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內容簡介

《傅裏葉分析導論》由在國際上享有盛譽普林斯大林頓大學教授Stein撰寫而成，是一部傅立葉分析的入門教材，理論與實踐並重，為瞭便於非數專業的學生學習，全書內容簡明、易懂.全書分為三部分，第一部分介紹傅立葉級數的基本理論及其在等周不等式和等分布中的應用；第二部分研究傅立葉變換及其在經典偏微分方程及Radom變換中的應用；第三部分研究有限阿貝爾群上的傅立葉分析。書中各章均有練習題及思考題。目次：傅立葉積分的起源；傅立葉級數和基本性質；傅立葉級數的收斂性；傅立葉積分的應用；IR上的傅立葉變換；IRd上的傅立葉變換；有限傅裏葉分析；Dirichlet定理。

目錄

foreword
preface
chapter 1. the genesis of fourier analysis
1 the vibrating string
1.1 derivation of the wave equation
1.2 solution to the wave equation
1.3 example： the plucked string
2 the heat equation
2.1 derivation of the heat equation
2.2 steady-state heat equation in the disc
3 exercises
4 problem

chapter 2. basic properties of fourier series
1 examples and formulation of the problem
1.1 main definitions and some examples
2 uniqueness of fourier series
3 convolutions
4 good kernels
5 cesaro and abel summability： applications to fourier series
.5.1 cesaro means and snmmation
5.2 fejer's theorem
5.3 abel means and s-ruination
5.4 the poisson kernel and dirichlet's problem in the unit disc
6 exercises
7 problems

chapter 3. convergence of fourier series
1 mean-square convergence of fourier series
1.1 vector spaces and inner products
1.2 proof of mean-square convergence
2 return to pointwise convergence
2.1 a local result
2.2 a continuous function with diverging fourier series
3 exercises
4 problems

chapter 4. some applications of fourier series
1 the isoperimetric inequality
2 weyl's equidistribution theorem
3 a continuous but nowhere differentiable function
4 the heat equation on the circle
5 exercises
6 problems

chapter 5. the fourier transform on r
1 elementary theory of the fourier transform
1.1 integration of functions on the real line
1.2 definition of the fourier transform
1.3 the schwartz space
1.4 the fourier transform on 3
1.5 the fourier inversion
1.6 the plancherel formula
1.7 extension to functions of moderate decrease
1.8 the weierstrass approximation theorem
2 applications to some partial differential equations
2.1 the time-dependent heat equation on the real line
2.2 the steady-state heat equation in the upper half-plane
3 the poisson summation formula
3.1 theta and zeta functions
3.2 heat kernels
3.3 poisson kernels
4 the heisenberg uncertainty principle
5 exercises
6 problems

chapter 6. the fourier transform on ra
1 preliminaries
1.1 symmetries
1.2 integration on ra
2 elementary theory of the fourier transform
3 the wave equation in rd ×r
3.1 solution in terms of fourier transforms
3.2 the wave equation in r3× r
3.3 the wave equation in r2 × r： descent
4 radial symmetry and bessel functions
5 the radon transform and some of its applications
5.1 the x-ray transform in r2
5.2 the radon transform in r3
5.3 a note about plane waves
6 exercises
7 problems

chapter 7. finite fourier analysis
1 fourier analysis on z（n）
1.1 the group z（n）
1.2 fourier inversion theorem and plancherel identity on z（n）
1.3 the fast fourier transform
2 fourier analysis on finite abelian groups
2.1 abelian groups
2.2 characters
2.3 the orthogonality relations
2.4 characters as a total family
2.5 fourier inversion and plancherel formula
3 exercises
4 problems

chapter 8. dirichlet's theorem
1 a little elementary number theory
1.1 the fundamental theorem of arithmetic
1.2 the infinitude of primes
2 dirichlet's theorem
2.1 fourier analysis， dirichlet characters， and reduc-tion of the theorem
2.2 dirichlet l-functions
3 proof of the theorem
3.1 logarithms
3.2 l-functions
3.3 non-vanishing of the l-function
4 exercises
5 problems
appendix： integration
1 definition of the riemann integral
1.1 basic properties
1.2 sets of measure zero and discontinuities of inte-grable functions
2 multiple integrals
2.1 the riemann integral in rd
2.2 repeated integrals
2.3 the change of variables formula
2.4 spherical coordinates
3 improper integrals. integration over rd
3.1 integration of functions of moderate decrease
3.2 repeated integrals
3.3 spherical coordinates
notes and references
bibliography
symbol glossary

前言/序言

　　本套叢書是數學大師給本科生寫的分析學係列教材。第一作者E.M.Stein是調和分析大師（1999年Wolf奬獲得者），也是一位卓越的教師。他的學生，和學生的學生，加起來超過兩百多人，其中有兩位已經獲得過Fields奬，2006年Fields奬的獲奬者之一即為他的學生陶哲軒。
　　這本教材在Princeton大學使用，同時在其它學校，比如UCLA等名校也在本科生教學中得到使用。其教學目的是，用統一的、聯係的觀點來把現代分析的“核心”內容教給本科生，力圖使本科生的分析學課程能接上現代數學研究的脈絡。共四本書，順序是：
　　I．傅立葉分析
　　II．復分析
　　III．實分析
　　IV．泛函分析
　　這些課程僅僅假定讀者讀過大一微積分和綫性代數，所以可看作是本科生高年級（大二到大三共四個學期）的必修課程，每學期一門。
　　非常值得注意的是，作者把傅立葉分析作為學完大一微積分後的第一門高級分析課。同時，在後續課程中，螺鏇式上升，將其貫穿下去。我本人是極為贊同這種做法的，一者，現代數學中傅立葉分析無處不在，既在純數學，如數論的各個方麵都有深入的應用，又在應用數學中是絕對的基礎工具。二者，傅立葉分析不光有用，其本身的內容，可以說，就能夠把數學中的幾大主要思想都體現齣來。這樣，學生們先學這門課，對數學就能有鮮活的瞭解，既知道它的用處，又能夠“連續”地欣賞到數學中的各種大思想、大美妙。接著，是學同樣具有深刻應用和理論優美性於一體的復分析。學完這兩門課，學生已經有瞭相當多的例子和感覺，既懂得其用又懂得其妙。這樣，再學後麵比較抽象的實分析和泛函分析時，就自然得多、動機充分得多。
　　這種教法，國內還很欠缺，也缺乏相應的教材。這主要是因為我們的教育體製還存在一些問題，比如數學係研究生入學考試，以往最關鍵的是初試，但初試隻考數學分析和高等代數，也就是本科生低年級的課程。長此以往，中國的大多數本科生，隻用功在這兩門低年級課程上，而在高年級後續課程，以及現代數學的眼界上有很大的欠缺。這樣，導緻他們在研究生階段後勁不足，需要補的東西過多，而疲於奔命。
　　那麼，為彌補這種不足，國內的教材顯然是不夠的。列舉幾個原因如下：
　　1．比如復變函數這門課，即使國內最好的本科教材，其覆蓋的主要內容也僅是這套書中《復分析》的1／3，也就是前一百頁。其後麵的內容，我們很多研究生也未必學到，但那些知識，在以後做數學研究時，卻往往用到。
　　2．國內的教材，往往隻教授其知識本身，對這個知識的來龍去脈，後續應用，均有很大的欠缺。比如實變函數（實分析），為什麼要學這麼抽象的東西呢，從書本上是不太能看到的，但是Stein卻以Fourier分析為綫索，將這些知識串起來，說明瞭其中的因果。
　　因此在目前情況下，這種大學數學教育有很大的欠缺。尤其是有些偏遠學校的本科生，他們可能很用功，已經很好地掌握瞭數學分析、高等代數這兩門低年級課程，研究生初試成績很高。但對於高年級課程掌握不夠，有些甚至未學過，所以在入學考試的第二階段——麵試過程中，就捉襟見肘，顯露齣不足。所以，最近幾年，各高校亦開始重視研究生考試的麵試階段。那些知識麵和理解度不夠的同學，往往會在麵試時被刷下來。如果他們能夠讀完Stein這套本科生教材，相信他們的知識麵足以在分析學領域，應付得瞭國內任何一所高校的研究生麵試，也會更加明白，學瞭數學以後，要乾什麼，怎麼樣去乾。
　　本套叢書由世界圖書齣版公司北京公司引進齣版。影印版的發行，將使得這些本科生有可能買得起這套叢書，形成討論班，互相研討，琢磨清楚。這對大學數學教育質量的提升，乃至對中國數學研究梯隊的壯大，都將是非常有益的。

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很好的分析係列

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