《數學中的小問題大定理》叢書（第1輯）：格點和麵積 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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閔嗣鶴 著

圖書標籤:

• 數學
• 格點
• 麵積
• 初等數學
• 幾何
• 思維訓練
• 問題解決
• 定理
• 趣味數學
• 科普

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560336312

版次：1

商品编码：11145861

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-07-01

用纸：胶版纸

页数：83

編輯推薦

　　《<數學中的小問題大定理>叢書（第1輯）：格點和麵積》主要講述瞭麵積的近似計算、格點多邊形的麵積公式、重疊原則、用有理數逼近無理數、數的幾何中的基本定理等內容。本書共分十二章介紹瞭什麼是格點以及麵積的主要內容。本書適閤初、高中師生及數學愛好者參考閱讀。

內容簡介

　　一張方格紙，上麵畫著縱橫兩組平行綫，相鄰平行綫之間的距離都相等，這樣兩組平行綫的交點，就是所謂格點，怎樣用格點的個數去計算平麵上 有限區域的麵積，或者反過來，在平麵上已知麵積的一個有限區域內至少有 多少格點，這就是本書所要討論的問題，《<數學中的小問題大定理>叢書（第1輯）：格點和麵積》就是 這樣圍繞著格點和麵積這個主題，講述瞭數學上一些有用的問題，本書適閤初、高中師生及數學愛好者參考閱讀。

目錄

第1章 什麼是格點
第2章 我們的中心問題
第3章 麵積的近似計算
第4章 格點多邊形的麵積公式
第5章 格點多邊形麵積公式的證明
第6章 另外一個問題的提齣
第7章 重疊原則
第8章 有理數和無理數
第9章 用有理數逼近無理數
第10章 小數部分{ka}的分布
第11章 另一種重疊原則
第12章 數的幾何中的基本定理
習題解法與提示
附錄 作者小傳
編輯手記

前言/序言

《數學中的小問題大定理》叢書（第1輯）：格點和麵積 圖書簡介 本輯叢書，《數學中的小問題大定理》叢書（第1輯）：格點和麵積，旨在為熱衷於數學探索的讀者，特彆是中學生、數學愛好者以及需要溫故基礎知識的大學生，構建一座從具體、直觀的幾何問題齣發，深入探究其背後深刻數學原理的橋梁。本書聚焦於平麵上的格點幾何和麵積計算這兩個既基礎又充滿趣味的領域，通過一係列精心設計的“小問題”，引導讀者逐步領悟支撐這些現象的“大定理”。 本書的編寫哲學在於“由淺入深，注重思想，兼顧應用”。我們深信，最復雜的數學概念往往可以分解為一係列易於理解的、引人入勝的幾何拼圖。本輯內容嚴格圍繞格點（整數坐標點）在平麵上的分布特性及其與幾何圖形麵積的內在聯係展開，不包含任何關於高等微積分、拓撲學、數論高級分支（如代數數論）、微分方程、概率統計學、實分析或復變函數等內容的介紹。所有討論均維持在歐幾裏得幾何和基礎代數（初等數論中的基礎概念）的範疇內。 --- 第一部分：格點與坐標係基礎 本部分作為全書的基石，詳細介紹瞭研究格點問題的必要工具和基本概念。 1. 笛卡爾坐標係的復習與格點的定義： 我們從最基礎的二維笛卡爾坐標係入手，清晰界定“格點”——即坐標均為整數的點集 $mathbb{Z}^2$。重點講解瞭如何利用坐標錶示平麵上的點、綫段和多邊形。 2. 嚮量與位移： 引入基本的嚮量概念，用以描述格點之間的相對位置和移動。討論瞭兩個格點之間的位移嚮量的性質，這對於後續理解“路徑”和“邊界”至關重要。 3. 基本的格點計數： 介紹如何快速計算特定邊界內的格點數量，例如矩形區域內的格點數。此處側重於直接的計數技巧和容斥原理的初級應用，不涉及復雜函數。 --- 第二部分：皮剋定理的深度探索 本部分是本輯的核心，集中攻剋連接格點與多邊形麵積的著名定理——皮剋定理（Pick's Theorem）。 1. 歐拉公式與連通性（鋪墊）： 在介紹皮剋定理之前，簡要迴顧瞭歐拉公式 $V - E + F = 2$ 在平麵圖中的應用，將其作為理解皮剋定理中邊界和內部點的概念的幾何直覺鋪墊。我們僅在簡單的、無自交的多邊形上討論這個概念，不涉及圖論的復雜結構。 2. 皮剋定理的闡述與證明： 詳細介紹皮剋定理的公式：$A = I + frac{B}{2} - 1$，其中 $A$ 是麵積，$I$ 是內部格點數，$B$ 是邊界格點數。本書提供瞭一個基於剖分和基礎幾何圖形麵積加減法的幾何直觀證明。這個證明過程完全依賴於對基本三角形和矩形麵積的計算，不涉及高等代數或積分工具。 3. 應用與推廣（初級）： 展示如何利用皮剋定理高效計算各種簡單多邊形的麵積，如凹多邊形、凸多邊形，甚至是某些非標準形狀（如L形、階梯形）的麵積。討論的推廣僅限於將皮剋定理應用於由基本格點多邊形組閤而成的圖形。 4. 皮剋定理的局限性討論： 明確指齣皮剋定理的適用範圍，即圖形的頂點必須是格點，且邊不能穿過非頂點格點。討論當頂點不是格點時，麵積如何變化（引齣更一般的格林公式的幾何直觀，但不展開格林公式本身）。 --- 第三部分：麵積計算的幾何方法與邊界格點 本部分將視角從皮剋定理的內部結構轉移到邊界和整體麵積的計算技巧，重點強化對 $B$（邊界格點數）的精確計算。 1. 邊界格點數的精確計算： 深入研究如何確定連接兩個格點 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ 的綫段上包含的格點數量。這完全依賴於最大公約數（GCD）的概念：綫段上的格點數為 $ ext{gcd}(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|) + 1$。本書對 GCD 的使用僅停留在其作為計數工具的層麵，不涉及數論中的素因子分解、歐幾裏得算法的高級理論證明，僅展示其計算過程。 2. 基礎多邊形麵積的行列式算法（鞋帶公式）： 介紹計算任意頂點坐標已知多邊形麵積的“鞋帶公式”（Shoelace Formula）。該公式可以看作是多次使用梯形麵積公式的簡潔錶達。本書將公式的推導與“投影到坐標軸上的梯形麵積”聯係起來，確保讀者理解其幾何意義，而非簡單記憶公式。 3. 麵積與GCD的關係深化： 通過對比鞋帶公式（基於坐標）和皮剋定理（基於格點），探討麵積的精確值與格點分布之間的微妙關係。例如，討論為什麼在格點多邊形中，麵積總是半整數（或整數）。 --- 第四部分：格點路徑與最小覆蓋問題（幾何拓撲的初級體現） 本部分利用格點問題引齣一些與路徑、覆蓋和連通性相關的基礎幾何問題。 1. 漢密爾頓路徑的格點迷宮： 討論在特定形狀（如 $m imes n$ 的格點矩形）中，是否存在一條經過所有格點且不重復的路徑。這部分主要通過構造性證明和反證法來探討棋盤格的染色問題（二分圖的初步概念），以解釋某些路徑的不可能性。不涉及圖論中的嚴格術語和復雜算法，僅停留在直觀的奇偶性分析。 2. 最小點覆蓋問題（歐拉路徑的初級思考）： 考慮用最少的直綫（可以穿過格點）覆蓋所有預設的格點。這部分著重於尋找最優策略，例如如何利用對角綫來最大化覆蓋數量。 3. 格點凸包： 定義格點凸包，並探討其邊界格點數 $B$ 與原集閤格點數的關係。 --- 總結與展望 本輯旨在讓讀者體會到，看似簡單的“格點”概念，一旦與“麵積”這一基本度量聯係起來，便能衍生齣如皮剋定理這樣優美而強大的數學工具。全書保持嚴謹的幾何論證風格，所有證明均力求清晰、直觀，避免引入超齣中學幾何和初等代數範疇的復雜工具，確保讀者能夠紮實地掌握格點幾何的核心思想。讀者在完成本輯學習後，將能以全新的視角審視平麵幾何圖形的本質結構。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我買這本書是抱著試試看的心態，因為市麵上很多數學普及讀物要麼過於淺顯，要麼就是故弄玄虛。但這一輯《格點和麵積》完全超齣瞭我的預期。它最大的亮點在於其對“啓發式思維”的培養。例如，當麵對一個涉及大量格點計數的復雜區域時，書裏展示的解題策略不是蠻力計算，而是如何將復雜問題分解成若乾個可以被單位格點覆蓋的簡單子問題。這種結構化的思維方式對於任何需要進行係統性分析的工作都極具藉鑒意義。我尤其欣賞作者在論證過程中所展現的那種耐心和細緻，每一個步驟的過渡都處理得非常平滑，沒有齣現讓人“掉隊”的情況。讀完後，我感覺我對“測度”和“離散化”有瞭更直觀的理解，這對於我後續學習更高級的組閤數學和算法設計非常有幫助。這是一本真正意義上的“思想工具書”，而非僅僅是知識的搬運工。

评分☆☆☆☆☆

我最近沉迷於這套叢書，尤其是第一輯關於“格點和麵積”的部分，簡直讓人愛不釋手。這本書的敘事方式非常獨特，它不是那種教科書式的乾巴巴的羅列知識點，更像是一位經驗豐富的老師，帶著你走過一條精心鋪設的數學小徑。我特彆喜歡它處理“麵積”問題時的那種靈活性。我們通常習慣於用微積分或者標準的幾何公式來計算麵積，但這套書展示瞭許多更具洞察力的方法。比如，通過對矩形劃分和重新組閤，或者巧妙地利用對稱性來估算或精確計算不規則圖形的麵積，這比死記硬背公式有效得多。它教會我的不是“算術”，而是“思考”。每當解決一個小小的格點問題，心中都會湧起一種“原來如此”的滿足感。這種通過親手實踐和邏輯推理得齣的結論，比直接背誦定理要牢固得多。這本書的排版和插圖也做得非常用心，清晰的圖形輔助理解，使得那些抽象的幾何概念變得觸手可及。對於希望提升自身數學直覺和解決問題能力的讀者來說，這本書提供瞭絕佳的訓練場。

评分☆☆☆☆☆

作為一名理工科背景的讀者，我通常對數學讀物抱有一種挑剔的態度，但《數學中的小問題大定理》叢書（第1輯）成功地抓住瞭我的注意力。我必須承認，一開始我對“格點和麵積”這個主題有些保留，覺得可能過於基礎。然而，這本書成功地將這些基礎概念“玩”齣瞭新高度。它深入探討瞭離散數學和連續幾何的交匯點，尤其是在處理邊界問題時，那種嚴謹性令人印象深刻。書中對“取整函數”和“周期性”在麵積計算中的應用分析得極為透徹，這些都是我過去學習中容易忽略的細節。作者沒有迴避數學證明的嚴密性，但呈現方式非常溫和，更注重邏輯鏈條的完整而非術語的堆砌。它鼓勵讀者去質疑、去嘗試不同的角度來審視同一個問題。這本書的價值不僅在於傳授知識，更在於培養一種對數學結構保持好奇心的態度。它讓我意識到，最偉大的定理往往根植於最樸素的觀察之中，這是一種返璞歸真的美學體驗。

评分☆☆☆☆☆

這本《數學中的小問題大定理》叢書（第1輯）：格點和麵積，實在是太引人入勝瞭！我作為一個數學愛好者，一直對那些看似簡單卻蘊含深刻數學原理的問題情有獨鍾。讀完第一輯，我感覺自己仿佛經曆瞭一場思維的探險。作者沒有堆砌復雜的公式，而是通過一係列巧妙設計的“小問題”，一步步引導我們觸摸到那些宏偉的“大定理”的本質。比如，關於格點計數的那些章節，初看隻是在坐標紙上畫點、數點，但隨著深入，你會發現，那些簡單的操作背後，隱藏著歐拉公式、皮剋定理等令人驚嘆的數學結構。特彆是關於如何用簡單的幾何方法來證明一些看似高深的代數結論，那種豁然開朗的感覺，簡直是閱讀數學書籍的至高享受。這本書的魅力在於它的可達性，即便是對高等數學不甚精通的讀者，也能在作者的引導下領略到數學之美。它讓我重新審視瞭許多基礎概念，比如“麵積”這個看似樸素的概念，在不同的情境下可以展現齣多麼豐富的內涵和多樣的計算技巧。強烈推薦給所有對數學邏輯和美感有追求的朋友們，它絕對是一本能點亮你數學思維的佳作。

评分☆☆☆☆☆

我嚮來對那種需要大量背景知識纔能入門的書籍感到畏懼，但《數學中的小問題大定理》叢書（第1輯）的開篇就展現瞭極強的包容性。它就像是為初學者精心準備的一份“數學大餐”，味道豐富卻不油膩。關於“麵積”的探討，它巧妙地避開瞭微積分的陷阱，轉而通過一係列精心設計的幾何模型，讓我們直觀地理解瞭“極限”和“無窮分割”的內在邏輯。特彆是書中對於“布朗運動路徑與所覆蓋麵積”的趣味性探討（盡管是簡化的模型），極大地激發瞭我對隨機過程的好奇心。這本書的語言風格是那種溫文爾雅的，但其蘊含的數學能量卻非常強大。它不像一本枯燥的教材，反而更像是一本可以反復品讀的數學散文集，每一次重讀都能從中發掘齣新的層次和理解。對於想要重新建立紮實數學基礎，並享受探索過程的讀者來說，這套叢書的第一輯無疑是一個絕佳的起點。

评分☆☆☆☆☆

M.M.Postnilov，几何讲义第一学期：解析几何。（这本书是Postnikov的一套五卷本几何讲义的第一卷，国内只翻译了第一二卷，202.38.70.51上倒是有全套俄文电子版，英文版是MIR出的，不知道图书馆里有没有。Postnikov是俄罗斯科学院院士，著名的拓扑学家，他在俄罗斯数学界的地位很特殊，是俄罗斯拓扑学派的一个关键人物。50年代莫斯科大学数力系一度出现了拓扑荒，当时莫大拓扑教研室虽然有Alexandroff、Pontryagin这样的世界上数一数而的拓扑专家坐镇。前一位无论是在点集拓扑和代数拓扑上都有巨大的贡献，和Hopf合著的拓扑学一书，系统的讲述了到二十世纪三十年代为止拓扑学发展的成果，整整影响了全世界一代的拓扑学家，很多人都是读这本书开始的，包括我国著名数学家吴文俊。至于后一位，在拓扑学上的贡献也是很大的，比如说Pontryagin示性类。不过到了五十年代，第一个当时热衷于点集拓扑学，和世界拓扑学发展的主流完全脱离。第二位觉得搞拓扑不能对国家发展做贡献，所以跑去搞控制论，当然了控制论也是很重要的学科，而且他在控制论上的成就也确实非常大，Pontryagin最大值原理被称为是现代控制论的三大里程碑之一。年轻的数学家看见这两为大牛都改行了，于是也纷纷改行，结果莫大的拓扑学研究一落千丈。当时在莫斯科大学，一批本科生在法国学派Thom、Serre等人成果的影响下，却开始对代数拓扑学和微分拓扑学感兴趣，于是开始自己组织讨论班，学习代数拓扑，这批人包括Vladimir Arnold、Sergey Novikov、Dimitri Anosov、Yuri Manin等后来在数学界大名鼎鼎的人物，刚开始没有人指导，后来Postnikov作为仅有的坚守阵地的年轻教师，开始主持这个讨论班。其中的Sergey Novikov后来跟他读研究生，因为拓扑学方面的贡献得到了Fields和Wolf奖，Vladimir Arnold虽然是以动力系统著称，但是在辛拓扑方面也有很大的成就。可以说，他是俄罗斯拓扑学承前启后的一代人物，当然他本人的学术贡献也不小，否则也当不上院士，比如说代数拓扑里的Postnikov系统。这本书的特点把解析几何作为三维空间的线性代数，所以讲了很多一般解析几何书不讲的东西，对于学习线性代数，这本书提供的直观背景是相当有用的。事实上，线性代数本身也可以看成是N维空间的解析几何。）

评分☆☆☆☆☆

还可以的书。

评分☆☆☆☆☆

Boris Delone，解析几何。（这本书的好处是非常讲得细，缺点是篇幅太庞杂，不过作为一本可以随时参考的参考书，那绝对是很好的。50年代的时候，是国内解析几何的首选教材，当时的综合性大学数学专业，这门课要讲两学期。Boris Delone是搞数论的，不过他的学术成果在国际数学界名气不算大，他的名气很大程度上是因为他有个大名鼎鼎的学生IgorShafarevich的缘故。）

评分☆☆☆☆☆

Halmos，Finite-Dimensional Vector Spaces。（这本书是西方世界最早的两本线性代数教材之一，是不是世界上最早的不得而知，因为俄罗斯数学大师Gelfand写的线性代数和他是同年出版。虽然现在线性代数一门很基本的课程，所有的专业都要学，但是40年代以前，数学系的课程表上是找不到线性代数这门课的，只有&ldquo;方程式论&rdquo;或者&ldquo;高等代数&rdquo;，主要是讲多项式理论和高次方程的解法之类，行列式和矩阵也是讲的，但是一般不讲线性变换、线性空间什么

评分☆☆☆☆☆

Peter Lax，Linear Algebra and Its Applications。（Peter Lax写的书一向都是很好的，这本也不例外，里面有很多内容是通常的教科书里没有的。而且他从泛函分析的观点来看线性代数，对于将来学习泛函分析相当有帮助。更重要的是，这本书讲了很多线性代数的应用，让学生不至于学完线性代数不知道线性代数能干什么。）

评分☆☆☆☆☆

Boris Delone，解析几何。（这本书的好处是非常讲得细，缺点是篇幅太庞杂，不过作为一本可以随时参考的参考书，那绝对是很好的。50年代的时候，是国内解析几何的首选教材，当时的综合性大学数学专业，这门课要讲两学期。Boris Delone是搞数论的，不过他的学术成果在国际数学界名气不算大，他的名气很大程度上是因为他有个大名鼎鼎的学生IgorShafarevich的缘故。）

评分☆☆☆☆☆

Halmos，Finite-Dimensional Vector Spaces。（这本书是西方世界最早的两本线性代数教材之一，是不是世界上最早的不得而知，因为俄罗斯数学大师Gelfand写的线性代数和他是同年出版。虽然现在线性代数一门很基本的课程，所有的专业都要学，但是40年代以前，数学系的课程表上是找不到线性代数这门课的，只有&ldquo;方程式论&rdquo;或者&ldquo;高等代数&rdquo;，主要是讲多项式理论和高次方程的解法之类，行列式和矩阵也是讲的，但是一般不讲线性变换、线性空间什么

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线性代数：

评分☆☆☆☆☆

《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。。《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。《解析几何》突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用&quot;实例－理论－应用&quot;的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。《解析几何》表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，《解析几何》是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。《解析几何》可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书