微分方程數值解法（第2版）/21世紀高等學校教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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戴嘉尊，邱建賢 編

圖書標籤:

• 微分方程
• 數值解法
• 數學
• 高等教育
• 教材
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• 科學
• 工程
• 計算方法
• 數學模型

出版社： 东南大学出版社

ISBN：9787564137410

版次：2

商品编码：11092889

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-08-01

页数：237

編輯推薦

《21世紀高等學校教材：微分方程數值解法（第2版）》係統全麵介紹瞭微分方程數值解法相關知識，《21世紀高等學校教材：微分方程數值解法（第2版）》適閤於數學類本科生“微分方程數值解法”課程教學之用，也適用於工科研究生及計算數學與應用數學教學與科研人員，並可供有關工程技術人員參考。

內容簡介

《21世紀高等學校教材：微分方程數值解法（第2版）》包括常微分方程數值解法、拋物型方程的差分方法、橢圓型方程的差分方法、雙麯型方程的差分方法、非綫性雙麯型守恒律方程的差分方法、有限元法簡介等共6章，每章後麵附有一定數量的習題供練習之用。
《21世紀高等學校教材：微分方程數值解法（第2版）》適閤於數學類本科生“微分方程數值解法”課程教學之用，也適用於工科研究生及計算數學與應用數學教學與科研人員，並可供有關工程技術人員參考。

目錄

1 常微分方程初值問題數值解法
1.1 引言
1.2 歐拉法(Euler方法)
1.2.1 歐拉方法
1.2.2 收斂性研究
1.2.3 穩定性研究
1.3 梯形法、隱式格式的迭代計算
1.4 一般單步法、Runge-Kutta格式
1.4.1 一種構造單步法的方法——泰勒級數法
1.4.2 一般單步法基本理論
1.4.3 Runge-Kutta格式
1.4.4 誤差控製和Runge-Kutta-Fehlberg法
1.5 綫性多步法
1.6 誤差的事後估計法、步長的自動選擇
1.7 高階常微分方程(組)的數值方法
習題1

2 拋物型方程的差分方法
2.1 差分格式建立的基礎
2.2 顯式差分格式
2.2.1 維常係數熱傳導方程的古典顯式格式
2.2.2 係數依賴於X的一維熱傳導方程的顯式格式
2.3 隱式差分格式
2.3.1 古典隱式格式
2.3.2 Crank-Nicolson隱式格式
2.3.3 加權六點隱式格式
2.3.4 係數依賴於於x,t的一維熱傳導方程的一個隱式格式的推導
2.4 解三對角形方程組的追趕法
2.5 差分格式的穩定性和收斂性
2.5.1 問題的提齣
2.5.2 一圖方法
2.5.3 穩定性定義、穩定性分析的矩陣方法
2.5.4 Gerschgorin定理及其在分析差分格式穩定性中的應用
2.5.5 穩定性分析的Fourier級數法(Von Neumann方法)
2.5.6 低階項對穩定性的影響
2.5.7 差分格式的收斂性
2.5.8 相容逼近、Lax等價性定理
2.6 非綫性拋物型方程的差分解法舉例
2.6.1 Richtmyer綫性方程
2.6.2 Less三層差分格式
2.6.3 算例
2.7 二維拋物型方程的差分格式
2.7.1 二維拋物型方程顯式差分格式
2.7.2 隱式差分格式
2.7.3 差分格式的穩定性分析
2.8 交替方嚮的隱式差分格式(ADI格式)
習題2

3 橢圓型方程的差分方法
3.1 正方形區域中的Laplace方程Dirichlet邊值問題的差分模擬
3.2 Neumann邊值問題的差分模擬
3.3 混閤邊值條件
3.4 非矩形區域
3.5 極坐標形式的差分格式
3.6 矩形區域上的Poisson方程的五點差分逼近的斂速分析
3.7 一般二階綫性橢圓型方程差分逼近及其性質研究
3.8 橢圓型差分方程的迭代解法
3.8.1 迭代法的基本理論
3.8.2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代
3.8.3 橢圓型方程差分格式的Jacobi迭代和Guass-Seidel迭代收斂速度計算舉例
3.8.4 超鬆弛迭代法
3.8.4.1 逐次超鬆弛迭代法
3.8.4.2 相容次序、性質(A)和最佳鬆弛因子的確定
3.8.4.3 收斂速度
3.9 多重網格法簡介
3.9.1 一個簡單的例子、MG方法基本思想
3.9.2 二重網格法、V循環
3.9.3 多重網格法
習題3

4 雙麯型方程的差分方法
4.1 一階擬綫性雙麯綫方程的特徵綫法
4.1.1 一階綫性方程、特徵綫及Cauchy問題的解法
4.1.2 一階擬綫性方程Cauchy問題的特徵綫法
4.2 一階擬綫性雙麯型方程組的特徵綫法
4.2.1 一階擬綫性雙麯型方程組、特徵、正規形式
4.2.2 舉例
4.2.3 兩個未知函數情形的特徵綫法
4.3 一階雙麯綫方程的差分格式
4.3.1 Lax--Friedrichs格式
4.3.2 Courant-Isaacsorr-Rees格式
4.3.3 Leap-Frog格式(蛙跳格式)
4.3.4 Lax-Wendroff格式
4.3.5 Crank-Nicolson格式
4.4 一階雙麯綫方程組的差分格式
4.4.1 Lax-Friedrichs格式
4.4.2 Courant-Isaacson-Rees格式
4.4.3 舉例Courant-Friedrichs-Lewy條件
4.5 二階綫性雙麯型方程的差分方法
4.5.1 顯式差分格式
4.5.2 隱式差分格式
習題4

5 非綫性雙麯型守恒律方程的差分方法
5.1 非綫性雙麯型守恒律簡介、弱解的定義
5.2 守恒型差分格式、Lax-Wendroff定理
5.3 單調差分格式
5.4 TVD差分格式
5.5 對一維方程組的推廣
習題5

6 有限元方法簡介
6.1 二階常微分方程邊值問題的有限元解法
參考文獻

前言/序言

深入探索現代計算科學的基石：經典數值分析與計算方法 本書聚焦於現代科學與工程領域不可或缺的理論核心——數值分析與計算方法，係統地闡述瞭如何利用計算機高效、精確地解決傳統解析方法難以處理的復雜數學問題。 它不僅僅是求解代數方程組、微分方程的“工具箱”，更是理解算法效率、誤差控製以及計算可行性的理論基礎。本書結構嚴謹，內容全麵，旨在為讀者構建一個紮實而深入的數值計算知識體係。 --- 第一部分：誤差分析與函數逼近的理論基石 本部分是理解所有後續數值算法穩定性和準確性的前提。我們首先從浮點數的錶示與基本運算的誤差分析入手。深入討論瞭計算機如何存儲和處理實數，並詳細剖析瞭截斷誤差（Truncation Error）與捨入誤差（Round-off Error）的來源、量化方法以及在迭代過程中的積纍效應。理解誤差的本質是設計魯棒算法的第一步。 緊接著，我們轉入插值理論。插值是數據擬閤和函數近似的核心技術。我們不僅詳細講解瞭最基礎的牛頓插值法和拉格朗日插值法，分析瞭它們在節點選擇上的局限性，更重要的是，係統地引入瞭分段插值的概念，特彆是三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）。樣條插值因其優良的連續性和局部控製性，在數據擬閤和圖形學中占據核心地位。我們將推導三次樣條的邊界條件，並將其轉化為一個綫性代數問題來求解。此外，我們還將探討最佳一緻逼近的基本思想，引入切比雪夫多項式在函數逼近中的作用。 第二部分：綫性代數方程組的數值求解 綫性方程組是科學計算中最常見的問題類型。本部分將徹底剖析求解 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的各種數值策略。 直接法部分，我們詳細分析瞭高斯消元法的原理、步驟及其計算復雜度。在此基礎上，重點討論瞭提升穩定性的關鍵技術——主元選擇（Pivoting），包括部分主元和完全主元策略。隨後，我們將這些消元過程轉化為矩陣的分解形式，深入研究LU分解及其變種（如Doolittle和Crout分解），並闡釋其在求解多個右端項嚮量時的效率優勢。對於對稱正定矩陣，Cholesky分解因其高效和保證正定性而被重點討論。 迭代法是處理大型、稀疏綫性係統的核心手段。我們從理論上推導瞭雅可比迭代法（Jacobi）和高斯-賽德爾迭代法（Gauss-Seidel）的收斂條件和速率分析。為瞭加速收斂，我們引入瞭更強大的迭代法，如SOR（Successive Over-Relaxation），並探討瞭最優鬆弛參數的選擇。最後，我們將介紹處理超大規模問題的現代方法，如共軛梯度法（CG）和GMRES，它們是現代有限元和有限差分方法求解的幕後功臣。 第三部分：非綫性方程的求解 尋找函數的零點（即求解 $f(x) = 0$）是數值分析的另一大分支。 本部分從最直觀的區間套用法（如二分法）開始，分析其可靠性但收斂速度慢的特點。隨後，我們將聚焦於更高效的方法：牛頓法（Newton's Method）。我們將詳細分析牛頓法的局部二次收斂性，同時深入探討其對初始猜測值的敏感性以及如何通過信賴域法（Trust Region Methods）或阻尼牛頓法來增強其全局收斂能力。 對於一元函數的求解，我們還將介紹割綫法（Secant Method）作為牛頓法的一種改進，它避免瞭計算導數。對於多維非綫性方程組 $mathbf{F}(mathbf{x}) = mathbf{0}$，本書將介紹多維牛頓法，並討論其在實際應用中如何結閤綫搜索（Line Search）技術來確保每一步迭代都朝著解的方嚮移動。 第四部分：常微分方程的數值積分（ODE Solvers） 常微分方程（ODE）是描述動態係統的核心數學工具。本部分緻力於研究如何使用離散化的方法來近似求解初值問題 $frac{dy}{dt} = f(t, y), y(t_0) = y_0$。 我們從最基礎的歐拉法（Euler's Method）入手，分析其一階精度和穩定性限製。接著，係統性地介紹高階的單步法，特彆是龍格-庫塔（Runge-Kutta, RK）方法族，其中四階RK法因其實用性和精度平衡而得到詳盡的推導和應用實例。 為瞭處理具有剛性（Stiffness）的係統，單步法往往效率低下。因此，本書將重點引入多步法，包括Adams-Bashforth法（顯式）和Adams-Moulton法（隱式）。隱式方法雖然每一步都需要求解一個代數方程，但其在處理剛性問題時具有天然的優勢。我們將深入探討嚮後差分公式（BDF）及其穩定性區域，這是工程軟件中求解剛性ODE的標準配置。此外，我們還將討論局部截斷誤差的估計和步長自動控製的策略，以確保在滿足給定誤差容限的同時實現最高效的計算。 第五部分：偏微分方程的數值方法導論 偏微分方程（PDE）是描述場、流體和結構行為的基礎。本部分提供對主流數值方法的概述和入門。 我們將重點講解兩種最常用的離散化技術： 1. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）：我們將推導一維和二維拉普拉斯方程的離散形式，討論中心差分、前嚮差分和後嚮差分公式的精度和穩定性（例如，CFL條件）。 2. 有限元法（Finite Element Method, FEM）基礎：雖然FEM的完整理論非常龐大，但本書將從變分原理齣發，簡要介紹其核心思想——將微分問題轉化為弱形式，並通過基函數（形函數）在局部區域進行加權積分，從而將PDE轉化為一個大規模的綫性代數係統。 本書的最終目標是使讀者不僅掌握這些計算方法的“如何做”，更理解其背後的“為什麼”，從而能夠批判性地選擇、應用和設計齣適閤特定科學或工程挑戰的數值算法。

评分☆☆☆☆☆

這本《微分方程數值解法（第2版）/21世紀高等學校教材》，給我最深的印象就是它的“實用性”。我之前在學習一些更復雜的偏微分方程時，總感覺理論和實際操作之間隔著一層紗。但這本書，從目錄上看，就囊括瞭很多實際應用中非常常見的問題類型，比如一些熱傳導、流體力學相關的例子，讓我覺得學到的知識真的能派上用場。我特彆關注瞭書中關於有限差分法和有限元法的介紹，雖然這部分內容的確有一定深度，但作者的講解方式，我認為是很循序漸進的。他不是直接給齣一堆公式，而是從離散化的思想開始，一步步引導讀者去理解如何將連續的問題轉化為計算機可以處理的離散方程組。而且，書中在討論不同方法的優缺點時，也常常會結閤實際應用的場景來分析，比如某種方法在處理邊界條件時更方便，或者在精度和計算量上有什麼權衡。這對於我這種想將理論知識轉化為解決實際問題的能力的學生來說，非常有價值。 我發現，這本書在理論的嚴謹性和工程的可操作性之間找到瞭一個很好的平衡點。它並沒有因為追求理論的完美而忽略瞭實際應用的需求。書中對各種方法的誤差分析也相當到位，這讓我清楚地知道，在不同的情況下，應該選擇哪種方法纔能保證結果的精度，以及如何評估計算結果的可靠性。另外，我注意到書中還涉及到瞭一些比較前沿的數值方法，雖然我目前還不是特彆理解，但光是看到這些內容，就讓我對這個領域有瞭更廣闊的視野，知道還有很多可以深入研究的方嚮。總而言之，這本書給我一種“學完就能用”的感覺，這對於一名學習者來說，是非常寶貴的。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對數學建模和科學計算充滿好奇的學生，我一直都在尋找一本能夠係統性介紹微分方程數值解法的書籍。這本《微分方程數值解法（第2版）/21世紀高等學校教材》，可以說是滿足瞭我大部分的期待。我尤其贊賞書中在講解不同數值方法時，都盡可能地給齣瞭清晰的算法描述和詳細的推導過程。這對於我理解每種方法的內在邏輯至關重要。我曾經在閱讀其他資料時，常常會因為跳過一些關鍵的推導步驟而感到睏惑，但在這本書中，我很少遇到這種情況。 更讓我驚喜的是，這本書不僅僅停留在介紹算法的層麵，它還深入探討瞭這些算法的特性，比如收斂速度、穩定性和精度等。對於我來說，理解這些特性，能夠幫助我做齣更明智的選擇，從而更好地解決實際問題。書中關於如何選擇閤適的步長、如何處理剛性方程組的討論，都非常有啓發性。我感覺作者團隊在編寫這本書時，充分考慮到瞭學生在學習過程中可能遇到的難點，並提供瞭相應的解決方案。而且，書中還穿插瞭一些曆史背景的介紹，讓我瞭解到這些數值方法的起源和發展，這在一定程度上增加瞭學習的趣味性。總的來說，這是一本既有深度又有廣度的教材，非常適閤想要深入理解微分方程數值解法理論和實踐的學生。

评分☆☆☆☆☆

說實話，在接觸這本《微分方程數值解法（第2版）/21世紀高等學校教材》之前，我對數值解法的理解還停留在比較零散的層麵。但是，這本書的齣現，就像是給我打通瞭任督二脈。它在結構上安排得非常閤理，從基礎的一階常微分方程入手，逐步過渡到高階方程，再到偏微分方程。每個章節都循序漸進，不會讓人感到一下子接受不瞭。 我特彆喜歡書中在講解每一個數值方法時，都非常注重其理論基礎的闡述。例如，在介紹各種方法時，都會詳細地給齣其誤差分析，包括截斷誤差和局部誤差，以及全局誤差的估計。這一點對於我來說至關重要，因為它讓我能夠理解不同方法的精度之間的差異，以及在實際應用中如何控製誤差。而且，書中還對數值方法的穩定性和收斂性進行瞭深入的討論，這讓我對這些方法的適用範圍有瞭更清晰的認識。我還在書中看到瞭一些關於剛性方程組的處理方法，以及一些隱式方法的介紹，這都讓我覺得這本書的內容非常豐富，而且具有一定的深度。總而言之，這本書的編寫質量很高，內容翔實，理論與實踐相結閤，是學習微分方程數值解法的絕佳選擇。

评分☆☆☆☆☆

我最近在學習過程中，發現很多工程和科學領域的問題，最終都可以歸結為求解微分方程。然而，很多時候這些微分方程的解析解難以獲得，這就凸顯瞭數值解法的重要性。這本《微分方程數值解法（第2版）/21世紀高等學校教材》，正是我尋找的這樣一本能夠係統梳理和講解這些方法的書籍。它最讓我印象深刻的是，書中對各種數值方法的分類非常清晰，從最簡單的歐拉方法，到更復雜的龍格-庫塔方法，再到求解偏微分方程的有限差分法，都有詳盡的介紹。 我特彆喜歡書中對於每一種方法的“由來”的解釋，它不是直接給齣公式，而是先從基本概念講起，然後逐步推導。這讓我能夠理解算法背後的思想，而不是死記硬背。而且，書中對每種方法的優缺點都有客觀的評價，並且經常會與其他的數值方法進行對比分析。這對我來說非常有幫助，能夠讓我根據問題的特點選擇最適閤的求解方法。我還在書中看到瞭一些關於如何提高數值解法精度的討論，比如自適應步長控製等，這讓我覺得這本書的內容非常實用，能夠直接應用於實際的科學計算問題。

评分☆☆☆☆☆

作為一名正在努力攻剋數值分析各個難關的學生，我最近終於入手瞭這本《微分方程數值解法（第2版）/21世紀高等學校教材》。坦白說，初拿到書的時候，我腦子裏閃過的第一個念頭就是“這本書看起來…真厚實”。翻開第一頁，那種熟悉的、帶著點油墨香的紙張觸感，以及印刷清晰的文字，都讓人覺得踏實。我尤其喜歡它扉頁上的那句“獻給所有在數學海洋中探索的勇士”，感覺作者團隊很有情懷，也確實把這本書定位成瞭一本能幫助我們這些“勇士”乘風破浪的工具。 這本書的章節安排，我個人覺得非常係統。它不是那種上來就拋齣幾個算法讓你死記硬背的書。而是先從最基礎的微分方程概念說起，然後循序漸進地介紹各種數值方法的思想由來，比如歐拉法，感覺就像是作者手把手教你如何從最樸素的想法齣發，一步步構建齣解決問題的模型。我特彆留意到，在介紹每一種方法時，書中不僅給齣瞭嚴謹的數學推導，還配瞭不少圖示。這些圖示太重要瞭！有時候看公式看得雲裏霧裏，但看到圖，立刻就能明白算法的幾何意義，直觀瞭很多。比如在講到收斂性和穩定性的時候，那些關於誤差增長的示意圖，簡直是我的“救命稻草”。而且，書裏的例題也很有代錶性，都是那種既能考察核心知識點，又能讓我們上手練習的。我感覺，認真學完這本書，我對微分方程的理解，絕對會提升一個檔次。

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书还不错，详细，详细

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