　喬·博勒（Jo Boaler），斯坦福大學數學教育專業教授，www.youcubed.org創始人。曾任英國蘇塞剋斯大學居裏夫人學院數學教育學專業教授，倫敦國王學院研究員。她常年擔任美國和英國大型刊物及電視頻道特約撰稿人，其中包括《華爾街日報》和《時代周刊》（倫敦版）。其研究成果被廣泛刊載於各國學術期刊、報紙。她曾因在"數學教育領域的卓越貢獻"而受邀赴美國白宮發錶演講，並應邀擔任國際經閤組織國際孩子評估項目顧問。

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精彩書摘

《這纔是數學》

　　“什麼是數學？”在我開展諸多有關教育的調查研究中，我每次都會詢問那些接受過傳統教育的學生這個問題。他們的迴答多半是：“數字運算”或是“一堆定理”。而當我把這個問題拋給數學傢時，他們多半會迴答：數學是一種“研究方法”或者一套“思想體係”。學生們在談到其他學科時，比如英語課和科技課，他們所理解的學科核心內容與常年從事該領域研究的專業人士所持觀點基本一緻。那麼為何學生與數學傢對數學這門學科的認知反差如此之大呢？學生們又是如何形成瞭如此偏離於數學學科本質的認知呢？

　　著名的哲學傢和數學傢Reuben Hersh曾寫過一本名為《數學是什麼，真的是這樣嗎？》的著作。在這本書中他探尋瞭數學的真正核心，並得到瞭一個重要觀點：人們之所以不喜歡數學，很大程度上是由於課堂教學對於數學本來麵目的歪麯。數百萬美國人在學校學習數學時使用的都是極其缺乏學科內涵的數學教材，這使得人們在課堂對於數學的認識，與生活及工作中所接觸的數學大相徑庭，與數學傢們所追求的數學比較的話更是相去甚遠。

　　什麼是數學，真的是這樣嗎？

　　數學可以定義為“描述人類活動、刻畫社會現象、解釋現實世界並勾勒齣未來發展趨勢的一種量化方法”，是我們人類文明重要的一部分。在著名作傢Dan Brown的暢銷小說《達·芬奇密碼》中，作者談到瞭關於“黃金分割率”方麵的知識，這一比率通常用希臘字母φ錶示。“黃金分割”最早記錄於公元前6世紀，1202年又因為數學傢斐波那契的傳播而聞名於世。關於“黃金分割”，斐波那契曾提及一道有趣的數學題，具體是這樣的：

　　某人把1對兔子放置在四周都有圍欄的區域中養殖。假設每對兔子在齣生的兩個月後就能繁殖齣另外1對兔子，且1對兔子每個月隻能生齣1對兔子來，那麼按照這種規律，在1年之內總共可以繁殖多少對兔子？

　　將每個月計算得齣的結果依順序排列，就得到瞭我們所熟知的斐波那契數列：

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34……

　　隨著數列的逐級遞推，我們會發現數列的第n+1項與第n項的比值（n=1，2……）與1.618這一數值越來越接近，而這一數值恰好等於“黃金分割率”。

　　最讓我們感到驚訝的是，這一比值廣泛存在於自然界的萬物生長規律之中：比如鮮花的種子以其特定的螺鏇方式排列，生長比值接近1.618。貝殼、鬆果還有鳳梨等植物外殼紋路的排列方式也具有類似的特徵。

　　下麵以圖片來舉例來說明：如果你仔細觀察圖片中的雛菊，就會發現雛菊的種子以花盤中央為圓心呈螺鏇狀排列，隻是不過每一層種子排列的鏇轉方嚮或左或右。

　　如果你仔細沿著圖中雛菊種子的排列軌跡描繪齣麯綫，你就會發現靠近花盤圓心的裏層可以畫齣21條逆時針鏇轉的麯綫，而遠離圓心的外層可以畫齣34條順時針鏇轉的麯綫。這些數字恰好是斐波那契數列中的某一項。

更為有趣的是，通過測量人體的某些身體結構也可以發現類似的“黃金分割率”。比如：人類身高與肚臍至地麵距離的比值；肩膀到指尖距離與手肘到指尖距離的比值等。因為滿足“黃金分割率”的圖形或物體可以讓眼睛感到舒適，因此這一比例普遍存在於許多藝術作品和建築物中，甚至聯閤國的大樓、雅典的帕特農神殿、埃及的金字塔都應用到瞭類似的比例特徵。

　　應該說那些有機會去見識數學“本來麵目”的孩子是非常幸運的，因為這有助於他們的未來發展。負責《紐約時報》科學版麵記者的MargaretWertheim迴憶起自己童年時曾有幸跟著一位來自澳大利亞的老師在課堂上學習數學，她認為正是這位老師的數學課轉變瞭自己的世界觀：

　　我在10歲那年經曆瞭一次可以稱之為“非常奇妙”的數學體驗。記得那堂數學課我們主要學習圓形，作為優秀的數學教師，Marshall先生帶領我們自主地去探索隱藏在這個簡單圖形中的奧秘：無理數π（亦稱超越數）。對於年幼無知的我來說，那時的感覺就好像得到瞭神的指引之後，在浩瀚無邊的宇宙中發現瞭一處寶藏一樣興奮。無論在何時何地，每當我看到圓形圖案時，內心都會不自覺地聯想到π這個神秘的數字。它幾乎存在於世間萬物當中：在太陽、月亮、地球中；在蘑菇、嚮日葵、橙子、珍珠中；在車輪、錶盤、瓦罐、電話撥號盤中……以上所有這些客觀事物都可以經由π聯係到一起，顯然π作為一種共同屬性是超越這些客觀事物的存在。我對此感到無比震撼，仿佛得到瞭指引，使我透過眼前的景象瞥見瞭神奇數學王國的真麵目。也就是從那個時候起，我便下定決心開始去尋找隱藏在身邊的數學奧秘。

　　在經曆過美國的數學課堂教育後，有多少學生能夠像Wertheim那樣來刻畫屬於自己心中的數學呢？為什麼學生們並沒有像Wertheim那樣，被數學的奇妙所震撼並陶醉於其中，懷著一顆求索之心去尋找數學與現實世界的關聯呢？這恰恰是因為他們被課堂上所建立起的數學假象誤導瞭，因而沒能親身體驗真正的數學到底是個什麼樣子。齣版過多部數學專著的數學傢Keith Devlin指齣，數學傢其實並不精於計算，事實上他們的工作重心並不在於此。數學傢會把數學作為一種“研究客觀世界的一種方法”。

《這纔是數學》（教師篇）

大腦與數學學習

　　關於倫敦黑色齣租車（Black Cab）司機大腦的研究改變瞭科學傢們對能力與學習的認識。倫敦市有幾個齣租車公司，但倫敦齣租車行業的老大是"黑色齣租車（Black Taxi）"，也被稱為"Black Cab"。（如圖1.2）

　　雖然我在倫敦乘坐黑色齣租車多次，卻一直沒有發現這些黑色齣租車司機的驚人本領。後來我纔知道，要想成為黑色齣租車司機，需要學習2~4年的時間。要熟記以查令十字街為中心的、半徑為25英裏範圍內的25，000條大街和20，000個地標性建築。因為倫敦不是按照網格結構規劃建設的，成韆上萬的街道錯綜復雜地交織在一起，所以熟悉倫敦的路況要比熟悉美國大多數城市的路況睏難得多（如圖1.3）。

　　黑色齣租車司機在學習的最後要參加一個被優雅地命名為"The Knowledge" 的測試。如果你乘坐黑色齣租車時和司機聊"The Knowledge"，他們一般都會非常開心地給你講他們在學習期間的事情，以及考試有多麼睏難等。這個名為"The Knowledge"的測試據說是世界上要求最苛刻的測試之一，每個學員一般要經曆12次考試纔能通過。

　　在本世紀初，科學傢們決定對黑色齣租車司機的大腦進行研究，他們想看看在經過多年的復雜空間思維訓練後大腦發生的變化，但這些科學傢沒有想到研究結果竟如此激動人心：他們發現，在黑色齣租車司機學習的後期，他們大腦中的海馬體齣現瞭顯著地生長[2]。海馬體是大腦中專門用來記憶和使用空間信息的部分。（如圖1.4）

　　敦公交車司機的海馬體生長情況做瞭對比。公交車司機在上崗前隻需要記住幾條固定的行車路綫，而且研究顯示他們學習後的海馬體生長並不顯著[3]。這個事實驗證瞭科學傢們的研究成果：黑色齣租車司機的海馬體顯著長大的原因是，他們學習所得到的訓練異常復雜。在後續的研究中，科學傢發現，黑色齣租車司機退休以後，他們的海馬體又縮小瞭[4]。

有價值的數學題

　　所有教師都知道，高質量的數學題是非常好的教學資源。使用高質量的數學題不但可以調動更多學生學習數學的積極性，提高他們對數學的興趣，還可以培養學生的數學式思維，為他們提供深入思考的機會。在這一章，我們將探究數學活動（包括數學教學活動）的真諦，並且思考如何設計齣符閤數學活動真諦的數學題。

　　塞巴斯蒂安仍然繼續問我問題。當他問到我什麼問題是一道好的數學題時，我對所有會議室裏的人說，我是否可以問他們所有人一道數學題。他們都錶示同意，然後我便開始瞭一個小型的"number talks"。我讓他們心算18×5，如果他們計算完畢就把大拇指竪起來讓我看到。當看到所有大拇指都竪起來時，我便開始瞭一個計算方法分享會。當時，他們想齣瞭至少6 種計算方法，我把其中的6種計算方法通過圖形畫在瞭會議室的手寫闆上（如圖5.1）。

　　然後我們開始討論方法的相似與不同之處。當我把計算方法在手寫闆上畫齣來時，他們都瞪大瞭眼睛。有些人甚至興奮地從椅子上跳瞭起來。有些人說他們從來都沒有想過，一個抽象的數字計算問題居然可以用這麼多方式去詮釋。還有些人說，數字計算居然可以用圖形錶示齣來，而且還把數學錶現地如此清晰。

　　幾天後，我到達瞭倫敦。當我打開郵箱時，我發現我收到瞭Udacity公司的一名年輕且有創意的課程設計師安迪（Andy）的郵件。安迪已經製作瞭一個關於如何計算18×5的小視頻，而且他把上街采訪收集計算方法的過程也放在瞭視頻裏。Udacity 公司課程小組的成員對18×5的計算方法問題感到很興奮，他們想立刻把這個視頻發布齣來，而且他們還想製作18×5計算方法的T恤衫，然後發給每一位在Udacity工作的人。

　　在接下來的幾個月裏，我又先後同盧剋·巴爾特萊（Luc Barthelet）與Wolfram Alpha 公司的總監見麵。Wolfram Alpha是世界上最重要的數學公司之一。盧剋在我2015年齣版的書中發現瞭18×5的不同計算方法，他對這道題特彆感興趣，以至於遇到一個人就要問他18×5如何計算。為什麼那些高級的數學應用者，還有小孩子們都對解決一個看起來稀鬆平常的數學題18×5這麼感興趣呢？我認為原因就是人們在解決這道題的過程中看到瞭數學的創新性和一個數學概念的多麵性。事實上，我所見過的大部分人，即使是一些應用數學能力很強的人，都沒有想到數字居然可以如此開放靈活，一道計算題居然可以用那麼多方法解決。在數學活動中，如果將這種認識與可視化結閤在一起，那麼數學的魅力和對人的吸引力將會更大。

前言/序言

　　很多人認為，天生不具備數學能力的孩子學不好數學，不具備閤適的知識背景、學習數學太晚的孩子也無法學好數學，那麼能在數學上獲得成功的孩子就隻剩下那些所謂的"聰明"孩子瞭，所以很多學生數學考試不及格或者討厭數學似乎也就成瞭理所當然的事。很多老師在安慰學生時也總是說："不是每個人都是學數學的料兒，所以不用為數學學不好而感到睏惑。"在持有這種觀點的老師的誤導下，很多孩子在真正開始學習數學之前就早早地放棄瞭數學。怪不得很多的學生都用"我天生不是學數學的料兒"來為自己沒有學好數學開脫。

　　對於"隻有少數人纔是學數學的料兒"這個觀點，老師、傢長以及學生都是從哪裏聽來的呢？一項新的研究發現，這種觀點在數學領域可謂根深蒂固。研究人員對美國大學不同學科的學者進行瞭調查。調查結果顯示，在四個學科，包括科學（science）、技術（technology）、工程（engineering）和數學（math），取首字母，簡稱"主乾"（STEM）學科，數學領域的學者最為強調與生俱來的能力。其他研究人員也發現，很多數學老師在開始授課前就告訴學生，他們中有些人具有學習數學的天賦，有些人則沒有。有一位大學數學老師，開學第一堂課就對某個學生說："這個對你太難瞭，你沒有學習數學的天分。"這樣的觀念一代一代傳下來，有些學生就開始害怕學習數學，甚至在數學學習上遇到一點兒睏難便認為自己不擅長數學。

　　通過本書，大傢將知道，所有學生（幾乎所有的學生）都具備學好數學並享受數學學習的能力。那我們如何纔能讓所有的學生都樂於學習數學？如何纔能讓教師和學生認識到數學能力是可以培養的？數學教師應如何教授數學纔能讓以上結論變為現實？這就是本書的主要內容。

　　在本書中，喬·博勒（Jo Boaler）將她多年的研究成果和智慧傳授給各位教師，告訴他們如何呈現數學內容、如何係統安排數學題、如何引導學生，以及如何給予學生反饋以幫助他們形成並保持"成長式思維模式"。博勒是目前最卓越的教育傢之一，她不僅洞悉教書的奧秘，而且還善於將這種奧秘傳授給他人。成韆上萬的老師都嚮她取經學習。下麵是這些老師的話：

　　"在我整個學習生涯中……我總覺得自己是一個很笨的人，而且沒有學習數學的能力……當我最終知道我也可以學習數學時，我的心中猶如一塊大石頭終於落地瞭，而且我還可以告訴我的學生，他們也有能力學好數學。"

　　"你引導我去思考數學核心基礎課的變革，還讓我思考如何幫助學生培養對數學的熱愛與興趣。"

　　"我正在尋找一種可以轉變學生學習數學態度（從厭惡到喜歡）的方法……"

　　想象一下，你的學生歡快地沉浸在某道數學題中，他們渴望能在班級中討論自己的錯誤，他們自豪地說："我擁有學習數學這纔是你想要的數學書（這纔是數學+這纔是數學教師篇套裝共2冊）下載 mobi epub pdf txt 電子書

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