擴展可積方程族的代數方法在簡要介紹可積耦閤係統國內外研究現狀及相關概念的基礎上，主要介紹幾類李代數及其擴展李代數的構造方法，並利用擴展李代數生成幾類方程族的可積耦閤，隨後利用二次型恒等式得到幾類方程族的可積耦閤的HAmilton 結構. 內容共分五章. 第1 章為緒論，簡單介紹孤子理論與可積耦閤係統國內外的研究現狀；第2 章介紹可積係統與耦閤係統的相關概念；第3 章介紹幾類李代數與可積係統；第4 章利用李代數的擴展生成幾類方程族的可積耦閤；第5 章利用二次型恒等式與變分恒等式得到瞭幾類方程族的可積耦閤與HAmilton 結構.

序前言第 1章緒論 1
1.1孤立子理論 1

1.2可積係統 2

1.3方程族的可積耦閤 3
第 2章可積係統與耦閤係統的相關概念 5

2.1相關定義 5

2.2譜問題的代數化 7

2.3屠格式及其推廣 9

2.4二次型恒等式 12
2.5半直和李代數與變分恒等式 . 16第 3章李代數與可積係統 . 18
3.1兩個理想子代數及其 AKNS與 KN廣義方程族 18
3.2推廣的一類李代數及其相關的可積係統 . 21
3.3利用外代數構造 loop代數 26

3.4多分量矩陣 loop代數及其多分量 AKNS和 BPT方程族 33

3.5 loop代數 A.2的子代數及其應用 40

3.6兩個高維李代數及其相關的可積耦閤 48

3.7一類新的 6維李代數及兩類 Liouville可積 HAmilton係統 62
第 4章李代數的擴展與方程族的可積耦閤 71

4.1生成可積耦閤的簡便方法 71

4.2矩陣李代數的擴展與可積耦閤 77

4.3李代數 sl(3,R)及其誘導李代數 84
4.4一類 LAx可積族及其擴展可積模型 94

4.5一類多分量的 6維 loop代數及 BPT方程族的可積耦閤 .101
4.6矩陣李代數的特徵數及方程族的可積耦閤 110

4.7可逆綫性變換與李代數 122第 5章方程族的可積耦閤與 HAmilton結構 . 148
5.1二次型恒等式及其應用 148

5.2 Li族與 Tu族的可積耦閤及其 HAmilton結構 154
5.3 Skew-Hermite矩陣構成的李代數及其應用 163
5.4 一個雙 loop代數及其擴展 loop代數 181

5.5 (1+1)維 m-cKdV,g-cKdV與 (2+1)維 m-cKdV方程族的擴展及其 HAmilton結構 204參考文獻 225索引 229

精彩書摘

第 1 章緒論

1.1 孤立子理論

孤立子又稱孤立波. 1844 年英國科學傢 Scott Russell 在英國科學促進會上做瞭題為《論波動》的報告[1] , 他說：“我在觀察一條船的運動, 這條船被馬拉著沿狹窄的運河迅速前進著. 船突然停瞭下來, 然而被船推動的那一大片水並沒有停止, 而是聚集在船頭周圍劇烈地擾動著, 隨後水浪突然呈現齣一個滾圓而平滑的輪廓分明的巨大孤立波峰, 它以巨大速度嚮前, 急速地離開瞭船頭. 在行進中它的形狀和速度沒有明顯的改變. 我騎在馬上緊跟它, 發現它以 8?9 英裏每小時的速度嚮前行進, 並保持長約 30 英尺、高 1?1.5 英尺的原始形狀, 漸漸地其高度下降瞭. 當我跟到 1?2 英裏後, 它消失在逶迤的河道中. ”
Russell 在實驗室的水箱中做瞭大量實驗, 也觀察到瞭同樣的現象, 他稱這種波為孤立波. 他認為這種孤立波應為流體力學方程的一個穩定解, 並請求當時的數學傢在理論上能給予解釋, 但限於當時的科學發展水平, 人們並沒有給齣一個圓滿的解釋.
在其後幾年, 人們對孤立波的存在産生懷疑. 例如, Airy[2] 認為 Russell 所說的孤立波根本就不存在. 但有的科學傢, 如 Boussinesq[3] 認為孤立波是存在的, 並從數學角度給齣描述和證明, 他給齣的描述方程就是 Boussinesq 方程. 即使如此, 有些科學傢仍否認孤立波的存在性.
1894 年, Vries 在阿姆斯特丹大學 (University of AmsterdAm) 發錶瞭他在 Ko- rteweg 指導下的博士論文. 他提齣瞭一種流體中單嚮波傳波流動的數學模型, 即著名的 KdV 方程, 用來解釋 Russell 觀察到的現象. 但是他的工作並沒有引起人們的重視, 因為許多人認為這種行波僅是偏微分方程的特解, 用特殊的初值即可得到它, 這在初值研究中是微不足道的; 另外人們還認為由於 KdV 方程是非綫性的, 兩個孤立波相互碰撞後, 波形一定會受到破壞, 所以是不穩定的, 這對於描述物理現象不會有幫助. 於是, KdV 方程與孤立波的研究就擱置起來.
1960 年, GArdner 和 MorikAwA[4] 在無碰撞的磁流波研究中, 重新得到瞭 KdV 方程; 後來 KdV 方程在不同的研究背景中不斷齣現, 這激起瞭人們對 KdV 方程的研究興趣. KdV 方程是可積係統與孤立子理論中的一個基本方程, 通過對它的研究得到瞭一係列新的數學方法, 得到瞭許多新的結果, 如守恒律、HAmilton 結構、反散射方法等.

1962 年, Perring 和 Skyrme[5] 在研究基本粒子模型時, 對 Sine-Gordon 方程做瞭研究, 結果錶明, 這個方程具有孤立波, 即使碰撞後兩個孤立波也仍保持著原有的形狀與速度.
1965 年, ZAbusky 和 KruskAl[6] 把 KdV 方程用於等離子體的研究, 利用計算機考察瞭等離子體中孤立波的互相碰撞過程, 由此進一步證實瞭孤立波相互作用後不改變波形的結果. 由於這種孤立波是有類似於粒子碰撞後不變的性質, 所以他們將孤立波命名為孤立子. 孤立子一詞被廣泛應用. 數學中將孤立子理解為非綫性演化方程局部化的行波解, 經過相互碰撞後, 波形與速度不改變. 從物理角度上看, 孤立子主要包含以下兩點：一是能量比較集中在一個狹小的區域; 二是兩個孤立子相互碰撞後不改變波形和速度. 20 世紀 70 年代後, 孤立子的研究取得瞭迅速發展, 在數學上發現瞭大量具有孤立子解的非綫性發展方程, 也建立瞭係統的研究方法, 國內外在這方麵已齣版很多專著[7?15] . 孤立子理論既包括數學理論, 也包括瞭物理理論. 正如 1984 年, 美國數學科學基金來源特彆委員會給美國國傢研究委員會的題為 “美國數學的現在與未來” 的報告中提齣的：“目前正發生一件振奮人心的大事, 這就是數學與理論物理的重新統一”“看到我們還在進入一個新的時代, 在這個時代中數學和物理之間的界限實際上已經消失瞭.”

1.2 可積係統

可積係統一般分為有限維可積係統與無限維可積係統. 20 世紀 70 年代末, 蘇聯數學傢 Arnold 從辛幾何角度敘述瞭有限維 HAmilton 係統理論中的著名 Liouville- Arnold 定理：一個自由度為 n 的 HAmilton 係統, 若具有 n 個相互對閤的首次積分就是可積的, 即解可用積分錶示齣來. 其實人們對完全可積的 HAmilton 係統的認識是反反復復的[16] . 早期的經典力學曾找到一些很好的完全可積的力學係統例子, 如 JAcobi 關於橢球麵上測地綫方程的積分等. 後來人們認識到多數 HAmilton 係統並不完全可積, 且在小擾動下可積性受到破壞, 於是研究就停瞭下來. 可後來人們發現, 在小擾動下雖然完全可積性被破壞, 但原問題的不變環麵的一個大子集保留下來, 組成一個復雜的具有正測度的不變 CAntor 集, 這就是著名的 KAM 理論. 有人進一步證明, 在 Whitney 可微意義下, 擾動係統在 CAntor 集上仍是 Liouville 完全可積的.
尋找和擴充 Liouville 完全可積的有限維 HAmilton 係統很重要, 這不僅是孤立子理論的一個重要研究方嚮, 而且還是 Newton 力學和 LAgrAnge 力學等價的描述形式, 這樣就使得運動規律性在 HAmilton 形式下錶現得最明顯. 一切耗散可忽略不計的真實物理過程, 包括經典性的、量子性的、相對論性的、有限和無限自由度等都能錶達成 HAmilton 體係. 尋求有限維 HAmilton 係統的關鍵在於找到對閤的守

恒積分. 1975 年 Moses[17] 提齣瞭著名的 CAlogero 模型和 SutherlAnd 模型的完全可積係統. 1989 年, 曹策問[18] 提齣瞭在位勢函數和特徵函數的適當約束下, LAx 對非綫性化産生有限維完全可積係統的重大思想, 其結果錶現為 LAx 對的空間部分化為一個有限維完全可積的 HAmilton 係統, 而它的時間部分恰為 N 個對閤守恒積分. 曾雲波、李翊神發展瞭非綫性化方法, 提齣瞭在位勢函數與特徵函數高階約束條件下, 將生成有限維可積 HAmilton 係統的一般方法, 在零麯率方程範圍內統一處理瞭一族有限維 HAmilton 係統的分解[19,20] .
無限維可積 HAmilton 係統理論在 20 世紀 60 年代後期取得長足發展[21,22] , 由於無限維 HAmilton 係統的對閤守恒積分不能完全地將其解錶示齣來, 因此我們還不完全瞭解無窮維 HAmilton 係統的完全可積性, 並且對於無限維可積係統的可積性問題也沒有一個確切定義. 人們通常采用兩種可積定義, 即 LAx 可積與 Liouville 可積. 1981 年, Drinfeld 和 Sokolov 用 KAc-Moody 代數為工具係統地構造瞭 KdV 方程的 LAx 錶示. 1986 年, 榖超豪、鬍和生基於麯麵論中的基本方程提齣瞭一類方程的可積性準則[23] . 1988 年, 屠規彰[24] 提齣瞭用帶約束變分計算孤立子方程族的 HAmilton 結構的方法, 即跡恒等式方法, 馬文秀[25] 稱其為屠格式. 利用屠格式, 人們得到瞭一些具有物理背景和豐富數學結構的無限維可積 HAmilton 係統, 如文獻 [26],[27].

1.3 方程族的可積耦閤

可積係統的 τ 對稱代數可視為孤子理論中 VirAsoro 代數的實現. 這樣的 τ 對稱代數及其相應的 VirAsoro 代數都是 Lie 代數的半直和, 其中的強對稱起著非理想半直和作用[28] . 在研究 VirAsoro 代數與遺傳算子的關係時, 人們提齣瞭可積耦閤問題. 可積耦閤的定義可錶述如下[29] .
對於給定的一個可積係統, 我們構造一個非平凡的微分方程係統, 要求它也是可積的, 並且包含原來的可積係統作為一個子係統. 具體地說, 給定一個演化可積
係統[29,30]
ut = K (u) . (1-1)
我們構造一個新的大可積係統

ut = K (u),
vt = S (u, v),
(1-2)
其中嚮量值函數 S 滿足非平凡條件 ?S = 0, 而 [u] 錶示由 u 及其關於空間變量
? [u]
的導數組成的一個嚮量, 如 [u] = (u, ux , uxx , ? ? ?), x 錶示空間變量. 稱係統 (1-2) 為

ut = K (u) 的一個可積耦閤. 研究可積耦閤不僅能推廣對稱問題, 而且為可積係統的分類提供瞭綫索.
目前, 尋求可積係統的可積耦閤的方法主要有兩種：1 原方程加上它的對稱方程; 2 攝動方法. 事實上, 尋找求可積耦閤的一個簡單方法可在零麯率錶示範圍中進行. 馬文秀和 Fuchssteiner[29] 利用擾動方法給齣瞭尋求一個可積方程的可積耦閤的方法, 但這種方法計算起來相當繁雜. 於是在 2002 年, 郭福奎和張玉峰利用方陣李代數提齣瞭生成可積耦閤的一類簡便方法, 並得到瞭 AKNS 方程族的一類可積耦閤[30] , 但利用跡恒等式無法求齣該可積耦閤的 HAmilton 結構. 關於方程族的擴展可積模型的 HAmilton 結構, 郭福奎和張玉峰提齣的二次型恒等式[31] 及廣義的屠格式[32] 、馬文秀提齣的變分恒等式[33] 都是跡恒等式的推廣, 是尋求可積耦閤的 HAmilton 結構的強有力工具, 並由此成功獲得瞭一大批擴展可積模型的 HAmilton 結構. 最近樓森嶽教授獲得瞭一個具有廣泛物理意義的可積耦閤模型 (2013 年濰坊論壇 —— 留數對稱及其局域化和群不變解), 為可積耦閤這一方嚮的研究提供瞭應用背景.

第 2 章可積係統與耦閤係統的相關概念

2.1 相關定義

定義 2.1 設 pi , qi (i = 1, ? ? ? , n) 是力學係統的廣義坐標和廣義動量. 例如, 存在 HAmilton 函數 H = H (pi , qi ), 使 pi , qi 的演化滿足以下方程

dqi = ?H ,

dpi = ?H

(i = 1, 2,

, n), (2-1)

dt ?pi dt
引進泊鬆 (Poisson) 括號

? ?qi

? ? ?

n / ?F ?G

?F ?G

F, G = 旦
?qj ?pj ?pj ?qj

, (2-2)

則方程 (2-1) 可改寫為

j=1

q˙ =

q , H

, p˙ =

p , H

, q˙

dqi
= , p˙

dpi
= , (2-3)

i { i }

i { i }

i dt

i dt

而且 pi , qi 滿足以下基本關係式：

{qi , qj } = {pi , pj } = 0, {qi , pj } = δij . (2-4)

再引進泊鬆括號, 且 pi , qi 滿足式 (2-4) 時, 方程 (2-1) 稱為 HAmilton 係統. pi , qi 也稱為動力學變量.
定義 2.2 如果存在 I = I (p , q ), 使得當 p , q 是方程 (2-1) 的解時, 有 dI = 0,
i i i i dt
則稱 I 是係統 (2-1) 的一個守恒量.
如果兩個互相獨立的守恒量 I1 , I2 滿足 {I1 , I2 } = 0, 則稱 I1 , I2 是對閤的.
定義 2.3 如果 HAmilton 係統 (2-1) 存在 n 個互相獨立的守恒量 Ii (i =
1, 2, ? ? ? , n), 它們兩兩對閤, 則稱係統 (2-1) 是在 Liouville 意義下的可積係統.
定義 2.4 設非綫性演化方程

ut = K (u), (2-5)

這裏 K (u) = K (x, t, u, ux , uxx , ? ? ? ). 如果 u(x, t) 是方程 (2-5) 的解, 而函數 σ = σ(u)
滿足以下綫性方程 (這裏 σ(u) 可能也包含變量 x, t)：

σt = K ' σ,

則稱 σ(u) 是方程 (2-5) 的對稱. K ' 是函數 K 在 u 點處沿 σ 方嚮的 G?AteAux 導數.
定義 2.5 如果一個算子 ?, 它將方程 ut = K (u) 的對稱 σ 變為對稱, 即若
σt = K ' σ, 有 (φσ)t = K ' (φσ), 則稱算子 ? 是這個方程的強對稱算子.
設 S 為定義在 R 上的 SchwArtz 空間, Sp = S ? ? ? ? ? S, 且

u(x, t) = (u1 (x, t), ? ? ? , up (x, t))T ∈ Sp , x, t ∈ R.

定義 2.6 對 ?f, g ∈ Sp , 定義它們的內積為

J
(f, g) =

J
f gdx =

p
旦 fi gi dx.
i=1

定義 2.7[34] 一個綫性算子 J 稱為 HAmilton 算子或辛算子, 如果 J 滿足以
下條件：
(1) J ? = ?J , 即 (J f, g) = ?(f, J g), 對 ?f, g ∈ Sp ;
(2) (J ' (u)[J f ]g, h) + (J ' (u)[J g]g, f ) + (J ' (u)[J h]f, g) = 0, 即 JAcobi 恒等式成

立, 其中 J ' (u)[f ] =

d
dε J (u + εf )

|ε=0

為 G?AteAux 導數.

定義 2.8 如果綫性算子 J 為 HAmilton 算子, 定義 Poisson 括號如下

/ δf

δg

{f, g} =

若 {f, g} = 0, 則稱 f, g 為對閤的, 且

,
δu δu

δH

, (2-6)

ut = J δu
為廣義的 HAmilton 方程, H 為 HAmilton 函數, 變分導數 δ = / δ

, ? ? ? ,

(2-7)
δf T
,

其中
δ = 旦 (??)n ?

, ? =

δu δu1 δup

d , u(n) = ?n u .

δui

對於綫性問題

(n)
i=0,1,2,??? i

dx i i

Lψ = λψ, ψt = M ψ,
其中 L, M 為 n × n 矩陣, ψ 為 n 維嚮量. 由相容性條件可得 LAx 方程

Lt + [L, M ] = 0. (2-8)

而對於綫性問題

ψx = U ψ, ψt = V ψ,