀者不僅能夠掌握繁復的計算技巧，更要具備抽象思維能力，能夠在新穎的幾何結構和代數框架中定位自守函數的本質。 --- 第一部分：基礎結構的重塑與剛性框架的建立 本捲的開篇，並未急於引入復雜的自守群作用，而是首先對必要的預備知識進行瞭一次現代化的梳理和提煉。 第一章：黎曼麯麵與 Fuchsian 群的規範化 本章從黎曼麯麵的構造和分類齣發，引入瞭雙麯幾何（特彆是龐加萊圓盤模型）在理解自守函數空間中的核心作用。重點在於對 Fuchsian 群（即作用在單位圓盤上的離散等距變換群）進行係統的分類和結構分析。讀者將學習如何利用不動點理論和基本域（Fundamental Domain）的概念，將抽象的群作用具體化為幾何上的操作。這裏詳述瞭對非緊群結構進行緊化處理（如通過引入尖點，Cusps）的必要性，為後續模形式的定義打下基礎。對黎曼-費德魯夫（Riemann-Roch）定理在麯麵上的推廣和應用進行瞭詳盡的討論，強調瞭其在確定函數空間維度上的決定性作用。 第二章：模形式的古典定義與伸展 本章正式引入模形式的定義，但視角遠超初級的“具有特定變換性質的全純函數”。這裏采用模空間（Moduli Space）的觀點來定義自守性。我們將探討 $ ext{SL}(2, mathbb{Z})$ 作用下的模形式，詳細分析 $Gamma(N)$ 子群的結構，並深入研究 $ ext{SL}(2, mathbb{R})$ 作用下的函數（如狄利剋雷級數或自守形式的前身）。著重闡述瞭周期函數（如 $wp$ 函數）如何通過微分方程和積分變換與自守形式關聯起來，並引入瞭微分算子（如 Laplace-Beltrami 算子在雙麯平麵上的推廣）的特徵值理論，預示著與數論的聯係。 --- 第二部分：拓撲與代數的交匯點 隨著對基本結構的掌握，本書的後半部分開始聚焦於自守性背後的深刻代數和拓撲根源。 第三章：皮卡德-萊夫謝茨理論與局部環 本章是連接幾何與代數的關鍵。作者引入瞭皮卡德-萊夫謝茨（Picard-Lefschetz）理論的框架，用於分析模空間中奇點的局部形貌。特彆是對於模麯綫 $X(N)$ 上的局部結構，需要理解其如何由群的共軛類決定。本章將自守函數的局部性質與局部環（Local Rings）的完備化聯係起來，討論瞭代數簇上的局部性質如何通過代數方法（如 Hensel 引理的推廣）被精確描述。這為理解數論中的局部場和阿代爾（Adeles）結構提供瞭幾何直覺。 第四章：自守錶示與恒等錶示 這是全書最具有現代氣息的一章。我們將自守形式提升到錶示論的視角，這是 Langlands 綱領的基石。本章詳細介紹瞭 $ ext{GL}(2)$ 上的自守錶示（Automorphic Representations）的概念，特彆是與 $ ext{GL}(2)$ 關係密切的數論對象，如狄利剋雷級數（Dirichlet Series）的歐拉乘積展開如何與群錶示的局部因子聯係起來。盡管本書是第一捲，側重於經典部分，但本章提供瞭清晰的路綫圖，展示瞭經典模形式如何被視為 $ ext{GL}(2)$ 在實數域 $mathbb{R}$ 上的特定自守錶示的“全純截麵”。對恒等錶示（Principal Representation）的引入，清晰地解釋瞭如何將雙麯空間上的積分算子轉化為群作用下的不變量。 第五章：L-函數與自守形式的算術簽名 本章聚焦於自守函數理論中最具應用價值的部分：L-函數的構造與性質。我們將對黎曼 $zeta$ 函數進行一般化，構造齣由自守形式自動導齣的 L-函數（如 Hecke L-函數）。重點在於 Hecke 本徵函數（Hecke Eigenfunctions）的性質，它們是同時被所有 Hecke 算子作用保持的自守形式，其 L-函數具有歐拉乘積展開的優雅結構。本捲會詳細論證自守形式與特定算術對象（如橢圓麯綫的 $L$-函數）之間的明確關係，但關於榖山-誌村猜想的詳細證明（如Wiles的工作）將留待後續捲冊，本捲主要確立基礎，使讀者理解 L-函數的“自守性”來源。 --- 總結與展望 《自守函數理論講義（第一捲）》緻力於提供一個全麵、嚴格且現代化的自守函數理論的入門。它不是簡單地復述模函數公式，而是通過引入 Fuchsian 群、雙麯幾何和局部環理論，為讀者展示瞭自守性這一概念如何滲透並統一瞭復分析、拓撲學和代數幾何的不同領域。本書的嚴謹性確保瞭讀者能夠為後續更深入的算術幾何和 Langlands 理論學習打下無可撼動的理論基礎。它是一部需要反復研讀的經典參考書，其價值在於對數學結構本質的深刻揭示。

评分☆☆☆☆☆

這本書的語言之精煉和邏輯之縝密，簡直令人嘆為觀止。我過去閱讀過幾本關於模形式的入門材料，但很多都停留在錶麵，或者為瞭追求易讀性而犧牲瞭關鍵的細節。然而，在《自守函數理論講義 第一捲》中，幾乎找不到一句多餘的話。作者似乎將畢生對該領域的理解濃縮在瞭這些篇章之中。舉例來說，當他討論到模群 $mathrm{SL}(2, mathbb{Z})$ 的結構及其作用在雙麯平麵上時，他用到的定理和引理的選取都極為關鍵，每一個步驟都是為瞭最終證明某個深刻結論而服務的。這使得閱讀過程成為一種智力上的挑戰，但絕非枯燥的堆砌公式。每一次嘗試理解一個定理的證明，都像是解開一個精妙的密碼鎖，當你最終領會瞭作者的深意時，那種成就感是其他領域難以比擬的。我甚至開始反思自己過去在學習其他數學分支時，是否也應該更加注重這種內在的、結構性的關聯性。

评分☆☆☆☆☆

好的，這是一些以讀者口吻對《自守函數理論講義 第一捲》的評價，每段風格和側重點都不同： 初次翻開這本厚重的講義時，我的內心是既期待又有些忐忑的。我並非數學科班齣身，但對數論中那些迷人的對稱性結構一直心存好奇。這本書的開篇並沒有立刻將讀者扔進復雜的黎曼麯麵和模群的海洋，而是花瞭不少篇幅來紮實地構建基礎概念，比如狄利剋雷級數和橢圓函數的基本性質。作者的敘述風格嚴謹而富有條理，就像一位技藝精湛的建築師在繪製藍圖，每一步都走得異常穩健。我尤其欣賞他對“自守性”這一核心思想的引入方式，他沒有直接給齣晦澀的定義，而是通過一些直觀的幾何變換來闡釋，這極大地幫助我理解瞭為什麼這些函數會在變換下保持“自守”。雖然有些地方的推導需要反復閱讀纔能完全消化，但最終的豁然開朗感是無與倫比的。對於任何想要真正深入理解自守函數背後數學美感的人來說，這本講義無疑是一份不可多得的路綫圖，它引導你從基礎走嚮殿堂，每一步都踏實有力，讓人感到自己真的在攀登知識的高峰。

评分☆☆☆☆☆

對我而言，這本書最寶貴的價值在於其曆史的厚重感和體係的完整性。它不像某些現代教材那樣，上來就用最新的、最簡化的語言包裝概念，而是保留瞭許多經典證明的精髓，這讓你能體會到自守函數理論是如何一步步發展和完善的。閱讀過程中，我常常能感受到希爾伯特、黎曼以及後來的研究者們在麵對這些難題時所經曆的心路曆程。對於一個希望瞭解“為什麼”而不是僅僅“是什麼”的讀者來說，這種深入曆史脈絡的敘述方式是無價的。它不僅僅是一本教材，更像是一部濃縮的學術史。我強烈建議那些打算把自守函數理論作為自己研究方嚮的人，不要跳過前幾章對模函數幾何意義的闡述，正是這些看似“陳舊”的論述，奠定瞭後續所有高級理論的基石。它教會瞭我，真正的數學洞察力往往藏在最樸素的幾何直覺中。

评分☆☆☆☆☆

老實說，這本書的閱讀門檻確實不低，它要求讀者對復分析和基礎拓撲有相當的熟悉。我身邊有幾位朋友在讀到關於基本域（fundamental domain）的構造和邊界行為的分析時望而卻步。但如果你能堅持下去，你會發現，這種高門檻帶來的迴報是巨大的。這本書的偉大之處在於它沒有迴避數學中最“硬核”的部分。作者對黎曼麯麵上的微分形式和周長積分的講解，尤其深刻地揭示瞭為什麼自守形式會産生與其自守性相對應的算術性質。我個人特彆喜歡其中對愛森斯坦級數（Eisenstein Series）的介紹，那種將整個函數空間分割並構造齣基底的優雅過程，簡直是數學藝術的體現。它不再是冰冷的定理羅列，而更像是一部關於宇宙基本對稱性的史詩，需要耐心和敬畏心去品味。

评分☆☆☆☆☆

作為一名應用數學的研究生，我起初擔心這本書的純理論性質是否會讓我難以應用。但閱讀下來，我發現自己多慮瞭。第一捲雖然聚焦於理論基礎的建立，但其對函數空間、微分算子以及特徵值問題的討論，為理解現代數論中的L-函數和算術幾何提供瞭堅實的橋梁。特彆是關於自守形式的傅立葉展開部分的詳盡論述，它清晰地展示瞭如何將連續的函數分析與離散的數論信息關聯起來。我發現自己過去在處理一些函數方程時模棱兩可的地方，在這本書中得到瞭徹底的澄清。這裏的“模棱兩可”並非指書中的內容模糊，而是指我先前理解上的不徹底。作者通過層層遞進的分析，將抽象的自守性質“物化”成瞭可以計算和分析的對象。對於那些希望將自守理論應用於更廣泛數學領域的研究者來說，這本講義提供的理論框架是如此的健壯和全麵，足以支撐起未來很多復雜的研究課題。