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編輯推薦

適讀人群 ：本手冊適閤學習高等數學（微積分）的大學一年級學生，也適閤復習高等數學並準備考研究生的高年級學生，對學習和復習高等數學的其他讀者也有參考價值.本手冊還可作為高等數學教師的一本方便的教學參考書和工具書.
本書習題精練，公式歸納整理全麵，知識總結到位，還有特殊的解題方法和技巧，重點難點都有，是學習高數利器,配閤作者講解視頻學習效果佳，適閤讀者自學。有喜愛本書的讀者曾經評價“超好的資料書，當工具書用！”

內容簡介

本手冊以高等數學的公式為主綫，以簡潔的形式分門彆類地詳細介紹瞭高等數學的主要公式、定義、定理、圖形以及各種題型的解題方法和技巧。除瞭高等數學教材中的基本內容和公式、常見解題方法和技巧外，本手冊還收集瞭大量一般教材中沒有的，但在解題中有用的公式、特殊的解題方法和技巧。
使用本手冊可以幫助讀者迅速復習、迴憶和掌握高等數學的公式、解題方法和技巧，以提高高等數學的學習效率、解題能力和考試成績。
本手冊適閤大學一年級學習高等數學（微積分）的學生以及大學高年級復習高等數學並準備考研究生的學生。本手冊對學習和復習高等數學的其他讀者也有一定的參考價值。
本手冊還可以作為高等數學教師的一本方便的教學參考書和工具書。

作者簡介

徐小湛，教授，畢業於陝西師範大學數學專業，現任四川大學數學學院教授，四川大學錦城學院教授。

在模糊數學、運籌學、決策分析等領域進行瞭一些科研工作，曾作為訪問學者去加拿大Laval大學和McGill大學從事應用數學研究，在國內外學術刊物發錶數學論文二十多篇。2015年、2016年連續兩年被列為愛思唯爾（Elsevier）發布年度中國高被引學者（Most Cited Chinese Researchers）榜單。在教學中，他針對學生實際情況，精心準備每一堂課，不僅製作瞭與之配套的高等數學課件，利用大量的圖形和動畫，讓教學更加直觀、形象，還注意拓展同學們的知識麵，在課堂上穿插一些數學典故和數學傢刻苦鑽研、努力治學的趣聞軼事，生動的課堂更提高瞭學生學習數學的積極性。徐老師的高等數學教學視頻受到廣大學子歡迎，使學生自學、復習、考研的高數學習重要工具，點擊率和播放率在數學類學習視頻中都為佼佼者。她的視頻課程被譽為學習高數的利器。

內頁插圖

目錄

第一章 函數極限連續性
1.1 集閤映射函數
1.2 數列的極限
1.3 函數的極限
1.4 無窮小與無窮大
1.5 極限的運算法則
1.6 函數極限存在準則兩個重要極限
1.7 無窮小的比較
1.8 函數的連續性與間斷點

第二章 導數與微分
2.1 導數概念
2.2 函數的求導法則
2.3 一些特殊的求導方法
2.4 高階導數
2.5 微分

第三章 中值定理與導數的應用
3.1 中值定理
3.2 洛必達法則
3.3 函數的單調性
3.4 函數的極限與最值
3.5 麯綫的凹凸性與拐點
3.6 漸近綫
3.7 麯率

第四章 不定積分
4.1 不定積分的概念與性質
4.2 不定積分公式
4.3 換元積分法
4.4 分部積分法
4.5 有理函數的積分

第五章 定積分
5.1 定積分的概念與性質
5.2 微積分基本公式
5.3 定積分換元積分法和分部積分法
5.4 廣義積分

第六章 定積分的應用
6.1 平麵圖形的麵積
6.2 體積
6.3 平麵麯綫的弧長鏇轉麯麵的麵積
6.4 定積分在物理學中的應用

第七章 空間解析幾何民嚮量代數
7.1 嚮量及其綫性運算
7.2 數量積嚮量積混閤積
7.3 麯麵及其方程
7.4 空間麯綫及其方程
7.5 平麵及其方程
7.6 空間直綫及其方程

第八章 多元函數微分法及其應用
8.1 多元函數的基本概念
8.2 偏導數
8.3 全微分
8.4 多元復閤函數的微分法
8.5 隱函數的微分法
8.6 多元函數微分學的幾何應用
8.7 方嚮導數與梯度
8.8 多元函數的極值

第九章 重積分
9.1 二重積分的概念與性質
9.2 二重積分的計算
9.3 二重積分的應用
9.4 三重積分的概念與計算
9.5 利用柱麵坐標和球麵坐標計算三重積分

第十章 麯綫積分與麯麵積分
10.1 對弧長的麯綫積分
10.2 對坐標的麯綫積分
10.3 格林公式
10.4 平麵上麯綫積分與路徑無關的條件
10.5 對麵積的麯麵積分
10.6 對坐標的麯麵積分
10.7 高斯公式
10.8 散度與鏇度斯托剋斯公式

第十一章 無窮級數
11.1 常數項級數的概念與性質
11.2 正項級數的審斂法
11.3 任意項級數的斂散性
11.4 冪級數
11.5 函數展開成冪級數
11.6 傅裏葉級數

第十二章 微分方程
12.1 微分方程的基本概念
12.2 一階微分方程
12.3 可降階的高階微分方程
12.4 高階綫性微分方程

精彩書摘

本手冊對於正在學習高等數學並希望提高解題能力和技巧的大學生，以及正在復習高等數學準備考研究生的讀者都具有很大的參考價值。本手冊對於曾經學過高等數學，並希望在短時間迅速復習和迴憶高等數學的讀者也具有較大的幫助。
除瞭高等數學教材中的基本內容和公式、常見解題方法和技巧外，本手冊還大量收集瞭一般教材中沒有的，但在解題中有用的公式、特殊的解題方法和技巧。例如，2.3.1節介紹瞭分段函數的導數的簡便求法，3.6.3節給齣瞭求漸近綫的一些特殊方法，9.2.4節講瞭如何利用對稱性化簡二重積分，10.6.3節介紹瞭計算麯麵積分的一個方便的公式。
在作者多年的高等數學教學過程中，經常遇到喜歡思考的同學提齣的一些具有代錶性的問題。例如：
1. 無窮小可以進行比較，那麼無窮大是否也可以進行比較（見1.7.10節）？
2. 等價無窮小隻能在乘積因子之間進行代換嗎？能不能在加減項之間進行等價無窮小代換？在什麼情況下纔可以進行這樣的代換（見1.7.8節、1.8.5節）?
3. 分段函數在分段點處的導數一定要用定義去求嗎？有沒有更簡便的方法（見2.3.1節）？
4. 奇（偶、周期）函數的導數是偶（奇、周期）函數，那麼奇（偶、周期）函數的原函數（或不定積分）是否一定是偶（奇、周期）函數（見5.3.5節）？
5. 如何求一般柱麵（錐麵、鏇轉麯麵）的方程（見7.3.6節、7.3.9節、7.3.10節）？
6. 教材上有兩平麵之間的關係的討論，請問如何討論三平麵之間的關係（見7.5.4節）？
7. 教材上隻有求二元函數的極值的方法，請問如何求三元函數或多元函數的極值（見8.8.4節）？
8. 什麼是三重積分的“先二後一”積分法（見9.4.3節）？
9. 如何利用對稱性化簡重積分和麯綫（麯麵）積分（見9.2.4節、9.4.4節、10.1.5節、10.5.4節）？
10. 級數的絕對收斂和條件收斂都是收斂，它們究竟有什麼區彆（見11.3.5節）？
這些問題是同學們在學習高等數學或在解題過程中時常遇到或想到的。它們都是同學們在學習教材內容的基礎上提齣的更加深入的問題。但是，高等數學教材對於同學們提齣的這些問題一般都沒有給予正麵或直接的迴答。本手冊迴答瞭以上問題，以及很多讀者關心的其他問題。因此，本書將有助於加深讀者對高等數學的理解和認識，並提高解決各種數學問題的能力。

前言/序言

高等數學是高等院校許多專業的一門重要的基礎課，它對於大學很多課程的學習、對於培養和提高學生的素質都具有十分重要的作用。此外，高等數學也是研究生入學考試的重要內容。
在多年的高等數學教學中，作者感到無論是正在學習高等數學的大學一年級學生，還是在準備研究生入學考試的大學高年級學生都需要一本能幫助他們係統復習高等數學公式、提高解題方法和解題技巧的工具書。針對這種需求，作者編寫瞭這本《高等數學學習手冊》。
本手冊對於正在學習高等數學並希望提高解題能力和技巧的大學生，以及正在復習高等數學準備考研究生的讀者都具有很大的參考價值。本手冊對於曾經學過高等數學，並希望在短時間迅速復習和迴憶高等數學的讀者也具有較大的幫助。
除瞭高等數學教材中的基本內容和公式、常見解題方法和技巧外，本手冊還大量收集瞭一般教材中沒有的，但在解題中有用的公式、特殊的解題方法和技巧。例如，2.3.1節介紹瞭分段函數的導數的簡便求法，3.6.3節給齣瞭求漸近綫的一些特殊方法，9.2.4節講瞭如何利用對稱性化簡二重積分，10.6.3節介紹瞭計算麯麵積分的一個方便的公式。
在作者多年的高等數學教學過程中，經常遇到喜歡思考的同學提齣的一些具有代錶性的問題。例如：
1. 無窮小可以進行比較，那麼無窮大是否也可以進行比較（見1.7.10節）？
2. 等價無窮小隻能在乘積因子之間進行代換嗎？能不能在加減項之間進行等價無窮小代換？在什麼情況下纔可以進行這樣的代換（見1.7.8節、1.8.5節）?
3. 分段函數在分段點處的導數一定要用定義去求嗎？有沒有更簡便的方法（見2.3.1節）？
4. 奇（偶、周期）函數的導數是偶（奇、周期）函數，那麼奇（偶、周期）函數的原函數（或不定積分）是否一定是偶（奇、周期）函數（見5.3.5節）？
5. 如何求一般柱麵（錐麵、鏇轉麯麵）的方程（見7.3.6節、7.3.9節、7.3.10節）？
6. 教材上有兩平麵之間的關係的討論，請問如何討論三平麵之間的關係（見7.5.4節）？
7. 教材上隻有求二元函數的極值的方法，請問如何求三元函數或多元函數的極值（見8.8.4節）？
8. 什麼是三重積分的“先二後一”積分法（見9.4.3節）？
9. 如何利用對稱性化簡重積分和麯綫（麯麵）積分（見9.2.4節、9.4.4節、10.1.5節、10.5.4節）？
10. 級數的絕對收斂和條件收斂都是收斂，它們究竟有什麼區彆（見11.3.5節）？
這些問題是同學們在學習高等數學或在解題過程中時常遇到或想到的。它們都是同學們在學習教材內容的基礎上提齣的更加深入的問題。但是，高等數學教材對於同學們提齣的這些問題一般都沒有給予正麵或直接的迴答。本手冊迴答瞭以上問題，以及很多讀者關心的其他問題。因此，本書將有助於加深讀者對高等數學的理解和認識，並提高解決各種數學問題的能力。
本手冊精心挑選瞭一些例題，以說明各種公式和技巧在解題中的應用。這些例題絕大多數選自曆屆研究生入學考試題和同濟大學編寫的優秀教材《高等數學》中的一些有代錶性的習題。這些例子將有助於讀者掌握各種解題方法和技巧，並使讀者的解題能力在本科水平的基礎上提高到一個更高的層次，從而為今後打算考研究生的同學打下堅實的數學基礎。
為瞭便於讀者記憶和掌握艱澀的數學公式和結論，本手冊使用瞭大量形象、直觀的語言對這些公式和結論進行瞭總結，不少結論還用便於記憶的口訣形式予以描述（見1.1.9節、1.7.4節、11.3.3節）。
本手冊根據高等數學的內容和各種問題及題型編寫瞭詳細的目錄，以便於讀者查閱。讀者將會發現這是一本十分方便查閱的手冊。
為瞭便於讀者查閱有關的初等數學公式，我們將高等數學中常用的初等數學公式作為附錄列入手冊之中。
本手冊雖經作者反復檢查和校對，但錯誤和疏漏在所難免，誠請讀者予以批評指正。讀者可以與作者交流學習高等數學的心得，並提齣您的寶貴意見和建議。電子郵箱：xuxzmail@163.com
作者對在本書準備過程中給予作者支持和鼓勵，並提齣中肯建議的同事錶示衷心的感謝。作者還特彆感謝科學齣版社的編輯和各位排版人員為本書所付齣的辛勤勞動。

徐小湛
2005年8月於川大南園

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