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內容簡介

博弈論選講對博弈論中的主要數學模型進行瞭比較全麵的介紹, 然後應用非綫性分析的理論和方法, 對此進行瞭比較深入的研究．內容包括：數學預備知識、矩陣博弈與兩人零和博弈、雙矩陣博弈與n 人非閤作有限博弈、n 人非閤作博弈、廣義博弈、數理經濟學中的一般均衡定理、BAyes 博弈與主從博弈、多目標博弈與廣義多目標博弈、完美平衡點與本質平衡點、閤作博弈簡介．

目錄

前言
第 1講數學預備知識 1
1.1 n維歐氏空間 Rn 1

1.2凸集與凸函數 7

1.3集值映射的連續性 13

1.4不動點定理與 Ky FAn不等式 22第 2講矩陣博弈與兩人零和博弈 36
2.1矩陣博弈 36
2.2兩人零和博弈 42第 3講雙矩陣博弈與 n人非閤作有限博弈 44
3.1雙矩陣博弈 44

3.2 n人非閤作有限博弈 47第 4講 n人非閤作博弈 49
4.1 n人非閤作博弈 NAsh平衡點的存在性 49
4.2鞍點的存在性 55
4.3 Cournot博弈 .58
4.4公共地悲劇問題 .60
4.5策略集無界情況下 NAsh平衡點的存在性 62

4.6輕微利他平衡點的存在性 64第 5講廣義博弈 66第 6講數理經濟學中的一般均衡定理 . 71
6.1 WAlrAs的一般經濟均衡思想 71

6.2自由配置均衡價格的存在性 (超需映射是連續映射) 72

6.3自由配置均衡價格的存在性 (超需映射是集值映射) 75

6.4均衡價格的存在性 77

6.5福利經濟學第一定理 80
6.6 NAsh平衡點存在性定理的應用 81第 7講 BAyes博弈與主從博弈 88
7.1 BAyes博弈平衡點的存在性 88

7.2主從博弈平衡點的存在性 89

第 8講多目標博弈與廣義多目標博弈 . 91
8.1嚮量值函數關於 Rk 的連續性和凸性 91

+
8.2嚮量值 Ky FAn不等式 97

8.3嚮量值擬變分不等式 99
8.4多目標博弈弱 PAreto-NAsh平衡點的存在性 102

8.5策略集無界情況下多目標博弈弱 PAreto-NAsh平衡點的存在性 104
8.6廣義多目標博弈弱 PAreto-NAsh平衡點的存在性 106
8.7多目標博弈的權 PAreto-NAsh平衡點 107第 9講完美平衡點與本質平衡點 109
9.1完美平衡點 109

9.2本質平衡點 111
第 10講閤作博弈簡介 116

10.1聯盟與核心 116

10.2 ShApley值 119

參考文獻 121

精彩書摘

第 1講數學預備知識
本書的預備知識主要是有關凸分析、集值映射、不動點定理和 Ky FAn不等式的一些基本概念和結論 .本講將在 n維歐氏空間 Rn的框架中 ,對這部分內容作簡明扼要的介紹,主要參考瞭文獻 [11]～[16].
1.1 n維歐氏空間 Rn
關於 n維歐氏空間 Rn ,相信讀者是熟悉的．
對任意 Rn中的兩點 x =(x1, ,xn)和 y =(y1, ,yn),定義 x與 y之間的距離
[ n]1 d (x, y)= 生 (xi . yi)22 .i=1
顯然有
(1) d (x, y) . 0, d (x, y)=0當且僅當 x = y;

(2) d (x, y)= d (y, x);

(3)對任意
Rn中的一點 z =(z1, ,zn), d (x, y) : d (x, z)+ d (y, z).


m
設 {xm}是 Rn中的一個序列 , x ∈ Rn ,如果 d (x,x) → 0(m →∞),則稱 xm → x,顯然 x是唯一確定的,即如果 xm → x, xm → y,則 x = y.
又 d (x, y)是 (x, y)的連續函數 ,即如果 xm → x, ym → y,則 d (xm,ym) → d (x, y).
對任意 x0 ∈ Rn和實數 r> 0,記 O (x0,r) = {x ∈ Rn : d (x, x0) 00
設 G是 Rn中的非空點集 , x0 ∈ G,如果存在 r> 0,使 O (x,r) . G,則稱 x是 G的內點 . G中全體內點的集閤稱為 G的內部 ,記為 intG.如果 G中每一點都
是 G的內點,即 G = intG,則稱 G是 Rn中的開集.顯然有
(1)空集
.和 Rn都是開集;

(2)
任意個開集的並集是開集;

(3)
有限個開集的交集是開集．
設 F是 Rn中的非空點集 ,如果對 F中的任一序列 {xm}, xm → x,則必有



x ∈ F ,就稱 F是 Rn中的閉集.易知閉集的餘集是開集,開集的餘集是閉集,且有
(1)空集
.和 Rn都是閉集;

(2)
任意個閉集的交集是閉集;

(3)
有限個閉集的並集是閉集．


設 A是 Rn中的非空點集 ,所有包含 A的閉集的交集 ,也就是包含 A的最小閉集,稱為 A的閉包,記為 Aˉ.顯然 A是閉集當且僅當 A = Aˉ.
設 X是 Rn中的非空點集 ,可以將其視為 Rn的子空間 :對任意 X中的兩點
x =(x1, ,xn)和 y =(y1, ,yn),仍以 Rn中兩點之間的距離公式 d (x, y)來定義它們在 X中兩點之間的距離 . Rn中任意開集與 X的交即為 X中的開集 , Rn中任意閉集與 X的交即為 X中的閉集 . x0 ∈ X,任何包含 x0的 X中的開集稱為 x0在 X中的開鄰域.
設 A是 Rn 中的非空點集 ,稱 d (A) = sup d (x, y)為 A的直徑 . 如果
x∈A,y∈A
d (A) < ∞,則稱 A是 Rn 中的有界集.

以下兩個結果的證明見文獻 [17].
聚點收斂定理設 X是 Rn中的有界閉集 ,則對 X中的任意序列 {xm},必有子序列 {xmk },使 xmk → x ∈ X (mk →∞).
注 1.1.1這是數學分析實數理論中 WeierstrAss定理的推廣 .進一步 ,如果 X是 Rn中的有界集 ,則對 X中的任意序列 {xm},必有子序列 {xmk },使
mk
→ x (mk →∞),這裏因 X不一定是閉集,故 x不一定屬於 X.
λ∈Λ
m

G1, ,Gm,使 Gi . X.
i=1
注 1.1.2這是數學分析實數理論中 Borel覆蓋定理的推廣 .進一步 ,如果 X是 Rn中的有界閉集 , {Gλ : λ ∈ Λ}是 X中的任意一族開集 (其中 Λ是指標集 ),
m
Gλ = X,則存在這族開集中的有限個開集 G1, ,Gm,使 Gi = X.
λ∈Λ i=1
證明 .λ ∈ Λ,因 Gλ是 X中的開集 ,存在 Rn中的開集 Gλ.,使 Gλ = G.λ n X.
mm
因 G X,存在 G1., ,G.,使 G X,故 Gi = X.
λ mi
λ∈Λ i=1 i=1

設 X是 Rn中的非空子集 , f : X → R是一個函數 , x0 ∈ X,如果 .ε> 0,存在x0在 X中的開鄰域 O (x0),使 .x ∈ O (x0),有
f (x) f (x 0) . ε),
則稱 f在 x0是上半連續的 (或下半連續的 ).如果 f在 x0既上半連續又下半連續 ,
則稱 f在 x0是連續的 ,此時 .x ∈ O (x0),有 f (x) . f (x0) <ε.如果 .x ∈ X,
f在 x連續 (或上半連續 ,或下半連續 ),則稱 f在 X上是連續的 (或上半連續的 ,
或下半連續的).
設 A是 Rn中的非空點集 , x ∈ Rn ,稱 d (x, A) = inf d (x, y)為 x與 A之間的
y∈A
距離. d (x, A)是 x的連續函數且 d (x, A)=0當且僅當 x ∈ Aˉ.
引理 1.1.1設 X是 Rn中的非空點集, f : X → R是一個函數,則
(1) f在 X上是上半連續的當且僅當 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) c}是 X中的閉集;

(2) f在 X上是下半連續的當且僅當 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) : c}是 X中的閉集;

(3) f在 X上是連續的當且僅當 .c ∈ R, {x∈ X : f(x) c}和 {x ∈X :f (x) :c}都是 X中的閉集.


m
證明隻證 (1).設 f在 X上是上半連續的 , .x∈{x ∈ X : f (x) c}, xm → x0 ∈ X,則 xm ∈ X,且 f (xm) cε> 0,因 f在 x0上半連續且 xm → x0 ,
反之 , .x0 ∈ X, .ε> 0,因 {x ∈ X : f (x) f (x0) + ε}是 X中的閉集 ,故 {x ∈ X : f (x) 0
有 f (x) 注 1.1.3可以將引理 1.1.1敘述為:
(1) f在 X上是上半連續的當且僅當 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x)
(2) f在 X上是下半連續的當且僅當 .c ∈ R, {x ∈ X : f (x) >c}是 X中的開集;

(3) f在 X上是連續的當且僅當 .c∈R, {x∈X : f (x)c}都是 X中的開集.


定理 1.1.1設 X是 Rn中的有界閉集, f : X → R,那麼有
(1)如果
f在 X上是上半連續的,則 f在 X上有上界,且達到其最大值;

(2)如果
f在 X上是下半連續的,則 f在 X上有下界,且達到其最小值;


(3)如果 f在 X上是連續的 ,則 f在 X上既有上界也有下界 ,且達到其最大值和最小值.
證明隻證 (1).用反證法 ,如果 f在 X上無上界 ,則對任意正整數 m,存在
m
x∈ X,使 f (xm) >m.因 X是 Rn中的有界閉集 ,由聚點收斂定理 ,必有 {xm}
mk
的子序列 {xmk },使 x→ x0 ∈ X.因 f在 x0是上半連續的 ,令 ε = 1,當 mk充分大時,有 mk m
記 M = sup f (x) < ∞,則對任何正整數 m,存在 x∈ X,使 M . m 1 <
x∈X
f (xm) : M.同上 ,存在 {xm}的子序列 {xmk },使 xmk → x ∈ Xε> 0,當 mk充
分大時,有 M . 1 M : f (x0).又 f (x0) : M,最後得 f (x0) = M.定理 1.1.2設 X是 Rn中的有界閉集 , {G1, ,Gm}是 X中的 m個開集 ,且
m
Gi = X,則存在從屬於此開覆蓋 {G1, ,Gm}的連續單位分劃 {β1, ,βm},
i=1
即 .i =1, ,m, βi : X → R滿足

n
(1)0()1;在上是連續的且有 ::.∈βXXβxx,,ii (2)()0,如果則 ;.∈∈XβG>xxx,ii(3)()=1.∈ Xβxx, ．ii=1 =1證明 定義如下::.→iβXR ,m,, i ()= .∈ X,βxxi .生 ()=0,=1()=0,首先如果則有因是.dx,XGidx,XGG ,m,,i, ii 開集是閉集故即而這與矛盾∈∈∈∈XGXGXx/GXG=xxx,,,,,.iiiii=1 生=10()1,()=1.由此在上連續且有 ::∈iβXXββ ,mxxx,,,,, iii ()0,()0,如果則 ∈∈βdx,XGx/XGG>>xx,.iiii=()()定義的範數或模n.∈ Rxx,xx,,1nll ().()0()注意到 有這樣 nnm.∈.∈.→→∞RRdd=xyxyx,yx,xm,,, =()=()nn 定義與的內積.∈.∈RRxx,xyy,yxy1,, 1,,nn生
d (x, XGi)
md (x, XGi) i=1
m
i=1

m
生
ni=1
2
n 1
生生 2ll =xx.i
i=1
顯然有
(1) lxl 0, lxl =0當且僅當 x =0;

(2) .α ∈ R, lαxl = |α|lxl;


(3) .y ∈ Rn , lx + yl : lxl + lyl.當且僅當 lxm . xl→ 0(m →∞).
n(x, y) = xiyi.i=1
顯然有
(1) (x, x) 0, (x, x) =0當且僅當 x =0;

(2) (x, y) = (y, x);

(3) .α, β ∈ R, .z ∈ Rn , (αx + βy, z) = α (x, z) + β (y, z).
注意到 .x ∈ Rn ,有 (x, x) = lxl2 ,且 .y ∈ Rn ,有



|(x, y)| : lxllyl (CAuchy不等式).
引理 1.1.2 .x ∈ Rn , .y ∈ Rn ,平行四邊形公式
2
22 川
lx + yl+ lx . yl2 =2 (lxl+ lyl
成立.
證明
22
lx + yl+ lx . yl= (x + y, x + y) + (x . y, x . y) = (x, x) +2 (x, y) + (y, y) + (x, x). 2 (x, y) + (y, y)
22
川
=2 (lxl+ lyl.
設 X和 Y分彆是 Rm和 Rn中的兩個非空子集 , Rm和 Rn上的距離函數分彆記為 d和 ρ, f : X → Y是一個映射 , x0 ∈ X.如果 .ε> 0,存在 x0在 X中的開鄰域 O (x0),使 .x ∈ O (x0),有 ρ (f (x) ,f (x 0)) < ε,
則稱映射 f在 x0上連續的 .如果 f在 X中的每一點都連續 ,則稱 f在 X上是連續的.此外,定義 X × Y = {(x, y): x ∈ X, y ∈ Y } ,
. (x, y) ∈ X × Y, . (x ,y ) ∈ X × Y,定義 (x, y)和 (x ,y )之間的距離
2
l ((x, y) , (x ,y )) = [(d (x, x ))2 +(ρ (y, y ))2]1 .
易知 ,如果 X和 Y分彆是 Rm和 Rn中的有界閉集 ,則 X × Y必是 Rm+n中的有界閉集.

前言/序言

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