綫性代數練習題集 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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劉振雲，周愛麗 編

圖書標籤:

• 綫性代數
• 高等數學
• 數學輔導
• 練習題
• 教材
• 大學教材
• 考研
• 數學
• 習題集
• 工程數學

出版社： 天津大学出版社

ISBN：9787561835272

版次：1

商品编码：10718606

包装：平装

丛书名： 高等职业教育数学系列教材

开本：大32开

出版时间：2010-03-01

用纸：胶版纸

页数：238

字数：228000

正文语种：中文

內容簡介

綫性代數是大學工科類、經濟類、管理類等各專業的一門重要基礎課。但該課程教學課時少，概念多，定理多，內容抽象。通過多年的教學實踐，我們深刻體會到，學好數學的關鍵是理清數學概念，掌握解題方法，而達到這一目的行之有效的措施就是大量演練習題。編寫此書的目的是對正在學習和復習綫性代數的同學們提供一些輔導，幫助他們加深對綫性代數中的基本概念、基本定理的理解；掌握綫性代數的解題方法和技巧；激發、培養同學們學習綫性代數的興趣。
本書以輔助日常學習為齣發點，試圖為學生提供一套使用方便，而又符閤學習規律的輔助教材。基於這種想法，在廣泛收集輔導書、習題集的基礎上，反復比較、推敲、整理分析、修改和篩選齣代錶性較強的題目，采用分類總結的形式，把題目分為練習題、選擇題和填空題，練習題中將題目分類給齣，除第六章以外在每一章的最後附有兩套測試題，書的最後附有五套總復習模擬試捲。同時，為瞭方便使用，每章後麵都附有各種題目的參考答案與提示。

內頁插圖

目錄

第一章 行列式
內容提要
練習題
選擇題
填空題
第一章測試題
第一章參考答案與提示

第二章 矩陣
內容提要
練習題
選擇題
填空題
第二章測試題
第二章參考答案與提示

第三章 微量與綫性方程組
內容提要
練習題
選擇題
填空題
第三章測試題
第三章參考答案與提示

第四章 特徵值與特徵嚮量
內容提要
練習題
選擇題
填空題
第四章測試題
第四章參考答案與提示

第五章 二次型
內容提要
練習題
選擇題
填空題
第五章測試題
第五章參考答案與提示

第六章 綫性空間與綫性變換
內容提要
練習題
選擇題
填空題
第六章參考答案與提示
總復習模擬試捲
試捲一
試捲二
試捲三
試捲四
試捲五
總復習模擬試捲參考答案
參考文獻

前言/序言

　　綫性代數是大學工科類、經濟類、管理類等各專業的一門重要基礎課。但該課程教學課時少，概念多，定理多，內容抽象。通過多年的教學實踐，我們深刻體會到，學好數學的關鍵是理清數學概念，掌握解題方法，而達到這一目的行之有效的措施就是大量演練習題。編寫此書的目的是對正在學習和復習綫性代數的同學們提供一些輔導，幫助他們加深對綫性代數中的基本概念、基本定理的理解；掌握綫性代數的解題方法和技巧；激發、培養同學們學習綫性代數的興趣。本書以輔助日常學習為齣發點，試圖為學生提供一套使用方便，而又符閤學習規律的輔助教材。基於這種想法，在廣泛收集輔導書、習題集的基礎上，反復比較、推敲、整理分析、修改和篩選齣代錶性較強的題目，采用分類總結的形式，把題目分為練習題、選擇題和填空題，練習題中將題目分類給齣，除第六章 以外在每一章的最後附有兩套測試題，書的最後附有五套總復習模擬試捲。同時，為瞭方便使用，每章後麵都附有各種題目的參考答案與提示。

宇宙之弦：弦理論基礎與前沿探索 作者： [此處留空，或使用一個與數學、物理相關的筆名，例如：李明遠、張文博] 齣版社： [此處留空，或使用一個虛構的高端學術齣版社名稱，例如：普林斯頓大學齣版社（模擬）、牛津大學齣版社（模擬）、星河科學齣版社] 定價： [此處留空，或設置一個較高的學術書籍定價] 頁數： 約 650 頁 裝幀： 精裝，附帶高質量插圖與數學推導圖錶 --- 內容簡介 《宇宙之弦：弦理論基礎與前沿探索》 是一部旨在全麵梳理並深入探討二十世紀下半葉至今最宏大、最具爭議性物理學理論——弦理論（String Theory） 的權威性專著。本書不僅是對弦理論數學結構、物理圖像及其深刻哲學含義的一次係統性巡禮，更聚焦於當前理論物理學最活躍的研究領域，為高年級本科生、研究生以及專業研究人員提供瞭一份不可或缺的深度學習資源。 本書結構嚴謹，邏輯清晰，分為四個主要部分，層層遞進，確保讀者能夠在紮實的數學基礎上，逐步領會弦理論的精髓與挑戰。 --- 第一部分：理論基石與早期發展 (Foundation and Early Development) 本部分緻力於為讀者奠定理解現代弦理論所需的數學與物理背景。我們從狹義與廣義相對論的簡要迴顧開始，強調引力如何被幾何化描述，為引入量子引力問題做鋪墊。 核心內容涵蓋： 1. 量子場論迴顧： 重點闡述費曼路徑積分的錶述方式，引入量子場論的重整化問題，並指齣其在描述引力時的內在睏難。 2. 玻色子弦的誕生： 詳細推導瞭最早的玻色子弦理論（Bosonic String Theory）的動力學方程。這一章節深入探討瞭弦的量子化過程，特彆是諾特效應（Noether’s Theorem） 在處理無窮維度自由度時的應用。我們細緻地分析瞭玻色子弦理論的“災難性” 結果——負態的齣現，以及需要D=26 維時空纔能保持理論協變性的關鍵物理原因。 3. 世界麵與共形場論： 對弦的“世界麵”（Worldsheet）概念進行深入闡述，並引入瞭在世界麵上描述弦運動的二維共形場論（2D Conformal Field Theory, CFT）。這是理解弦微擾論和非微擾構造的數學核心。拉索-拉濛（Laver-Ramond）超代數和Virasoro代數的代數結構被詳盡展示。 --- 第二部分：超對稱與超弦理論 (Supersymmetry and Superstring Theory) 玻色子弦的局限性（缺乏費米子，維度過高）催生瞭超弦理論的革命。本部分是全書的核心，係統介紹瞭引入超對稱（Supersymmetry, SUSY）如何解決瞭玻色子弦的諸多矛盾，並降低瞭所需時空維度。 核心內容涵蓋： 1. 超對稱的引入： 從對易關係到反對易關係，介紹玻色子與費米子之間的基本對稱性。詳細推導瞭超楊-米爾斯理論在世界麵上的作用量。 2. 五種超弦理論： 詳細區分並推導瞭五種自洽的I型、IIA型、IIB型、異域（Heterotic）SO(32)和$E_8 imes E_8$ 弦理論。每種理論的超對稱荷、D-膜結構和低能有效場論（Effective Field Theory）都被清晰地對比和總結。 3. 狄拉剋-貝茲納（Dirac-Bechler）的協變量子化： 重點講解瞭如何通過引入超動量算符，將所需維度穩定在D=10，並成功消除瞭幽靈態（Ghost States）。 4. D-膜（Dirichlet Branes）的幾何： D-膜是現代弦理論中連接幾何與物理的關鍵元素。本章介紹瞭D-膜的定義、邊界條件，以及它們如何承載規範場和費米子自由度，為理解AdS/CFT對偶奠定基礎。 --- 第三部分：對偶性與M理論 (Duality and M-Theory) 進入二十世紀九十年代，弦理論領域迎來瞭一場“第二次革命”，核心是對偶性（Duality） 的發現。本部分聚焦於揭示五種不同超弦理論之間內在的、非微擾的聯係。 核心內容涵蓋： 1. T對偶與S對偶： 詳細解釋瞭T對偶如何將小半徑的圓周化理論與大半徑的扭麯理論聯係起來，特彆是IIA型與IIB型之間的對偶關係。隨後，深入探討S對偶，即強耦閤下的理論等價於弱耦閤下的另一個理論。 2. M理論的輪廓： 基於IIA型理論在強耦閤極限下維度的收縮（從10維到11維），係統性地介紹瞭M理論的概念。雖然M理論尚未有完整的量子場論描述，但其在11維超重力中的體現，以及與IIA型理論的聯係，被嚴謹地展示。 3. 非微擾效應與場論極限： 分析瞭非微擾效應，如瞬子（Instanton）如何在弦理論的計算中扮演關鍵角色。對M理論的低能有效場論——11維超重力理論——進行瞭詳細的拉格朗日量推導。 --- 第四部分：前沿應用與現代研究熱點 (Frontiers and Modern Applications) 本書的最後部分將視角轉嚮弦理論在當代物理學中的應用，特彆是在解決量子引力、黑洞熱力學以及凝聚態物理中的疑難問題。 核心內容涵蓋： 1. AdS/CFT 對偶： 這是對偶性原理最震撼的應用。詳細解釋瞭反德西特空間（Anti-de Sitter Space, AdS） 上的量子引力理論與定義在邊界上的共形場論之間的精確對應關係。通過對$AdS_5 imes S^5$ 模型的分析，展示瞭如何利用CFT工具計算黑洞熵、引力子散射振幅等難解問題。 2. 黑洞信息悖論與熵的計算： 利用D-膜和NS5-膜的堆疊模型（Fluxes and Stacks），展示瞭弦理論如何首次在微觀層麵精確計算齣Bekenstein-Hawking 黑洞熵，並探討瞭信息保留的可能性。 3. 弦理論與凝聚態物理： 探討瞭“弦論模型”（String Theory Models）在描述強關聯電子係統（如高溫超導的某些模型）中的新興應用，特彆是利用AdS/CMT（Condensed Matter Theory）框架。 4. 景觀（The Landscape）與宇宙學： 討論瞭弦理論真空解的龐大集閤（即“景觀”），以及這些解如何與可觀測的宇宙學常數問題、暗能量等聯係起來。 --- 讀者定位與價值 本書的敘述風格強調物理直覺與數學嚴謹性的平衡。對於那些已經掌握經典力學、電磁學、量子力學和基礎廣義相對論的讀者，本書提供瞭進入高能理論物理前沿的唯一係統路徑。它不僅僅是一本教科書，更是一部導覽圖，指引讀者穿越弦理論的迷宮，直抵當代物理學最深邃的邊界。讀者將在閱讀過程中，逐步理解為什麼弦理論仍然是統一自然界所有基本力的最有力候選者。

评分☆☆☆☆☆

這套《綫性代數練習題集》簡直是為我這種數學“小白”量身定做的！我一直以來都對綫性代數感到頭疼，那些抽象的概念和復雜的運算總是讓我望而卻步。學校的課本雖然講解得細緻，但缺乏足夠的練習來鞏固，做題的時候總是感覺掌握得似是而非。直到我翻開瞭這本練習題集，我的學習思路纔豁然開朗。它提供的練習題涵蓋瞭綫性代數中的各個核心章節，從最基礎的嚮量空間、綫性變換，到更深入的特徵值、特徵嚮量、矩陣分解等等，每一道題都精心設計，難度循序漸進。最讓我驚喜的是，它不像其他一些練習冊那樣隻有冷冰冰的題目，而是附帶瞭詳細的解題思路和步驟。即使我一開始卡住瞭，看看解析也能很快理解其中的奧妙，並且能學到不同的解題技巧。有時候一道題可能有不止一種解法，它會列齣多種，讓我看到瞭綫性代數思維的靈活性。這套書的題目數量也足夠豐富，做完一套下來，我感覺自己對相關概念的理解更加透徹，解題的信心也大大增強。以前每次看到綫性代數的考試，我都會緊張得不行，現在我感覺自己已經有底氣去麵對瞭，真的非常感謝這本練習題集，它是我攻剋綫性代數這隻“攔路虎”的絕佳利器。

评分☆☆☆☆☆

作為一個對數學充滿好奇心的自學者，我一直都很想深入理解綫性代數這門學科。市麵上關於綫性代數的書籍很多，但很多要麼過於理論化，要麼練習題質量參差不齊。當我看到這本《綫性代數練習題集》時，就被它的結構和內容吸引瞭。它不像一些書籍那樣上來就拋齣復雜的定理和定義，而是通過大量的、不同類型的練習題，引導讀者去主動探索和發現綫性代數中的規律。從最基本的矩陣運算，到嚮量空間的基與維數，再到綫性映射的性質，每道題都像是在引導我思考一個數學問題。而且，它的解析部分做得非常齣色，不僅僅是給齣答案，更重要的是解釋瞭“為什麼”，一步步地展示瞭思考的過程和邏輯推理。我特彆喜歡那些帶有“小貼士”或者“注意”的題目，這些地方往往是容易齣錯或者容易被忽略的，恰好彌補瞭我自學過程中可能存在的盲點。通過反復練習，我感覺自己對綫性代數的理解不再是停留在錶麵，而是真正開始觸及到其精髓。這套練習題集讓我體會到瞭數學的魅力，也讓我對繼續深入學習其他數學分支充滿瞭信心。

评分☆☆☆☆☆

我是一名數學係大二的學生，正在為即將到來的綫性代數期末考試做最後的衝刺。說實話，這門課的知識點非常密集，概念的轉換也比較快，僅靠課堂上的講解和課後少量的習題，總感覺掌握得不夠牢固，尤其是在一些證明題和抽象概念的理解上，常常感到力不從心。偶然間，我朋友嚮我推薦瞭這本《綫性代數練習題集》，我抱著試試看的心態翻閱瞭一下。不得不說，它的內容質量真的超齣瞭我的預期。從基礎的行列式計算、嚮量組的綫性相關性判斷，到更高級的內積空間、正交化，再到矩陣的對角化與譜分解，幾乎涵蓋瞭教學大綱中的所有重要內容。而且，每一章的題目都經過精心篩選，難度梯度明顯，既有鞏固基本概念的基礎題，也有能夠挑戰思維的綜閤題和難題。最讓我印象深刻的是，書後的解析部分，不僅僅是給齣瞭答案，而是對解題過程進行瞭細緻的剖析，甚至會提供多種解題思路，這讓我能夠從不同的角度去理解問題，並且學習到一些老師課堂上可能沒有詳述的解題技巧。做瞭這套題之後，我感覺我對那些曾經覺得晦澀難懂的概念有瞭更深刻的認識，解題的思路也變得更加開闊和清晰。

评分☆☆☆☆☆

作為一名正在攻讀工程學碩士的學生，綫性代數是我課程中繞不開的關鍵一環。我的專業研究中經常會涉及到大規模數據處理、信號分析以及優化問題，而這些都離不開紮實的綫性代數基礎。我之前也看過一些與綫性代數相關的參考書，但總覺得在實戰應用層麵不夠接地氣，練習題也比較單一，難以應對實際科研中的復雜場景。這本《綫性代數練習題集》的齣現，可以說是恰逢其時。它不僅提供瞭大量的理論性練習，更重要的是，它巧妙地將許多現實世界的應用背景融入到題目設計中。例如，在講解矩陣的應用時，它就給齣瞭圖像處理中的降維、推薦係統中的協同過濾等實際案例的練習，讓我能夠更直觀地理解抽象的數學概念是如何解決實際問題的。每道題的解析也都非常詳盡，不僅給齣瞭答案，更重要的是解釋瞭為什麼這麼做，以及背後所蘊含的數學原理，這對於我加深理解、舉一反三非常有幫助。我尤其喜歡其中關於數值綫性代數部分的練習，這對我未來的研究工作至關重要。通過係統地練習，我感覺自己不僅掌握瞭理論，更學會瞭如何運用綫性代數工具去分析和解決工程領域的難題，為我的學術研究打下瞭堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

我在一個需要大量數值計算的領域工作，過去一直依賴他人開發的工具，但深感如果能掌握綫性代數的核心原理，將能極大地提升我的工作效率和解決問題的能力。市麵上有很多綫性代數的教材，但往往側重於理論推導，對於如何將這些理論應用到實際計算中，練習題也相對較少。這本《綫性代數練習題集》正好填補瞭我的需求。它提供的題目類型非常豐富，不僅有純粹的數學計算題，還有很多涉及實際應用的案例，比如如何用矩陣來錶示和解決方程組，如何進行數據降維，如何求解優化問題等等。最重要的是，它的解析部分非常詳盡，不僅僅是給齣瞭最終的答案，還詳細解釋瞭每一步的計算過程和背後的數學邏輯，這讓我能夠清楚地看到如何將理論知識轉化為實際的操作。通過這本練習冊，我不僅鞏固瞭綫性代數的理論基礎，更重要的是學會瞭如何將這些知識應用到我的工作中，解決瞭睏擾我很久的一些計算難題。這本練習冊對我來說，不僅僅是一套題目，更是一把開啓解決實際問題大門的鑰匙，讓我能夠更自信地麵對和處理工作中遇到的各種與數據和模型相關的挑戰。

评分☆☆☆☆☆

好~~非常的棒~！！~

评分☆☆☆☆☆

填空题

评分☆☆☆☆☆

第五章zz参与提示

评分☆☆☆☆☆

(100%好评)

评分☆☆☆☆☆

买书还来京东，印刷很精美，正版书籍，价格有折扣惠，送货快， 当你心情愉快时，读书能让你发现身边更多美好的事物，让你更加享受生活。读书是一种最美丽的享受。“书中自有黄金屋，书中自有颜如 玉。” 1. 书中语言简单推理逻辑缜密，分析鞭辟入里，每一分钟都有机锋和思辨，更喜欢张越的本真与自然，爽朗与质朴，访谈中实打实的共鸣。 　　很多人批评这本书的封面。“意见领袖占据核心位置的深入群众，老少咸宜地紧密团结在她周围，满脸假春风的亲民姿态。” 说她极力想要营造出一种平等对话，反而还是高高在上。而我认为这是正常的，作为国家电视台的一线记者主持人，她不是个普通人，她手中握有巨大的权力。这是“看见”赋予她的权力，绝不仅仅只是她说的，一种个人成长式的告白。因为媒体人能决定，世界上绝大部分的人，他们，能够看见的东西。你选择哪些内容呈现在媒体上，而选择的同时也是一种遮蔽。这是一种比话语权更强大的权力。李普曼说拟态环境，我们看到的世界是被媒体塑造后的，它并不是“真实”的。在柴静文艺腔的叙述和情感的判断中，有许多复杂的问题被掩盖，只是关注事件中的人并不够，重要的是事件背后的链条。 　　决定你能看见什么的，是视野。梅洛•庞蒂有本书叫《可见与不可见》，说的就是视野的有限性问题，布尔迪尔在《关于电视》解释结构主义的客观原则完全抛弃了主观的再现能动性。不仅是柴静极力推崇的不带有任何偏见的采访，还是全世界新闻学所教导的那样，客观报道真实。然而事实与价值却是不可分割的。由于主观和客观各种条件的限制，必然不能呈现时间的方方面面的真实，因而不同的记者带着不同的知识视野进入事件的每一个方面，每一个角度都可以说是真实的，都符合客观真实的报道原则。但每一个角度都代表了一种立场和态度，不同的立场态度带来的是不同的社会意义，哪种才是更有价值的？所以如果停留在写好稿子，化好面子，拍好片子，剪好带子这样的技术层面，充其量也只能算是一个新闻民工。在面对单个突发性事件的时候，在面对反复出现的“底层问题”的时候，面对吸毒的妓女，无法得到合法承认的外籍志愿者教师，人人喊杀的药家鑫，若是带着历史的视野，将单个的事件放入现代社会发展进程中看，那么是不是会有更丰富的意义阐释和更完整的问题考察。 　　在做失地农民这一期的时候，柴静自我反省到“我做过很多批评基层村组织如何侵犯村民权益的事，我记录过很多的泪水、不公和愤怒，但一期节目昨晚，我总觉得换一个好的村官，或者监督上更有效果就好了，从来没认真想过一个村庄集体生活的实质到底是什么样儿”，已经是一个更开阔的视野，她开始考虑大规模城市化对中国经济中的作为基础农村经济的摧毁，仅仅涉及到农民权益被侵犯和人文关怀、社会福利并不能解释一次又一次的群体性事件，而城市单向度的发展是建立在对农村的剥夺和牺牲上，这层隐秘关系又何时能被揭露和正视。对于单个事件的报道，开始停留在对人的情感的宣泄上，可最终还是要放到社会结构变迁的思考上去。屏幕外的世界，有更多未知的需要丈量的土地。 和书店的比较过了，应该是正版图书。价格可以，购买方便，送货上门，网购就是好，我一下买了好几本书。京东的物流很给力，送货的速度还不错，商品的质量也可以接受，价格也能比较公道。你,值得拥有!超低的价格,超好的质量,超高的品质,感谢京东,有你陪伴,真好!不错，很喜欢。

评分☆☆☆☆☆

第一次网购，很满意 回头查了一下，我是从2010年3月开始网络购书的，算起来快5年了。师傅是我的女友“好梦”，她是个样样时尚都能搞懂的70后女子，若干年前我看她拿了一摞书在付款，才知道还有这等方便之事：网上选书，书到付款。于是赶紧回家登录京东书城，挑选，下单。果然，很快书就送到了。从那时起到现在，我不知在京东下了多少订单，四五十次应该有了吧，因为我早已是VIP钻石用户啦。好了，废话不多说。还可以，和印象里的有一点点区别，可能是我记错了书比我想的要厚很多，就是字有点小，不过挺实惠的，很满意！书非常好，正版的，非常值，快递也给力，必须给好评，就是感觉包装有点简陋啊哈哈~~~不过书很好，看了下内容也都很不错，快递也很给力，东西很好 物流速度也很快，和照片描述的也一样，给个满分吧 下次还会来买！好了，我现在来说说这本书的观感吧，坐得冷板凳，耐得清寂夜，是为学之根本；独处不寂寞，游走自在乐，是为人之良质。潜心学问，风姿初显。喜爱独处，以窥视内心，反观自我；砥砺思想，磨砺意志。学与诗，文与思；青春之神思飞扬与学问之静寂孤独本是一种应该的、美好的平衡。在中国传统文人那里，诗人性情，学者本分，一脉相承久矣。现在讲究“术业有专攻”，分界逐渐明确，诗与学渐离渐远。此脉悬若一线，惜乎。我青年游历治学，晚年回首成书，记忆清新如初，景物历历如昨。挥发诗人情怀，摹写学者本分，意足矣，足已矣。京东商城图书频道提供丰富的图书产品,种类包括小说、文学、传记、艺术、少儿、经济、管理、生活等图书的网上销售,为您提供最佳的购书体验。网购上京东,省钱又放心!在网上购物，动辄就要十多元的运费，往往是令许多网购消费者和商家踌躇于网购及销售的成本。就在买方卖方都在考虑成本的同时，京东做了一个表率性的举动。只要达到某个会员级别，不分品类实行全场免运费。这是一个太摔的举动了，支持京东。好了，现在给大家介绍两本好书：一、致我们终将逝去的青春。青春逝去，不必感伤，不必回首。或许他们早该明白，世上已没有了小飞龙，而她奋不顾身爱过的那个清高孤傲的少年，也早已死于从前的青春岁月。现在相对而坐的是郑微和陈孝正，是郑秘书和陈助理是日渐消磨的人间里两个不相干的凡俗男女，犹如一首歌停在了最酣畅的时候，未尝不是好事，而他们太过贪婪固执地以为可以再唱下去才知道后来的曲调是这样不堪。青春就是用来追忆的，所以作者写的故事是来纪念。不是感伤懊悔，而是最好的纪念。道别的何止是最纯真的一段唯美， 而是我曾经无往不胜的天真青春啊。请允许吧，那时的少年，尽情言情。一直言情，不要去打扰他们，他们总有一天会醒来。告别青春，因为青春，终将逝去。陪你梦一场又何妨。二、写不尽的儿女情长，说不完的地老天荒，最恢宏的画卷，最动人的故事，最浩大的恩怨，最纠结的爱恨，尽在桐华《长相思》。推荐1：《长相思》是桐华潜心三年创作的新作，将虐心和争斗写到了极致。全新的人物故事，不变的感动、虐心。推荐2：每个人在爱情中都有或长或短的爱而不得的经历。暗恋是一种爱而不得，失恋是一种爱而不得，正在相恋时，也会爱而不得，有时候，是空间的距离，有时候，却是心灵的距离。纵然两人手拉手，可心若有了距离，依旧是爱而不得。这样的情绪跨越了古今，是一种情感的共鸣。推荐3：唯美装帧，品质超越同类书，超值回馈读者。《长相思》从策划到完成装帧远远领先目前市场上同类书，秉承了桐华一贯出产精品的风格，将唯美精致做到极致，整体装帧精致唯美，绝对值得珍藏。京东有卖。

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练习题

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前些天我乘公交车去外婆家。车至中途，车厢内已座无虚席。此时，又上来一位抱小孩的中年妇女。靠近车门的一位年轻小伙子忙热情地站起来让座，只见中年妇女二话没说，径直坐下，随后有说有笑地逗起孩子来。我在对小伙子投以赞许目光的同时，心中也生出一种怪怪的感觉。 小伙子主动给带小孩的女同志让座，固然是理所当然的事，但我总觉得在“理所”与“当然”之间，似乎还少点什么——中年妇女是否应该向小伙子道谢呢? 付出，不一定渴望得到回报，但人人都希望得到认可，大至社会的认可，小到一个人的认可。假如那名中年妇女对小伙子说上一句感谢的话，相信小伙子心里会感到一种付出的快乐!芸芸众生，人人都应时时怀着一颗感恩的心：得到了别人的帮助，别吝啬你的感激;获得了别人的尊重，也要学着去尊重别人。因为，尊重别人也是一种有道德的体现。