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編輯推薦

　　自18世紀歐拉最早提齣二階弦振動偏微分方程以後至今的200多年間，對偏微分方程的研究有瞭迅速的發展。特彆在19世紀，隨著數學物理問題研究的繁榮，使偏微分方程的研究更是進入瞭一個快速發展的時期。它由最初隻研究幾種典型的綫性偏微分方程典型定解問題，發展成現在一個研究包含非綫性偏微分方程的不適定問題和反問題的龐大而重要的數學分支；它的研究成果不僅推動瞭數學科學的發展，而且在物理、力學、化學、生物、醫學、經濟、金融和社會科學等領域中都有重要應用。
　　《偏微分方程》主要介紹波動方程、熱傳導方程和位勢方程定解問題的推導及其求解方法，還對兩個自變量的一階偏微分方程組作瞭簡單介紹。全書共分6章，其基本內容包括：從實際問題齣發導齣3類方程及其定解條件、二階綫性偏微分方程的分類、綫性偏微分方程的疊加原理和定解問題的適定性概念、行波法、分離變量法、微分方程的特徵值問題、Fourier變換、Laplace變換、Green函數方法以及兩個自變量的一階綫性和擬綫性偏微分方程組及它們的Cauchy問題的解法。
　　本書內容編排與其他偏微分方程教材不同，不按方程的類型編排，而按求解的方法編排，因為一種求解方法往往可以用於求解多種不同類型的方程。為瞭便於有關學科應用偏微分方程的基礎知識，在數學推導力求嚴格和詳細的基礎上，本書略去瞭較深或需要冗長和復雜數學推導的內容，隻列齣結論和相關參考文獻。為瞭讓讀者瞭解用本書介紹的方法解決實際問題的能力，本書部分章節中還給齣瞭在實際問題中使用這些方法所受的限製以及相應的變化；同時，書中還配置瞭一定數量的例題和習題。
　　本書可作為應用數學和計算數學專業以及物理、化學、生物、金融和經濟等學科本科生的基礎課教材或教學參考書，也可作為自學讀物。

內容簡介

　　《偏微分方程》主要介紹波動方程、熱傳導方程和位勢方程定解問題的推導及其求解方法，還對兩個自變量的一階偏微分方程組作瞭簡單介紹，《偏微分方程》共分6章，其基本內容包括：從實際問題齣發導齣3類方程及其定解條件、二階綫性偏微分方程的分類、綫性偏微分方程的疊加原理和定解問題的適定性概念、行波法、分離變量法、微分方程的特徵值問題、Fourier變換、Laplace變換、Green函數方法以及兩個自變量的一階綫性和擬綫性偏微分方程組及它們的Cauchy問題的解法，《偏微分方程》的內容按求解方法進行安排，為瞭便於讀者理解，《偏微分方程》配置瞭一定數量的例題和習題。
　　《偏微分方程》可作為應用數學和計算數學專業以及物理、化學、生物、金融和經濟等學科本科生的基礎課教材或教學參考書，也可作為自學讀物。

目錄

第一章 偏微分方程的定解問題
§1.1 引言
1.1.1 本書主要研究內容
1.1.2 偏微分方程的一些基本概念
習題1.1
§1.2 弦的微小橫振動
1.2.1 弦的微小橫振動的定義
1.2.2 弦的微小橫振動方程的導齣
1.2.3 弦振動方程的定解條件
1.2.4 混閤問題和Cauchy問題
1.2.5 高維波動方程
1.2.6 邊值問題
習題1.2
§1.3 熱傳導方程及其定解條件
1.3.1 有關場論的一些知識（復習）
1.3.2 熱傳導方程
1.3.3 熱傳導問題的定解條件
1.3.4 Cauchy問題
1.3.5 穩定溫度場問題
1.3.6 低維熱傳導問題
1.3.7 非綫性偏微分方程和非綫性偏微分方程組
習題1.3
§1.4 二階綫性偏微分方程的分類和化簡
1.4.1 兩個自變量的二階綫性偏微分方程的化簡
1.4.2 兩個自變量二階綫性偏微分方程的分類
1.4.3 多個自變量的二階綫性偏微分方程的分類
1.4.4 多個自變量二階綫性偏微分方程的化簡
習題1.4
§1.5 綫性偏微分方程的疊加原理定解問題的適定性
1.5.1疊加原理
1.5.2定解問題的適定性
第二章行波法波動方程Cauchy問題的解
§2.1 一維波動方程的Cauchy問題
2.1.1 一維無界弦的自由振動問題D-Alembert公式和D-Alembert解法
2.1.2 無界弦的強迫振動齊次化原理
習題2.1
§2.2 高維波動方程Cauchy問題的解
2.2.1 三維波動方程Cauchy問題的解
2.2.2 二維波動方程Cauchy問題的解
習題2.2
第三章 分離變量法微分方程的特徵值和特徵函數
§3.1 齊次綫性方程的齊次邊界條件混閤問題的分離變量解法
3.1.1 有界弦的自由振動分離變量法
3.1.2 其他定解問題的分離變量法
習題3.1
§3.2 非齊次方程問題的解法
3.2.1 有界弦的強迫振動特徵函數展開法
3.2.2 一維非齊次熱傳導方程混閤問題的解法
3.2.3 Poisson方程邊值問題的解法
習題3.2
§3.3 非齊次邊界條件問題的解法
3.3.1 邊界條件的齊次化
3.3.2 方程和邊界條件同時齊次化的方法
習題3.3
§3.4 直角坐標係下高維問題的分離變量解法
3.4.1 齊次方程齊次邊界條件問題
3.4.2 非齊次方程齊次邊界條件問題的解法
3.4.3 非齊次邊界條件問題的解
習題3.4
§3.5 極坐標係下的分離變量法
3.5.1 由射綫和圓弧所界定區域中問題的解法
3.5.2 周期邊界條件問題的解法
習題3.5
§3.6 高維麯綫坐標係下的分離變量法球函數和柱函數
3.6.1 Bessel方程和Legendre方程的導齣
3.6.2 二階綫性齊次常微分方程的級數解法
3.6.3 Legendre方程的級數解Legendre多項式
3.6.4 Bessel方程的級數解Bessel函數
3.6.5 圓盤中熱傳導方程的解
習題3.6
§3.7 常微分方程的特徵值問題分離變量法的理論基礎
3.7.1Sturm�睱iouville問題
3.7.2Sturm�睱iouville問題解的性質
第四章積分變換法
§4.1 Fourier變換法
4.1.1 Fourier變換的定義
4.1.2 Fourier變換的性質
4.1.3 多元函數的Fourier變換
4.1.4 函數Fourier變換的例子
4.1.5 用Fourier變換法求解偏微分方程的定解問題
習題4.1
§4.2 Laplace變換法
4.2.1 Laplace變換和逆變換的定義
4.2.2 Laplace變換的性質
4.2.3 函數Laplace變換的例子
4.2.4 Laplace逆變換的求法
4.2.5 用Laplace變換法求解偏微分方程的定解問題
習題4.2
第五章 位勢方程的基本解和Green函數解法3類方程的總結
§5.1 δ函數簡介
5.1.1 δ函數的定義
5.1.2 δ函數的性質
5.1.3 多元δ函數
§5.2位勢方程的Green公式和Green函數
5.2.1 Green公式及其推論
5.2.2 位勢方程的基本解
5.2.3 位勢方程的基本公式
5.2.4 Poisson方程的Green函數
5.2.5 解在無窮遠處取零值的無界區域上的Green函數
5.2.6 一般情況下無界區域上的Green函數
習題5.2
§5.3 利用Green函數求解Poisson方程邊值問題的例子
5.3.1 上半空間中Poisson方程的Dirichlet問題
5.3.2 上半空間中Poisson方程的Neumann問題
5.3.3 球中Poisson方程的Dirichlet問題
習題5.3
§5.4 二維Poisson方程的Green函數解法
5.4.1 求解區域為有界區域時的一些結果
5.4.2 求解區域為無界區域時的一些結果
5.4.3 用對稱點方法求Green函數
5.4.4 用共形映照方法求Green函數
習題5.4
§5.5 位勢方程邊值問題解的唯一性和對邊界條件的穩定性
5.5.1 調和函數的平均值公式和極值原理
5.5.2 有界區域上Poisson方程邊值問題解的唯一性和解關於邊值的穩定性
5.5.3 無界區域上Poisson方程邊值問題解的唯一性和解關於邊值的穩定性
§5.6 3類方程的總結
5.6.1 定解問題提法的差異
5.6.2 極值原理
5.6.3 解的光滑性
5.6.4 解對定解條件的依賴範圍和解的擾動的傳播速度
5.6.5 關於時間的反演
第六章 兩個自變量的一階偏微分方程組
§6.1 兩個自變量的一階綫性偏微分方程組
6.1.1 特徵理論和方程的分類
6.1.2 綫性雙麯型方程組的化簡
6.1.3 用特徵綫法求解一階綫性偏微分方程Cauchy問題的例子
6.1.4 一階綫性雙麯型方程組的Cauchy問題
習題6.1
§6.2 兩個自變量的一階擬綫性偏微分方程組
6.2.1 特徵理論和方程組的分類
6.2.2 擬綫性雙麯型偏微分方程組的化簡
6.2.3 擬綫性雙麯型方程組的Cauchy問題
習題6.2
部分習題參考答案或提示
參考書目

前言/序言

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