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內容簡介

　　《分數階微積分學與分數階控製》係統地介紹分數階微積分學與分數階控製領域的理論知識與數值計算方法。特彆地，作者提齣並實現一整套高精度的分數階微積分學的數值計算方法；提齣綫性、非綫性分數階微分方程的通用數值解法和基於框圖的通用仿真框架，為解決分數階控製係統的仿真問題奠定瞭基礎；開發麵嚮對象的分數階係統控製的MATLAB工具箱，可以用於多變量分數階係統的建模、分析與控製器設計的全過程。《分數階微積分學與分數階控製》所有知識點均配有高質量的MATLAB代碼，有助於讀者更好地理解知識點的內涵，更重要地，可以利用代碼實踐並創造性地解決相關問題。

目錄

目錄
前言 i
第1章 分數階微積分學簡介 1
1.1 分數階微積分學的曆史迴顧 1
1.2 自然世界中的分數階現象與模型舉例 3
1.3 分數階微積分與分數階控製工具簡介 4
1.4 本書的結構 5
1.4.1 本書的主要內容與要點 5
1.4.2 閱讀本書的建議 7
第2章 常用特殊函數的定義與計算 9
2.1 誤差函數與補誤差函數 9
2.2 Gamma函數 10
2.3 Beta函數 14
2.4 Dawson 函數 16
2.5 超幾何函數 18
2.6 Mittag-Leffler函數 20
2.6.1 單參數Mittag-Leffler函數 20
2.6.2 雙參數Mittag-Leffler函數 23
2.6.3 多參數Mittag-Leffler函數 26
2.6.4 Mittag-Leffler函數的導數 27
2.6.5 Mittag-Leffler函數及其導數的數值運算 29
第3章 分數階微積分的定義與計算 31
3.1 分數階Cauchy 積分公式 32
3.1.1 Cauchy 積分 32
3.1.2 常用函數的分數階微分與積分公式 32
3.2 Grünwald-Letnikov 分數階微積分定義與計算 33
3.2.1 高階導數的推導 33
3.2.2 Grünwald-Letnikov 分數階微分的定義 33
3.2.3 Grünwald-Letnikov 分數階微分與積分的數值計算 34
3.2.4 Podlubny 的矩陣算法 39
3.2.5 短時記憶效應及其探討 40
3.3 Riemann-Liouville分數階微積分定義與計算 44
3.3.1 高階整數階積分公式 44
3.3.2 Riemann-Liouville分數階微積分定義 44
3.3.3 常用函數的Riemann-Liouville微積分公式 45
3.3.4 初始時刻平移的性質 46
3.3.5 Riemann-Liouville定義的數值計算 47
3.4 分數階微積分的高精度算法與實現 48
3.4.1 任意階次的生成函數構造 48
3.4.2 基於FFT的算法 51
3.4.3 係數計算的遞推公式 53
3.4.4 初始時刻更好的擬閤處理 57
3.4.5 再論矩陣算法 61
3.5 Caputo分數階微積分定義 62
3.6 各種不同分數階微積分定義之間的關係 63
3.6.1 Grünwald-Letnikov 與Riemann-Liouville定義的關係 63
3.6.2 Caputo與Riemann-Liouville定義的關係 64
3.6.3 Caputo分數階微分的數值計算 64
3.6.4 Caputo微分的高精度算法 66
3.7 分數階微積分的性質與幾何解釋 68
3.7.1 分數階微積分的性質 68
3.7.2 分數階積分的幾何解釋 70
第4章 綫性分數階微分方程的求解 73
4.1 綫性分數階微分方程簡介 73
4.1.1 綫性分數階微分方程的一般形式 73
4.1.2 不同定義下的分數階導數初值問題 74
4.1.3 一個重要的Laplace變換公式 75
4.2 一些綫性分數階微分方程的解析解方法 76
4.2.1 單項分數階微分方程 76
4.2.2 雙項分數階微分方程 76
4.2.3 3項分數階微分方程 77
4.2.4 一般n 項分數階微分方程 78
4.3 同元次微分方程的求解 78
4.3.1 同元次微分方程的一般形式 79
4.3.2 綫性分數階微分方程求解的一些常用Laplace變換公式 80
4.3.3 同元次微分方程的解析解 81
4.4 零初值綫性分數階微分方程的閉式解算法 84
4.4.1 閉式解算法 84
4.4.2 基於矩陣的求解算法 88
4.4.3 高精度閉式解算法 90
4.5 非零初值綫性Caputo微分方程的數值解法 91
4.5.1 Caputo微分方程的數學描述 91
4.5.2 Taylor 輔助函數算法 92
4.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 94
4.6 無理分數階微分方程的數值解法 100
4.6.1 無理分數階傳遞函數描述 100
4.6.2 基於數值Laplace反變換的仿真方法 100
4.6.3 閉環無理係統的時域響應計算 102
4.6.4 無理分數階係統的穩定性判定 103
4.6.5 數值Laplace變換 106
第5章 分數階微積分算子與係統的近似 108
5.1 基於連分式的幾種近似方法 109
5.1.1 連分式近似 109
5.1.2 Carlson近似 111
5.1.3 Matsuda-Fujii 近似 114
5.2 Oustaloup濾波器近似 115
5.2.1 常規的Oustaloup近似 115
5.2.2 一種改進的Oustaloup濾波器 120
5.3 分數階傳遞函數的整數階近似 123
5.3.1 分數階傳遞函數的高階近似 123
5.3.2 基於模型降階技術的低階近似方法 125
5.4 無理分數階模型的近似 129
5.4.1 頻域響應近似方法 130
5.4.2 Charef近似 132
5.4.3 復雜無理模型的最優Charef濾波器設計 135
第6章 多變量分數階傳遞函數矩陣的建模與分析 142
6.1 創建MATLAB的對象——FOTF類編程 143
6.1.1 定義一個FOTF類 143
6.1.2 顯示函數的編程 145
6.1.3 多變量FOTF 矩陣的輸入 146
6.2 FOTF 模塊的相互連接 147
6.2.1 Kronecker積與Kronecker和 147
6.2.2 FOTF 對象的串聯連接 147
6.2.3 FOTF 對象的並聯連接 149
6.2.4 反饋連接函數 150
6.2.5 其他支持函數的編程 152
6.2.6 FOTF 對象與同元次模型的相互轉換 154
6.3 綫性分數階係統的性質分析 155
6.3.1 穩定性分析 156
6.3.2 部分分式展開與穩定性判定 158
6.3.3 分數階係統的範數計算 159
6.4 綫性分數階係統的頻域響應分析 161
6.4.1 單變量係統的頻域響應分析 161
6.4.2 基於Nyquist圖的穩定性判定 162
6.4.3 多變量係統的對角占優分析 163
6.4.4 復雜係統結構下的頻域響應計算 166
6.4.5 多變量係統的奇異值麯綫 168
6.5 綫性分數階係統的時域分析 170
6.5.1 階躍響應與脈衝響應 170
6.5.2 分數階係統任意輸入的響應 173
6.6 同元次係統的根軌跡分析 175
第7章 綫性分數階係統的狀態方程建模與分析 178
7.1 分數階係統的狀態方程描述 178
7.2 分數階係統的狀態方程模型 179
7.2.1 FOSS 類定義與編程 179
7.2.2 FOSS 與FOTF 對象的轉換 180
7.2.3 不同基階的狀態增廣變換 182
7.2.4 FOSS 模塊的相互連接 184
7.3 分數階狀態方程模型的性質分析 187
7.3.1 穩定性判定 187
7.3.2 狀態轉移矩陣 188
7.3.3 可控性與可觀測性 190
7.3.4 可控性與可觀測性的階梯標準型 191
7.3.5 範數計算 192
7.4 分數階狀態方程模型的分析 192
7.5 分數階擴展狀態方程模型 193
7.5.1 綫性分數階擴展狀態方程模型 193
7.5.2 非綫性分數階擴展狀態方程模型 195
第8章 非綫性分數階微分方程的數值求解 197
8.1 非綫性Caputo微分方程的數值解算法 197
8.1.1 單項方程的數值解方法 198
8.1.2 多項Caputo微分方程的求解 202
8.1.3 分數階擴展狀態方程的數值求解 205
8.1.4 基於代數方程求解的微分方程算法 209
8.2 Caputo微分方程的高效高精度算法 210
8.2.1 預估方程 211
8.2.2 校正求解方法 213
8.2.3 隱式Caputo微分方程的高精度矩陣算法 215
8.3 典型分數階元件的Simulink 模塊集開發與應用 217
8.3.1 FOTF 模塊集的設計 217
8.3.2 FOTF 矩陣模塊的實現 221
8.3.3 控製問題的Simulink 求解 223
8.3.4 Simulink 仿真結果的驗證 226
8.4 零初值分數階微分方程的框圖解法 226
8.5 非零初值Caputo微分方程的框圖解法 231
8.5.1 Caputo算子模塊設計 232
8.5.2 Caputo微分方程的典型建模步驟 233
8.5.3 Caputo微分方程的更簡單建模仿真方法 235
8.5.4 分數階狀態方程的Simulink 建模 238
8.5.5 隱式分數階微分方程的數值解法 240
第9章 分數階PID控製器設計 243
9.1 分數階PID控製器概述 243
9.2 最優整數階PID控製器的設計 245
9.2.1 FOPDT 對象的整定規則 245
9.2.2 伺服控製有意義的性能指標 247
9.2.3 OptimPID——最優PID控製器設計界麵 249
9.3 基於頻域響應的分數階PID控製器設計方法 250
9.3.1 基於頻域響應的設計方法一般描述 251
9.3.2 FOPDT 受控對象的PIλDμ控製器設計 252
9.3.3 FOIDPT 對象的控製器設計 256
9.3.4 一般分數階受控對象的PIλDμ 控製器設計 257
9.3.5 PIDμ控製器的設計 258
9.3.6 FO-[PD] 控製器設計 259
9.3.7 魯棒控製器設計的其他考慮 259
9.4 基於數值尋優的最優PIλDμ 控製器的設計 260
9.4.1 最優PIλDμ 控製器設計方法 260
9.4.2 帶有延遲受控對象的最優PIλDμ 控製器設計 263
9.4.3 OptimFOPID ——最優分數階PID控製器設計界麵 266
9.5 模糊分數階PID控製器的設計與仿真 268
9.5.1 控製器參數的模糊規則 268
9.5.2 模糊分數階PID控製器的Simulink 實現 268 <
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