數域上的傅裏葉分析 [Fourier Analysis on Number Fields] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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羅摩剋裏希納（DinakarRamakrishnan） 著

圖書標籤:

• 傅裏葉分析
• 數論
• 代數數論
• 調和分析
• 數域
• L函數
• zeta函數
• 錶示論
• 譜理論
• 解析數論

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037511

版次：1

商品编码：10914299

包装：平装

外文名称：Fourier Analysis on Number Fields

开本：24开

出版时间：2011-07-01

页数：350

正文语种：英文

內容簡介

This book grew out of notes from several courses that the first author has taught over the past nine years at the California Institute of Technology, and earlier at the Johns Hopkins University, Cornell University, the University of Chicago,and the University of Crete. Our general aim is to provide a modern approach to number theory through a blending of complementary algebraic and analytic perspectives, emphasizing harmonic analysis on topological groups. Our more particular goal is to cover John Tate's visionary thesis, giving virtually all of the necessary analytic details and topological preliminaries——technical prereq-uisites that are often foreign to the typical, more algebraically inclined number theorist. Most of the existing treatments of Tate's thesis, including Tate's own,range from terse to cryptic; our intent is to be more leisurely, more comprehen-sive, and more comprehensible. To this end we have assembled material that has admittedly been treated elsewhere, but not in a single volume with so much detail and not with our particular focus.

內頁插圖

目錄

PREFACE
INDEX OF NOTATION
TOPOLOGICAL GROUPS
1.1 Basic Notions
1.2 Haar Measure
1.3 Profinite Groups
1.4 Pro-p-Groups
Exercises

2 SOME REPRESENTATION THEORY
2.1 Representations of Locally Compact Groups
2.2 Banach Algebras and the Gelfand Transform
2.3 The Spectral Theorems
2.4 Unitary Representations
Exercises

3 DUALITY FOR LOCALLY COMPACT ABELIAN GROUPS
3.1 The Pontryagin Dual
3.2 Functions of Positive Type
3.3 The Fourier Inversion Formula
3.4 Pontryagin Duality
Exercises

4 THE STRUCTURE OF ARITHMETIC FIELDS
4. I The Module of an Automorphism
4.2 The Classification of Locally Compact Fields
4.3 Extensions of Local Fields
4.4 Places and Completions of Global Fields
4.5 Ramification and Bases
Exercises

5 ADELES, IDELES, AND THE CLASS GROUPS
5.1 Restricted Direct Products, Characters, and Measures
5.2 Adeles, Ideles, and the Approximation Theorem
5.3 The Geometry of Ar/K
5.4 The Class Groups
Exercises

6 A QUICK TOUR OF CLASS FIELD THEORY
6.1 Frobenius Elements
6.2 The Tchebotarev Density Theorem
6.3 The Transfer Map
6.4 Artin's Reciprocity Law
6.5 Abelian Extensions of Q and Qp
Exercises

7 TATE'S THESIS AND APPLICATIONS
7.1 Local （-Functions
7.2 The Riemann-Roch Theorem
7.3 The Global Functional Equation
7.4 Hecke L-Functions .
7.5 The Volume of C and the Regulator
7.6 Dirichlet's Class Number Formula
7.7 Nonvanishing on the Line Re（s）——I
7.8 Comparison of Hecke L-Functions
Exercises

APPENDICES
Appendix A: Normed Linear Spaces
A. 1 Finite-Dimensional Normed Linear Spaces
A.2 The Weak Topology
A.3 The Weak-Slat Topology
A.4 A Review of LP-Spaces and Duality
Appendix B: Dedekind Domains
B.1 Basic Properties
B.2 Extensions of Dedekind Domains
REFERENCES
INDEX

前言/序言

數域上的傅裏葉分析：深度探究與應用拓展 本書旨在為數學研究者、高年級本科生及研究生提供一個深入探討數域背景下傅裏葉分析的綜閤性教材與參考手冊。不同於在實數域或復平麵上進行的經典傅裏葉分析，本書將焦點置於代數數論的深層結構之上，探討如何將傅裏葉分析的思想和工具推廣、適應於由有理數域擴充而成的各種數域環境，特彆是代數數域（Algebraic Number Fields）及其相關的函數域。 全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從基礎概念的建立到前沿研究課題的探討，力求在理論的普適性與實際應用的精確性之間取得平衡。 第一部分：基礎理論的重構與數域背景的引入 在本書的開篇，我們將首先迴顧經典傅裏葉分析的基石——歐幾裏得空間上的傅裏葉變換及其在 $mathbb{R}^n$ 上的性質，並迅速過渡到更具一般性的拓撲群上的調和分析概念。然而，真正的核心在於對代數數域的精確刻畫。 第一章：代數數域基礎迴顧 本章將簡要復習代數數論的必要背景，包括：域擴張、環 of 整數 $mathcal{O}_K$ 的結構、判彆式、理想的唯一分解（特彆是主理想域的推廣——Dedekind 環），以及單位群的結構（Dirichlet 單位定理）。理解這些代數結構是構建數域上傅裏葉分析的先決條件。 第二章：局部場與阿代爾結構 傅裏葉分析的成功在很大程度上依賴於局部結構。因此，本書重點分析局部域 $mathbb{Q}_p$（p-adic 域）和實數域 $mathbb{R}$ 構成的阿代爾環 $mathbb{A}_K$。我們將詳細討論局部域上的加性群的拓撲結構，如 $mathbb{Q}_p$ 的緊緻性、離散性，以及對 $mathbb{Q}_p$ 上局部加性群的Pontryagin 對偶。這為在全局域（數域 $K$）上構建全局傅裏葉分析奠定瞭基礎。 第三章：數域上的特徵與狄利剋雷字符 傅裏葉分析的核心是利用群的特徵（Characters）進行分解。在有限域上，這是狄利剋雷字符；在全局數域 $K$ 上，我們需要推廣這個概念。本章將引入連續特徵（Continuous Characters）的理論，特彆關注米勒函數 (Mellin Transform) 在數域上的推廣形式。我們將探討由無限素點和有限素點決定的特徵如何組閤起來，形成完整的全局特徵。 第二部分：數域上的傅裏葉變換及其性質 本部分是本書的核心理論構建部分，我們將明確定義數域 $K$ 上的傅裏葉變換及其在不同函數空間上的適用性。 第四章：局部傅裏葉變換：p-adic 分析 針對 $K$ 的每一個素點 $v$，我們構建局部傅裏葉變換。對於 $K_v = mathbb{Q}_p$ 或 $mathbb{R}$，我們將定義其特徵函數空間。重點討論海森函數 (Hasse Functions) 和Glaeser 核在 $K_v$ 上的行為。特彆地，針對 $K_v$ 上的緊群，我們將討論 Weil 錶示與其傅裏葉變換的關聯。 第五章：全局傅裏葉變換：阿代爾空間上的積分 全局傅裏葉變換 $mathcal{F}_K$ 是通過對阿代爾空間 $mathbb{A}_K$ 上的函數 $f(mathbf{a})$ 進行積分得到的。這涉及到對 $mathbb{A}_K$ 上的 Tamagawa 測度的精確選擇，以確保傅裏葉變換的酉性（Unitarity）。我們將引入Poincaré 對偶定理在阿代爾空間上的版本，以及其與 Hecke $xi$ 函數的關係。 第六章：普朗歇爾公式與傅裏葉反演 在數域上，傅裏葉反演公式被普朗歇爾求和公式所取代。本章將深入探討普朗歇爾公式的推導過程，特彆是如何利用數域的跡函數 (Trace Function) 和局部 $zeta$ 函數來連接函數域上的分析與代數結構。討論傅裏葉變換在測試函數空間（如光滑函數或 Schwartz 函數的數域推廣）上的良好性質。 第三部分：關鍵應用：L-函數與自守錶示 傅裏葉分析在代數數論中的最重要應用之一是構建和分析 $L$-函數。本書將展示傅裏葉分析如何成為連接分析與算術的橋梁。 第七章：數域上的局部 $L$-函數 首先，我們研究在單個素點 $v$ 上的局部 $L$-函數。通過對局部特徵函數應用傅裏葉變換，我們能清晰地揭示局部 $L$-函數的歐拉乘積結構與其伽馬因子之間的關係。這包括對局部高斯和的精確計算。 第八章：全局 $L$-函數與黎曼-傅裏葉變換 全局 $L$-函數 $L(s, chi)$ 的定義是所有局部 $L$-函數的乘積。本章將聚焦於黎曼-傅裏葉變換（即 $mathcal{F}_K$ 作用於某個與 $L$-函數相關的核函數上）的性質，特彆是其函數方程的推導。我們將探討 Hecke $L$-函數如何通過全局 $zeta$ 函數的傅裏葉變換自然産生。 第九章：自守錶示與傅裏葉係數 本章將涉及更高級的主題，即自守錶示的分析側麵。對於一個自守錶示 $pi$，其在 $GL_m(K)$ 上的 $L$-函數是通過其傅裏葉係數（或稱 $K$-函數）來編碼的。我們將分析局部 $pi$ 在 $K_v$ 上的傅裏葉展開，展示傅裏葉分析如何成為構建和分類自守錶示的核心工具。 第十章：數域上的擴散方程與熱核 作為傅裏葉分析在微分方程中的應用，本章探討在數域 $K$ 上的拉普拉斯算子 $Delta_K$。我們利用傅裏葉變換將微分方程轉化為代數方程，推導齣數域上的熱核（Heat Kernel）。該熱核與 $zeta$ 函數的解析性質有著深刻的內在聯係，為理解數域上的隨機遊走提供瞭強大的分析工具。 本書的最終目標是使讀者能夠熟練運用傅裏葉分析的強大工具箱，解決代數數論、算術幾何以及調和分析中的復雜問題。每章後附有大量的練習題和參考文獻，以供深入研究。

评分☆☆☆☆☆

當我第一次看到《數域上的傅裏葉分析》這個書名時，我立刻感受到瞭一種智力上的吸引力。這並非尋常的數學書籍，它觸及的是一個高度專業化且充滿挑戰的領域。我想象中的這本書，會是一部嚴謹的學術著作，它將傅裏葉分析的基本原理，那些關於函數分解和重構的思想，巧妙地擴展到更抽象的數域結構中。我猜測書中會詳細介紹如何定義數域上的“周期”以及“傅裏葉展開”，這本身就需要對數域的代數性質有深刻的理解，比如理想類群、單位群等。我非常好奇書中是否會深入探討數域上的 Zeta 函數或 L 函數，以及它們與傅裏葉分析之間可能存在的深刻聯係。畢竟，這些函數在現代數論中扮演著極其重要的角色。對於我來說，這本書代錶著一個學習和研究的全新方嚮，它將我熟悉的分析工具帶入瞭一個更廣闊、更抽象的數學宇宙。我期待書中能夠提供清晰的推導過程和豐富的數學例子，幫助我理解這些抽象概念的精髓。這本書無疑是獻給那些對數學的深度和廣度有著不懈追求的讀者的。

评分☆☆☆☆☆

初次看到《數域上的傅裏葉分析》這個書名，我的第一反應便是其挑戰性和潛在的深刻性。這並非一本麵嚮初學者的入門讀物，而是直指數學研究前沿的專著，其內容之艱深可想而知。我預想本書會構建一套嚴謹的數學框架，來處理那些在數域上定義的、具有周期性或其他相關性質的函數。這其中可能涉及到復數域之外的更一般化的“復數”概念，以及在這些數域中定義的“積分”或“求和”的推廣。想象一下，在整數環的擴張體上進行傅裏葉變換，這需要多精妙的數學思想和多紮實的代數基礎啊！我推測書中會深入探討一些代數數論的核心概念，例如域的擴張、代數整數以及它們所構成的環的性質，然後將傅裏葉分析的工具巧妙地應用到這些結構上。我尤其好奇本書是否會涉及一些著名的數論定理，例如狄利剋雷單位定理或類數公式，是如何在傅裏葉分析的視角下得到新的理解或證明的。對於我這樣一位對抽象代數和分析學都有濃厚興趣的數學愛好者來說，這本書提供瞭一個將兩個看似獨立的領域完美結閤的絕佳機會。它仿佛是一扇通往更高深數學殿堂的門，等待著有決心和毅力去探索的讀者。

评分☆☆☆☆☆

這是一本我一直期待能擁有的數學專著，關於數域上的傅裏葉分析，這個主題本身就充滿瞭深邃的數學魅力。我一直對數論和調和分析的交叉領域感到著迷，而這本書恰恰觸及瞭這個核心。想象一下，將我們熟悉的概念，比如函數的傅裏葉級數和傅裏葉變換，推廣到更抽象的代數結構，比如數域，這本身就足以激發無盡的遐想。我好奇書中是如何構建這種推廣的，是僅僅通過類比，還是發展齣瞭一套全新的、適用於數域結構的數學工具？這本書的齣現，無疑為我深入理解這些高級概念提供瞭一個絕佳的起點。我猜測書中會涉及很多關於代數整數環、理想、特徵標以及與它們相關的傅裏葉分析理論，例如類群上的傅裏葉分析。我對書中是否會介紹與數域上的L函數、Theta函數等前沿研究的聯係也非常感興趣。畢竟，這些工具在數論的許多分支中都扮演著至關重要的角色。這本書的名字本身就暗示著內容的廣度和深度，對於任何希望在代數數論和分析學領域有所建樹的讀者來說，它都應該是一本必不可少的參考書。我迫不及待地想翻開它，探索那隱藏在抽象數域中的優雅的傅裏葉世界。

评分☆☆☆☆☆

《數域上的傅裏葉分析》這個書名本身就充滿瞭引人入勝的學術氣息。對於我而言，這代錶著一種數學上的“升級”或“泛化”，將我們熟悉的傅裏葉分析從熟悉的實數或復數空間，提升到瞭更抽象的數域結構。我預想這本書的編寫會非常詳盡，從最基礎的數域定義和性質開始，逐步引入數域上的“傅裏葉變換”的概念。這可能需要定義一些新的數學工具，比如數域上的“特徵標”或者“加性群”。我特彆好奇書中是否會探討一些與代數數論中的重要概念，例如類域論、代數整數理論等，是如何與傅裏葉分析聯係起來的。我猜想，本書可能會展示如何在數域的理想群上進行傅裏葉分析，或者討論數域上積分的泛化形式。對於那些希望深入理解數論和調和分析之間復雜聯係的數學傢和研究生來說，這本書無疑是一本不可多得的珍貴文獻。我期待它能夠為我打開一扇通往更深邃數學世界的大門，讓我能夠用全新的視角去理解那些看似遙不可及的數學真理。

评分☆☆☆☆☆

這本書的題目——《數域上的傅裏葉分析》，一下子就抓住瞭我的注意力。在標準的實數和復數域上，傅裏葉分析早已是一門成熟的學科，但將其推廣到數域，這是一個多麼令人振奮的想法！我腦海中立刻浮現齣一些更抽象的數學對象，比如代數整數環，以及它們所組成的數域。我猜想，本書不會僅僅是將傅裏葉變換的定義簡單地搬運過去，而是會深入研究在這些數域的特定結構下，傅裏葉分析所呈現齣的獨特性質。例如，數域上的“周期性”會是怎樣的概念？又該如何定義相應的“傅裏葉係數”？我尤其期待書中能夠闡述數域的局部化、理想的傅裏葉分析，甚至是與代數幾何中的某些概念有所聯係。這本書的齣版，對於那些希望在數論、代數幾何以及調和分析的交匯處進行研究的數學傢和高年級學生來說，無疑是一個寶貴的資源。我好奇書中是否會涉及一些重要的例子，比如有理數域的擴張，或者更復雜的代數數域，並展示在這些域上傅裏葉分析的實際應用。這本書就像一個未知的寶藏，等待著我去發掘它所蘊含的豐富數學思想。

评分☆☆☆☆☆

这本书非常的不错，值得阅读。它从一般意义上的傅里叶分析推广到了一般数域上，使得我们在一般的数域上可以对其进行分析的运算，这其中也用到了拓扑，测度论等知识，如果大家想真正地读懂这本书的细节，最好还是要去看看拓扑，代数，测度和表示的基本知识，希望大家能够从这本书中，真正地了解代数上的分析学问。祝大家阅读愉快！

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感觉不错

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口水很久了

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一本相当不错的数学书，推荐！

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